基于多尺度漸進均勻化理論手性瓦聲學性能計算

杜志鵬，劉東岳，朱大巍，黃修長

（1.海軍裝備研究院，北京100073；2.上海交通大學　振動沖擊噪聲研究所　機械系統與振動國家重點實驗室，上海200240）

基于多尺度漸進均勻化理論手性瓦聲學性能計算

杜志鵬1，劉東岳1，朱大巍2，黃修長2

（1.海軍裝備研究院，北京100073；2.上海交通大學振動沖擊噪聲研究所機械系統與振動國家重點實驗室，上海200240）

基于多尺度漸進均勻化理論，建立手性結構瓦的等效彈性常數計算方法。給出多尺度均勻化方法的詳細推導過程，通過對比二維手性結構瓦基于所獲得的等效彈性常數振動傳遞結果和詳細手性結構建模的計算結果，驗證該方法的正確性。利用得到的彈性常數計算某加筋板敷設手性結構瓦的水下輻射聲壓，該計算結果和試驗結果量級基本一致。這表明多尺度漸進均勻化得到的等效彈性常數能夠用于實艇敷設手性結構瓦的隔聲計算，具有一定的工程應用價值。

聲學；多尺度漸進均勻化理論；手性結構瓦；聲學性能計算

工程中，需要對實艇敷設聲學覆蓋層后的聲學效果進行預報。但是由于實船/實艇結構尺度較大，敷設聲學覆蓋層的面積大，而在計算時，由于實船的尺度和覆蓋層的尺度相差較大，若對實船和覆蓋層同時進行網格劃分來模擬，則計算代價較大。在所關注的頻段內，聲學性能取決于所表現出來的宏觀聲學和力學參數，這為采用等效化方法對實艇敷設聲學覆蓋層的聲學性能進行預報提供了可行性。

在材料的均勻化研究方面，Hassani和Hinton［1，2］給出等效化基礎理論，分析等效化理論在不同周期結構中的應用，推導出不同周期結構的等效化有限元計算公式。邱克鵬等［3］應用二次及多步均勻化方法計算蜂窩夾層板的整體等效彈性參數，表明三維均勻化方法的有效性。王飛等［4］基于均勻化和有限元理論推導出二維周期結構的均勻化有限元格式，研究蜂窩結構的等效化彈性參數并和已有的理論結果進行比較。孫士平和賴余東［5］基于均勻化理論分析不同蜂窩尺寸對夾芯板性能的影響。

本文基于多尺度漸進均勻化理論，建立手性周期結構瓦二維等效彈性常數的計算方法，并通過多種手段對等效結果的有效性進行驗證。

1　理論模型的建立

手性結構瓦滿足周期性均勻分布條件，其結構和單胞如圖1所示。細觀尺度的單胞結構和宏觀尺度的手性瓦數量級差異極大。單胞結構與宏觀尺度比較而言是極小量，在宏觀x尺度，材料的特征函數振蕩劇烈；在細觀y尺度，材料的特征函數變化平緩。引入ε連接細觀和宏觀尺度：ε×y=x。

圖1　手性周期結構瓦及其單胞結構

以具有周期單元結構Y的復合材料為例，假設在空間坐標系x處存在單胞Ω，邊界為S，分別受體力f和面力t作用。考慮線彈性范圍內虛位移方程

式中uε為宏觀尺度下真實位移，v是滿足邊界條件的任意虛位移。uε利用漸進均勻化理論展開得

對任意材料特征函數g=g（x，y）=g（x，x/ε）兩邊微分，則，將其代入方程（1）得

觀察方程（3）和（1）的形式，可知

對于Y-periodic的函數g（y），當ε→0時存在

假定方程曲線充分光滑，當ε→0積分存在可得

對方程（10）利用散度定理，可得

考慮到v的任意性

由此可知u0與細觀尺度無關，則u0（x，y）=u0（x），即uε僅是宏觀坐標x的函數，方程（2）可轉化為

考慮到v的任意性，對方程（3），假設v=v（y）

分別假設v=v（x）和v=v（y），方程轉化為

由方程（13）可見u0描述了材料宏觀尺度的位移；由方程（16）可見u1描述了細觀尺度的位移；方程（13）說明了u1與u0之間的直接函數關系，引入

是廣義位移，具有周期性特征，連接宏觀尺度與微觀尺度，是細觀結構的1階位移場；上標k、l表示宏觀坐標方向，下標p表示微觀坐標方向表示宏觀k-l方向變形后，細觀p方向的變形

