分類討論思想在高中數學解題中的應用

章建華

（福建省福安市第六中學）

分類討論思想是高考七大數學思想方法之一， 它是解決問題的一種邏輯方法，這種思想在簡化研究對象、發展思維方面起著重要作用，高考將分類討論思想的考查放在比較重要的位置，并以解答題為主進行考查。 分類討論思想實際上也是“化整為零，各個擊破”的教學策略。 分類討論思想不僅有利于提高學生的歸納、總結水平，同時也有利于提高學生的概括性、條理性、邏輯性，這對于培養學生的嚴謹思維、邏輯思維都具有極其重要的現實意義。高中生如果能很好地掌握分類討論思想， 可以大大提高學生的數學解題能力，提高學生的數學成績。

一、分類討論思想的基本概述及其在數學解題中的作用

我們在解決某些數學問題時，常常會遇到這樣一種情況：解到某一步后，發現問題的發展是按照不同的方向進行的。當被研究的問題包含了多種情況，就必須抓住主導問題發展方向的主要因素，在其變化范圍內，根據問題的不同發展方向，劃分為若干部分分別研究，這就是分類討論思想方法。

分類討論思想通常以概念的劃分、集合的分類為基礎，主要有以下幾個方面：一是分類意識，即什么情況下需要分類；二是如何分類，即要科學地分類，分類要標準統一，不重不漏。三是分類之后如何科學地研究；四是如何合理地整合。

通過分析、總結歷年來的高考考點，可以看出分類討論的數學方法是其中的一個重要知識點。 這主要是因為分類討論方法可以很好地鍛煉學生的邏輯思維， 這對于解決其他的實際問題也非常必要。而且一般分類討論問題的綜合性較強，這樣考查考生多方面的知識，評估學生的實際學習能力。其次，掌握分類討論思想，有利于更好地解決實際問題，比如數學概念中會有分類討論的問題，包括等比數列前n項和公式、絕對值定義等；數學運算公式中有不等式兩邊同時乘以一個實數后對于不等號方向有何影響、 偶次方根非負等；參數變化中參數取值不同導致結果不同；參數值不同采用不同的證明方法或者求解方法等。 這些問題都必須采用分類討論思想解決。

二、分類討論思想在高中數學解題中的實際應用

1.科學、合理分類

分類討論思想的第一步是對問題中的對象進行分類， 如果將問題比喻成一個集合A的話， 則就是指應該將A劃分成A1、A2、A3、A4等n個非空真子集，其中n肯定超過2 個（包括2），集合A中的每一個元素都屬于其中的一個子集。想要確保分類的科學性，首先一定要保證分類上不能出現遺漏， 然后要保證分類上不能出現重復。在確保做到不重不漏的前提下，結合題目的性質以及題目中給出的條件盡量減少分類。

2.確定分類的標準

高中數學解題中采用分類討論的方法， 在確定分類討論對象后，應該思考分類標準，分類標準是解題中的關鍵環節，決定了解題的簡易程度。 下面主要從以下幾個角度確定分類標準：

（1）按照數學概念劃分

在數學中，有些概念就是分類定義的，如絕對值的概念等。

（2）按照數學運算法則和定理、公式劃分

高中數學有很多數學運算法則和定理、公式是分類給出的，例如等比數列的求和公式就分為q=1 和q≠1 兩種情況；指數、對數函數的單調性就分為a＞1，0＜a＜1 兩種情況； 求一元二次不等式的解又分為a＞1，a＜0 及Δ＞1，Δ=0，Δ＜0 幾種情況等等。

例2.數列｛an｝滿足a1=x，a2=3x，sn+1+sn+sn-1=3n2+2，（n≥2，n∈N*），Sn是數列｛an｝的前n項和。（1）若數列｛an｝為等差數列，數列｛bn｝滿足bn=2an-1，數列｛cn｝滿足cn=t2bn+2-tbn+1-bn，試比較數列｛bn｝前n項Bn和與數列｛cn｝前n項和Cn的大小。（2）若對任意n∈N*，an＜an+1恒成立，求實數的取值范圍。

分析：數列求通項與求和問題常用到分類討論思想。涉及等比數列時，公比q的取值對求和的形式有決定的作用，本例中比較大小，含有字母t，就要用到分類討論思想，討論t的取值來比較大小；在第（2）問中，還要討論n的取值求解。 比如：

