基于改進核主成分分析的故障檢測與診斷方法

韓敏，張占奎

（大連理工大學電子信息與電氣工程學部，遼寧 大連 116023）

引 言

復雜工業過程如果發生故障，會造成巨大的損失，在線監控工業過程的運行狀態，及時發現和識別故障至關重要。故障診斷主要研究如何對系統中出現的故障進行檢測和辨識，也就是判斷故障是否發生和故障發生的類型。其中，基于數據驅動的多元過程統計方法不需要精確的數學模型和先驗知識，只需要對歷史數據進行特征提取，在特征空間中構建監控統計量實現故障檢測，并且根據貢獻圖識別引起故障的變量，是故障診斷領域研究的熱點方向之一[1-3]。

特征提取作為非常關鍵的一步，直接影響故障檢測與故障診斷的性能。一般來說，數據結構特征包括全局結構特征和局部結構特征。全局結構描述過程數據的整體結構，反映數據的外部形狀，而局部結構描述過程數據近鄰點的排列情況，反映數據的內在屬性[4]。故障診斷中特征提取主要的手段包括：主成分分析（principal component analysis，PCA）[5]、偏最小二乘（partial least squares，PLS）[2]和獨立成分分析（independent components analysis，ICA）[6]等。主成分分析通過求解歷史數據協方差矩陣的特征值和特征矢量實現特征提取，由于主成分分析是一種線性投影方法[7]，無法解決過程監控中的非線性問題。為克服這一缺陷，核主成分分析（kernel principal component analysis，KPCA）被提出[8]。核主成分分析通過非線性映射函數將歷史數據從原始空間投影到高維特征空間再運用線性PCA 技術，保留原始數據中大部分方差信息，但方差主要描述的是樣本空間的全局結構信息[4]。最近，研究表明流形學習（manifold learning）能夠提取數據集在原始變量空間中隱藏的局部結構，受到過程監控領域的關注[9-11]。流形學習主要方法包括拉普拉斯特征映射法（Laplacian eigenmaps，LE）[12]，局部線性嵌套法（locally linear embedding，LLE）[13]，局部保持投影法（locality preserving projections，LPP）[14]等。其中，局部保持投影法在保持局部結構的同時實現了線性計算，得到廣泛的應用，并且通過引入核方法提出了核局部保持投影（kernel locality preserving projection，KLPP）[15]。然而，在特征提取過程中丟失局部結構或者全局結構都會影響特征提取的效果。因此，一些綜合保持全局結構和局部結構的方法不斷地被提出，例如global-local structure analysis（GLSA）[4]、local and global principal component analysis（LGPCA）[16]、tensor global-local structure analysis（TGLSA）[17]等。但這些方法本質上是線性投影方法，不能有效地提取工業過程中的非線性特征。

在故障檢測與診斷問題上，傳統方法采用T2統計量和平方預測誤差（squared prediction error，SPE）統計量兩個監控指標判斷是否有故障發生，并且根據貢獻圖辨識引起故障的變量[1]。T2指標采用馬氏距離作為度量，而SPE 指標采用歐式距離作為度量，導致這兩個統計量不能聯合起來進行故障檢測，并且通過兩個指標分別得到的貢獻圖無法準確診斷出發生的故障類型[18]。由于過程監控的任務是從大量的樣本數據中區分出正常樣本和故障樣本，因此故障檢測可以認為是分類問題。其中，費舍爾判別分析（Fisher discriminant analysis，FDA）作為一個經典的維數約減和模式分類方法，被廣泛應用。例如，He 等[19]通過使用故障模式類標簽知識建立故障分類模型，在此基礎之上，Zhang 等[20]使用費舍爾判別分析求解滿足最大分離度的特征矢量和判別矢量來實現狀態監測，提高了系統故障檢測與診斷能力。

為解決傳統核主成分分析提取非線性特征時只考慮過程數據全局結構而忽略局部結構特征的缺陷，本文將核局部保持投影方法保持局部近鄰結構思想融入到核主成分分析的目標函數中，提出一種改進核主成分分析方法（modified kernel principal component analysis，MKPCA），解決工業過程中數據變量存在非線性關系的問題。該方法既能夠保持數據集整體方差的最大化，又可以保持數據集局部近鄰結構不變。本文將所提方法用于過程數據降維和特征提取，并與費舍爾判別分析相結合，將獲得的特征信息分類，以判別矢量的歐式距離為統計量檢測故障，并且根據特征矢量間的相似度系數快速識別故障類型。

1 改進核主成分分析方法

作為非線性特征提取的經典方法，核主成分分析（KPCA）通過非線性函數將輸入數據集從原始空間映射到高維特征空間運用線性主成分分析技術進行特征提取，實現了方差最大化，但方差主要描述數據集的全局結構信息。另一方面，核局部保持投影（KLPP）是一種通過在核空間建立近鄰圖來保持數據集局部結構的方法，其本身著眼于局部結構的保持，并沒有考慮全局結構特征。借鑒核主成分 分析和核局部保持投影方法的思想，本文提出改進核主成分分析方法（MKPCA），其優化目標可以分解為全局和局部兩個目標函數。全局目標函數使映射得到的特征空間保留原始數據集的大部分方差信息，實現全局特征提取；局部目標函數使映射得到的特征空間和原始數據集具有相似的局部近鄰結構，實現局部特征的提取。

