探究“雪花”曲線

張志勇

美麗的分形是大自然景物的抽象，它無比豐富的細節、絢麗多彩的結構常令我們流連忘返，圖1中的科赫（Koch）雪花曲線等給我們以美的遐想。分形在多個領域有著廣泛的應用，如物理中的湍流、化學中的高分子鏈、天文學中的星團分布、地理學中的河流與水系、生物學中的全息現象……

下面我們要探究的是美麗的分形背后的數學身影。

首先，我們來了解一點分形的科普小知識，提及分形，首先要涉及的是其自相似性，所謂自相似性即是指局部是整體成比例縮小的性質，通俗一點，就是當用不同倍數的照相機拍攝研究對象時，無論放大倍數如何改變，看到的照片都是相似的，由此，你能想象Koch雪花曲線的自相似性嗎？

雪花曲線由瑞典數學家科赫于1904年構造，因為酷似雪花，所以叫“雪花曲線”，其構造規律是這樣的：從圖2-1所示的等邊三角形開始（稱為初始元），將三角形的每條邊三等分，并在每條邊三分后的中段向外作新的等邊三角形（舍去中間的一段，保留兩側的兩段，將中間的一段改成夾角為60°的兩個等長的直線段，如圖2-2），再細分便得到圖2-3……不斷重復這樣的過程，隱去不要的部分，便可得到圖1所示的雪花曲線。