解：（1）由已知得到a3=14-9x，再由2a2=a1+a3得6x=x+（14-9x）

所以x=1，an=2n-1（n∈N*），所以bn=22n-2＞0，cn=（16t2-4t-1）bn，

（2）由Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2，（n≥2，n∈N*）知Sn+2+Sn+1+Sn=3（n+1）2+2，

兩式作差得an+2+an+1+an=6n+3，an+3-an=6，所以當n=1 時，an=a1=x，

當n=3k-1 時，an=a3k-1=a2+6（k-1）=2n+3x-4；

當n=3k時，an=a3k=a3+6（k-1）=2n-9x+8；

當n=3k+1 時，an=a3k+1=a4+6（k-1）=2n+6x-7；

因為對n∈N*，an＜an+1，恒成立，所以a1＜a2且a3k-1＜a3k＜a3k+1＜a3k+2，

本例中兩處用到分類討論的思想，是一道典型的討論題。

（3）按照圖形位置的劃分

圖形位置的相對變化也會引起分類，例如，兩點在同一平面的同側、異側，二次函數的圖象的對稱軸相對于定義域區間的不同位置等。

例3.已知圓A的方程式是（x-2）2+（y-3）2=1，現在想要求解一條切線l使得這個圓A和x、y軸的截距相等。

解：假如，這條切線l和x軸的截距是a，這條切線l和y軸的截距是b，結合直線方程的適用范圍考慮，一定要討論截距a、b是不是會變成0。 為此就應該分為以下兩種情況進行討論：

①假如特殊情況，a、b均為0，則切線l方程為kx-y=0，利用圓的性質可知，圓心（2，3）和切線l之間的距離應該就是這個圓的半徑， 因此這種情況下求解出來的結果是k=。 因此切線l的方程應該列為：或者

②假如a、b的值相等，且均不為0 的情況下，假設切線l方程為x+y-a=0， 主要是由于圓和切線是一種相切的關系， 因此可知最后解出而切線l的方程應該是：x+y-最終綜合以上兩種情況求解出來的結果，也就可以得出切線l方程的所有可能：

（4）按照題目的特殊要求劃分一些題目，如排列組合的計數問題、概率問題，要按題目的特殊要求，分成若干情況研究。

例4.如上圖所示，在排成4×4 的方陣的16 個點中，中心位置在4 個點在某圓內，其余12 個點在圓外，從16 個點中任選3 點作為三角形的頂點，其中至少有一個頂點在圓內的三角形有多少個？

分析：解決排列與組合問題時應用分類討論思想，本例中看到至少有一個頂點在圓內，想到分類討論思想，依次分1 個點、2 個點、3 個點在圓內討論求解，要做到不重不漏。

解：按從圓內4 點任取3 點、2 點、1 點分三類：

（5）按照題目的參數量變的劃分

在研究含有參數的函數問題時，由參數的“量變”而導致結果的“質變”，也要進行分類討論。

②當m＜0 時，若m≤-1，f＇（x）≤0 對x∈（0，+∞）恒成立，所以f（x） 在（0，+∞） 上單調遞減； 若-1＜m＜0， 由f＇（x）=0， 得x1=且x1＜x2＜0，可知f＇（x）在（0，x1）與（x2，+∞）上為負，在（x1，x2）上為正，所以f（x）在（0，x1）與（x2，+∞）上單調遞減，f（x）在（x1，x2）上單調遞增。綜上所述，當m≥0 時在（0，+∞）上單調遞增；當m≤-1 時，f（x）在（0，+∞）上單調遞減；當-1＜m＜0 時，f（x）在（0，x1）與（x2，+∞）上單調遞減，f（x）在（x1，x2）上單調遞增。

綜上所述， 分類討論思想是高中數學解題中非常重要的一種解題思想，在歷年高考中也是重點考查的知識點。在數學解題中學會應用分類討論思想，有利于學生數學思維的培養和發展，提高學生的數學素養， 教師在實際教學過程中應該不斷滲透分類討論思想，使學生能夠更好地掌握這種數學思想。

劉向華.分析和解決數學問題能力的培養［D］.少年智力開發報，2011（04）.