1.1 核主成分分析

核主成分分析（KPCA）通過非線性映射函數將歷史數據從原始空間投影到高維特征空間再運用線性PCA 技術，保留原始數據中大部分方差信息。假設已知數據集XT=[x1,x2,…,xn]∈Rm×n，m表示系統變量數目，n表示系統樣本數目，定義從原始空間到高維特征空間的非線性映射φ，Jglobal(w)的目標是在特征空間中尋找一個投影向量w，使得投影后的yi=(φ(xi))Tw保留原始數據集的大部分方差信息，其中，i=1,2,…,n。核主成分分析的目標函數Jglobal(w)可以用式(1)表示

式中，wTw=1。

因為特征空間由過程數據的映射值φ(x1),φ(x2),…,φ(xn)組成，所以投影向量w必定在特征點φ(xi)展開方向上，即存在一個向量α=(α1,α2,…,α n)T滿足

將式(2)代入式(1)，目標函數轉化為求解α，如式(3)所示

然后，為求解上述非線性問題，引入核函數K(i,j)=φ(xi)Tφ(xj)，可得核矩陣則目標函數可以轉換為

式中，αΤKα=1，C=KK。

核主成分分析的目標函數通過非線性函數將原始數據集映射到高維空間，因為在高維空間保留原始數據集的大部分方差信息，實現了全局結構的特征提取。但是，全局目標函數中并沒有考慮不同樣本點之間的內在關系，樣本點之間的局部幾何關系有可能被打亂，導致過程信息的丟失。

1.2 核局部保持投影

核局部保持投影（KLPP）通過在核空間建立近鄰圖，對鄰域圖各邊賦加合理的權重，能夠很好地表現數據集流形的局部結構。假設已知數據集XT=[x1,x2,???,xn]∈Rm×n，m表示系統變量數目，n表示系統樣本數目，定義從原始空間到高維空間的非線性映射φ，Jglobal(w)的目標就是尋找投影向量w使得投影yi=(φ(xi))Tw在高維空間保持數據點之間的近鄰關系，其中，i=1,2,???,n。也就是如果φ(xi)和φ(xj)是近鄰，即ε為閾值參數，那么yi=(φ(xi))Tw和yj=(φ(xj))Tw也應該是近鄰的。核局部保持投影的目標函數定義如下：

S為權重矩陣，D為對角矩陣，

同樣，存在一個向量α=(α1,α2,…,α n)T滿足那么核局部保持投影的目標函 數為

式中，L=D-S是Laplacian 矩陣，L′=KLK。

核局部保持投影的目標函數通過在高維空間保持原始數據點之間的近鄰關系，實現對原始數據集的局部結構提取。但是，其局部目標函數僅僅關注樣本點之間的局部關系，并沒有考慮樣本點的全局特征。

1.3 改進核主成分分析方法

結合核主成分分析和核局部保持投影算法的優點，本文將核局部保持投影方法保持局部結構的思想融入核主成分分析的目標函數中，提出改進核主成分分析（MKPCA），使提取特征時得到的特征空間既能保留原始數據集的全局結構，又和原始數據集具有相似的局部近鄰結構，克服傳統核主成分分析方法只關注全局結構特征而忽略局部結構特征的缺陷。然而，這兩個目標函數很難同時達到最優。針對該問題，引入參數η平衡這兩個目標函數。改進核主成分分析的優化目標定義如下

式中，M=ηC+(1 -η)L′，αΤKα=1，0≤η≤1。

求解上述目標函數，必須要認識到不同的目標函數可能有不同的規模和收斂速度，因此，應選擇適當的參數η來統一目標函數的規模，并且使它們具有相同的收斂速度。實際上，上述目標函數的優化問題最終轉化為一個特征向量的問題來求解。由于沒有采取迭代搜索的策略，在這里不會涉及收斂速度的問題，只需要考慮兩個子目標函數之間規模的差異。受到參考文獻[16-17]的啟發，定義Jglobal(α)和Jlocal(α)的規模如下

式中，ρ(?)為相關矩陣的譜半徑。為了統一全局和局部結構保持的不同規模，定義式(12)

因此，參數η可以用下式求解

當確定η的值后，利用拉格朗日因子法求解α，最大化αTMα- λ(αΤKα- 1)，對α求導并令其等于0，最終推導出式(14)

因此，改進核主成分分析方法轉化為求解方程(14)的廣義特征值問題。為了解決非奇異問題，引入正則化的方法[9]，式(14)中將 +nβK Ⅰ代替K，其中，β為一個非常小的正整數，nⅠ為一個n n× 的單位矩陣。然后，得到按大小排列的特征值λ1,λ2,…,λn及與之對應的特征向量α1,α2,…,α n，進而得到投影矩陣Α=[α1,α2,???,α n]。根據特征提取后的能量保持率γ（通常取大于85%），即特征提取后需要滿足