將方程（19）代入方程（16）得

方程（1）和方程（18）的形式一致。由對應項相等得

當i=j=1及i=j=2時，方程（21）分別轉化為

對方程（22）進行化簡

式24化簡為

引入有限元法節點形函數來描述單胞結構

式中A表示n個節點按節點順序的集合。式（25）為

對方程（23）進行化簡

當i=j=1時

當i=j=2時

當i=1，j=2時

合并方程（28）、（29）、（30）、（31）、（34）得

位移函數必須在單元內連續，在相鄰兩單元的公共邊界上協調。如圖2所示，單胞結構坐標的對應邊界點上，廣義位移必滿足周期性邊界條件

圖2　矩形瓦的單胞模型

對于二維問題，將（36）、（37）代入方程（34），即可由方程（35）求得周期結構的等效力學參數。

2　數值算例

2.1矩形瓦等效化模型求解及驗證

為驗證所建立的等效化方法正確性，將理論計算的結果和已有文獻中的結果進行對比。分析對象如圖2所示，單胞尺寸1 m×1 m，方孔0.4 m×0.6 m，材料參數：D11=30，D22=30，D12=D66=10。根據上述方法，建立單胞的有限元模型，提取單元信息和節點坐標信息，利用MATLAB數學工具編寫均勻化理論程序，計算結構的等效力學參數，得到等效彈性模量：D11=13.014 8，D22=17.552 3，D66=2.784 9，D12=3.241 0，和文獻［2］中的計算結果吻合（Table1：D11= 12.820，D22=17.407，D66=2.634，D12=3.124）（單位為N/m2）。

2.2手性瓦等效化模型求解及驗證

利用有限元軟件ANSYS建立手性結構瓦單胞模型，劃分網格，如圖3所示。根據漸進均勻化理論，可計算出手性結構等效化力學參數：D11=3.191 4× 106，D12=1.320 8×106，D21=1.320 8×106，D22=3.105 7× 106，D66=8.282 9×105（單位為N/m2）。由此得等效化后的材料參數

圖3　手性結構抗沖瓦的單胞結構

為驗證等效參數的有效性，建立空氣中二維加筋板敷設手性結構瓦的動力學模型。將得到的等效參數代入等效模型計算聲輻射，并與實際結構的計算結果進行比較。模型及等效模型如圖4所示。等效瓦模型中，沒有內部結構，材料參數采用各向異性的等效材料參數代入。手性結構瓦芯層材料參數為：彈性模量5×109Pa，泊松比0.48，密度1 100 kg/ m3。瓦的濕表面材料參數為：彈性模量1×109Pa，泊松比0.48，密度1 430 kg/m3。加筋板材料參數為：彈性模量2.1×1011Pa，泊松比0.3，密度7 850 kg/m3。加筋板幾何參數為：長0.8 m，加筋板厚3 mm，手性瓦厚度為5 cm，瓦濕表面面板厚度為6 mm。在加筋板上X=0 m、0.25 m、0.55 m和0.8 m處約束UX和UY方向位移，在X=0.45 m處施加Y方向單位力。

圖5是手性結構瓦等效瓦模型和手性結構瓦二維模型在空氣中的聲輻射功率曲線圖。可見，低頻4 Hz～0.5 kHz內兩者吻合較好；在0.5 k Hz～2.5 k Hz和3 kHz～4 kHz內，趨勢一致且幅值大致相同；在2.5 kHz～3 kHz內趨勢大致相同但幅值相差較大。等效化模型的共振峰值點少于實際結構的幅值點，說明等效化減少了原結構的固有模態。

