在數(shù)學(xué)技能與數(shù)學(xué)思想之間

俞正強(qiáng)，浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，北京師范大學(xué)教育家書院兼職研究員，浙江師范大學(xué)碩士生導(dǎo)師，浙江省金華市環(huán)城小學(xué)校長(zhǎng)。

“角的度量”這一課時(shí)，其基本目標(biāo)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用量角器量角或用量角器畫出指定度數(shù)的角。其間含有關(guān)于角的度量單位與角的度量工具的認(rèn)識(shí)，稱為知識(shí)。

與這些基本知識(shí)、基本技能連在一起的數(shù)學(xué)思想、方法是什么？結(jié)合本人對(duì)這一課時(shí)的教學(xué)，做如下探討。

一、從角的大小到形的賦值

材料呈現(xiàn)：

問題討論：

問題1：哪個(gè)角最大？哪個(gè)角最小？

結(jié)論：從①號(hào)角到⑤號(hào)角，越來越大。

（知識(shí)：角的大小跟兩邊叉開的大小有關(guān)。）

問題2：如果用一個(gè)數(shù)來表示角的大小，你會(huì)用哪個(gè)數(shù)來表示？

結(jié)論：①號(hào)角可以用數(shù)字0表示，因?yàn)樗鼪]有大小。

（把①號(hào)角賦值為0，這對(duì)學(xué)生來說是自然而然的事，因?yàn)棰偬?hào)角沒有大小。但在學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展中，這是一個(gè)了不起的節(jié)點(diǎn)：因?yàn)樗麄兺瓿少x形以數(shù)的創(chuàng)舉。數(shù)形結(jié)合思想，本質(zhì)上是兩件事情，一是賦數(shù)以形，一是賦形以數(shù)，然后在形和數(shù)之間自由

穿行。）

問題3：如果①號(hào)角用數(shù)字0表示，那么②號(hào)角可用數(shù)字幾呢？

結(jié)論1：45。

（此一結(jié)論，多為學(xué)生已學(xué)過銳角、直角等有關(guān)角的度數(shù)。）

師：同學(xué)們，有人說用45°來表示②號(hào)角的大小，有不同意見嗎？

生：沒有。

師：如果我們用10°來表示這個(gè)角的大小，可以嗎？

生：不可以，因?yàn)槿绻@樣的話，全亂了。

生：也是可以的。因?yàn)槿绻@個(gè)角是10°的話，那③號(hào)角就是20°，從此之后，直角就不是90°，而是20°了。

（全班學(xué)生大笑）

生：如果按照老師所說的，那②號(hào)角用100°來表示也可以呀。

師：大家認(rèn)為呢？

生：可以吧，想它是幾就是幾。

（這一段對(duì)話所反映出來的是學(xué)生對(duì)賦形以數(shù)的詫異與好玩。）

問題4：在對(duì)這5個(gè)角定數(shù)字時(shí)，你認(rèn)為最特別的角是哪個(gè)？我們這樣變來變?nèi)ィ袥]有不變的？

結(jié)論1：①號(hào)角始終不變。它的大小不是由我們定的，始終是0。

結(jié)論2：不管我們?cè)趺醋儯@些角都以②號(hào)角為標(biāo)準(zhǔn)，③號(hào)為兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，⑤號(hào)為4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。

（數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至此，數(shù)學(xué)已是活的了，學(xué)生也已經(jīng)體會(huì)到標(biāo)準(zhǔn)的意義以及標(biāo)準(zhǔn)的影響力。這些東西，是數(shù)學(xué)中深刻影響一個(gè)人思維品質(zhì)的東西。）