圖4　敷設手性結構瓦和等效瓦的加筋板模型

圖5　手性瓦和等效瓦的敷瓦板聲輻射功率級曲線

2.3敷設手性結構瓦的加筋板水下聲學性能計算

下面對一敷設手性結構瓦的加筋板聲學性能進行計算。加筋板幾何尺寸如圖6所示，面板被兩個橫向以及兩個縱向加強筋所約束［6］。

圖6加筋板尺寸示意圖

圖7是敷設手性結構瓦水中聲輻射的三維有限元模型。建立該模型時手性結構瓦采用等效瓦處理。

圖8是0～4 kHz內敷設手性結構瓦加筋板水下聲輻射聲壓的計算值和實驗值［7］的曲線。可見，計算值和實驗值的變化趨勢相同，數值方面有一定的差距，但可以基本反映輻射聲壓的大小。手性結構瓦內部振動復雜，存在復雜的阻尼機制，在ANSYS計算中采用的阻尼值比實際值低，這是計算值和實驗值在峰值處有差別的原因所在。

圖7　敷設手性結構瓦的加筋板ANSYS有限元模型

圖8　敷設手性結構瓦加筋板某場點水下輻射聲壓比較

3　結語

通過研究，可以得到以下結論：

（1）所建立的手性結構瓦等效化模型能夠較好地模擬實際手性結構瓦的振動特性，能用于實艇敷設手性結構瓦后的聲學性能計算；

（2）為了更好地模擬實際手性結構，需要進一步考慮手性結構瓦的阻尼效果；

（3）多尺度漸進均勻化理論可以對其它具有周期結構性質的覆蓋層進行分析。

［1］Hassani B，Hinton E.A review of homogenization and topology optimization I-homogenization theory for media with periodic structure［J］.Computers and Structures，1998，（69）:707-717.

［2］Hassani B，Hinton E.A review of homogenization and topologyoptimizationII-analyticalandnumerical solution of homogenization equations［J］.Computers and Structures，1998，（69）:719-738.

［3］周廷美，陳菲菲.瓦楞夾層結構等效彈性常數的多步均勻化方法［J］.武漢理工大學學報，2009，31（17）：141-144.

［4］王飛，莊守兵，虞吉林.用均勻化理論分析蜂窩結構的等效彈性參數［J］.力學學報，2002，34（6）：914-922.

［5］孫士平，賴余東.蜂窩體胞尺寸對夾芯板性能的影響研究［J］.航空材料學報，2011，31（2）：61-66.

［6］肖鋒，諶勇，馬超，等.橡膠蜂窩覆蓋層水下爆炸響應及抗沖擊性能［J］.噪聲與振動控制，2013，33（4）：44-49.

［7］Dawei Zhu，Xiuchang Huang，Yu wang et al.Experimental and numerical research on the underwater sound radiation offloatingstructureswithcoveringlayers［J］.Proc IMechE Part C:J Mechanical Engineering Science，2015，229（3）:447-464.

Acoustic Performance Evaluation of Chiral Layer Coating Based on Multi-scaleAsymptotic Homogenization Theory

DU Zhi-peng1，LIU Dong-yue1，ZHU Da-wei2，HUANG Xiu-chang2
（1.Naval Research Center，Beijing 100073，China；2.Institute of Vibration，Shock and Noise，State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China）

Based on the multi-scale asymptotic homogenization theory，the equivalent elastic constants algorithm for the chiral layer coating was established.The detailed deduction of the multi-scale asymptotic homogenization method was given. Numerical results were presented to validate the method by comparing the vibration transmission results for a planar chiral layer coating with those calculated by modeling the detailed chiral structure.The proposed method was then employed to calculate the acoustic radiation of a stiffened plate covered by the chiral layer coating.It is demonstrated that the results by employing the equivalent constants algorithm based on the multi-scale asymptotic homogenization theory have a good agreement with the experimental results.The multi-scale asymptotic homogenization method is an effective method which can be applied to evaluate the acoustic performance of chiral layer coating.

acoustics；multi-scale asymptotic homogenization theory；chiral layer coating；acoustic performance

O328；O329

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2015.05.038

1006-1355（2015）05-0180-05

2014－12－05

杜志鵬（1976－），男，大連人，博士，主要研究方向：水面艦船抗沖瓦研究。

E-mail:dzp7755@sina.com