二、度量，是與標(biāo)準(zhǔn)比較的行為

將第一份材料從右到左，不斷將小的角與大的角結(jié)合，形成如下材料。

問題1：當(dāng)我們把5個(gè)角放置在一起時(shí)，原來共有的10條邊只剩下5條，還有5條邊到哪里去了？

結(jié)論：其實(shí)有6條邊在0這個(gè)地方重合了。

（強(qiáng)化0度線，它是所有角共有的一條邊，任何一個(gè)角均有一條邊在此重合。）

問題2：現(xiàn)在黑板上出現(xiàn)⑥角，有誰能把這個(gè)角放進(jìn)這個(gè)圖中。

結(jié)論：頂點(diǎn)在中心點(diǎn)A，一邊在0即可。

問題3：這個(gè)被放進(jìn)去的角的大小可用哪個(gè)數(shù)字表示？

結(jié)論：15到18之間。

（度量，本質(zhì)上是與標(biāo)準(zhǔn)相比較的行為與結(jié)果，學(xué)生把一個(gè)新的角放進(jìn)這個(gè)框架中比較，是件自然而然的事情，沒有任何難度。放進(jìn)去的要點(diǎn)是頂點(diǎn)對(duì)著中心點(diǎn)，一邊對(duì)著0邊，技能會(huì)慢慢成熟起來。）

三、工具，是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的固定與移動(dòng)

材料1：?jiǎn)稳α拷瞧?/p>

問題1：同學(xué)們，請(qǐng)看量角器，它與我們黑板上的圖有什么不同？

結(jié)論1：標(biāo)準(zhǔn)不同，有單位度，中心點(diǎn)為0°，其他都一樣。

結(jié)論2：黑板上的圖不能移動(dòng)，我們只能用角與它比，量角器可以移動(dòng)，比較方便。

問題2：你能用量角器去量一個(gè)角嗎？試試看。

結(jié)論：中心點(diǎn)對(duì)頂點(diǎn)，0邊對(duì)角邊。

（教師已經(jīng)不需要教這些技能了，只需要用一個(gè)角去比較標(biāo)準(zhǔn)，反過來用這一標(biāo)準(zhǔn)去比較角而已。工具的意義便可以在此體驗(yàn)。）

材料2：雙圈量角器

問題1：這個(gè)量角器與之前的量角器有何不同？

結(jié)論：有內(nèi)外兩個(gè)讀數(shù)圈。

問題2：為什么要用兩個(gè)讀數(shù)圈呢？

結(jié)論：角可以從右往左不斷變大，也可以從左往右不斷變大。

（從量角器的內(nèi)外圈回到第一組材料的另一種序，說明在學(xué)生的眼里，量角器已經(jīng)是一個(gè)“活”的工具了。）

四、技能，是自然而然的思想結(jié)果

現(xiàn)在，我們重新回顧一下角的度量技能是如何落實(shí)的。

（1）角是有大小的。（知識(shí)復(fù)習(xí)）

（2）大小可以用數(shù)來表示。（賦值，數(shù)形結(jié)合可以這樣培養(yǎng)）

（3）表示其中一個(gè)角，其他角便因此也都能表示了。（標(biāo)準(zhǔn)的意義）

（4）任何一個(gè)角，都可以通過與標(biāo)準(zhǔn)的比較確定數(shù)值。（度量技能）

角的度量技能，是這一過程中自然而然形成的。對(duì)學(xué)生而言，這一課時(shí)，好像不是從量角器的認(rèn)識(shí)、使用開始，但卻以量角器的使用、認(rèn)識(shí)結(jié)束。

工具只是工具而已，是一個(gè)末，當(dāng)教學(xué)將“末”當(dāng)成“本”，教學(xué)就會(huì)變得不是那么一回事了。

五、思想，離不開知識(shí)這一載體

縱觀小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)，數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)與落實(shí)，體會(huì)賦數(shù)以形的內(nèi)容十分之多，但體會(huì)賦形以數(shù)的材料卻比較少，而這一課時(shí)，是讓小朋友體會(huì)賦形以數(shù)的比較好的機(jī)會(huì)，對(duì)于好的機(jī)會(huì)，我們絕不能錯(cuò)過。

（責(zé)任編輯：孫建輝）