選取最大的d個特征值[λ1,λ2,…,λd]所對應的特征矢量α1,α2,…,α d構成Α′=[α1,α2,…,α d]。另外，使用改進核主成分分析方法時涉及核矩陣K的去中心化處理[21]。

基于改進核主成分分析方法的特征提取步驟如下：

（1）給定正常工況下的訓練數據，進行歸一化，得到原始數據集XT=[x1,x2,???,xn]；

（2）選擇適當的參數，確定原始數據集的核矩陣K和矩陣L；

（3）求解式(14)，得到投影矩陣Α=[α1,α2,???,α n]；

（4）按照式(15)選擇合適的主成分個數，投影矩陣Α′=[α1,α2,???,α d]；

（5）按照T=KTΑ′，提取數據集XT的特征。

2 費舍爾判別分析方法

費舍爾判別分析（FDA）是一種通過確定滿足類間離散度最大化和類內離散度最小化的線性變換，來降低特征空間維數的模式分類方法，它可以最大程度地將各類數據分開[20]。設X∈Rn×m是一組由n個采樣和m個測量變量構成的數據集，包含p類數據，nj為第j類數據的個數。令Sa為類內離散度矩陣，Sb為類間離散度矩陣。類內離散度矩陣為

式中，f為所求的最優投影矢量。求解如下廣義特征值問題

求解式(19)可以得到n個特征值和與之相對應的n個特征向量，取前s個特征值對應的特征向量作為特征矩陣F，最大特征值對應的特征向量作為最優特征矢量fopt。

3 基于MKPCA-FDA 的故障檢測與診斷

輸入數據集之間差異越大，費舍爾判別分析方法的分類效果就越好。由于過程數據對象往往是高維、有噪聲的，一般情況首先使用特征提取技術將原始輸入空間映射到特征空間，而特征提取的效果會直接影響分類器性能。改進核主成分分析（MKPCA）作為一種特征提取方法，兼顧數據集的全局結構特征和局部結構特征，能夠較好地保持數據集之間的差異信息，將提取的特征信息作為分類器的輸入，可以提高分類器故障檢測與診斷的能力。基于MKPCA-FDA 的故障檢測與診斷方法通過MKPCA 提取正常工況下數據和各故障類別數據的非線性特征，使用FDA 建模，計算出特征矩陣和最優特征矢量，構建距離統計量并通過核密度估計確定其控制限，利用相似度的性能診斷方法識別發生的故障類型。

正常工況下訓練數據的判別矢量和新采樣測試數據的判別矢量分別為

式中，Ttrain和Ttest分別為MKPCA 提取的正常工況下訓練數據和新采樣測試數據的特征信息。將每一類數據的判別矢量看成一個簇，求取簇中判別矢量的均值確定正常工況下訓練數據判別矢量的中心ξcenter，通過式(22)計算正常工況下訓練數據的判別矢量ξtrain與中心ξcenter之間的歐氏距離

Dis 為正常工況下訓練數據的監控統計量，通過核密度估計的方法[22]確定監控統計控制限Dis?。當獲取到新采樣數據時，通過下式計算新采樣數據的判別矢量ξnew與正常數據判別矢量中心ξcenter之間的歐氏距離

當計算出的新采樣數據的統計量Disnew大于控制限Dis?時，即可判斷出有故障發生。檢測到有故障發生之后，判斷故障發生的類型。首先，離線確定各故障的診斷閾值。使用最優特征矢量建立故障診斷庫，p為故障類的個數，計算各類故障之間的相似度，定義最優特征矢量與之間的相似度系數為 Simi,j，相似度系數Simi,j可以通過下式獲得

每種故障的閾值是故障診斷庫中不同于本故障的相似度的均值，通過式(25)計算可以得到第i類故障的診斷閾值

式中，p表示故障類個數。

當在線檢測到故障后，計算新采樣數據的最優特征矢量和故障診斷庫里最優特征矢量之間的相似度系數為 Simnew,j，使用相似度系數Simnew,j來判斷故障類型。如果新采樣數據的最優特征矢量與故障診斷庫里中第j個故障的最優判別矢量之間的相似度最大，并且超過了該類故障的診斷閾值，則判斷為第j類故障發生。否則，將待測樣本發生的故障類型認為是新的故障類型，更新故障診斷歷史數據庫。

傳統方法采用T2和SPE 統計量檢測故障是否發生。T2是當前采樣數據主元向量的馬氏范數，而SPE 表示主元模型對采樣數據的平方預測誤差，采用歐式距離作為度量。T2和SPE 統計量的不一致性，導致有時會得到不同的故障檢測和診斷結果。本文在特征空間中使用FDA 建立監控統計量Dis，并且使用最優特征矢量快速識別故障類型。FDA 充分考慮到了故障分類信息，提高了不同類別子集間的分離程度，有利于提高故障檢測和診斷能力。

基于MKPCA-FDA 的故障檢測與診斷流程：

（1）收集正常工況下過程變量數據集和p類歷史故障數據集；

（2）使用MKPCA 提取正常工況數據集和故障數據集的非線性特征Tnormal和Tfault；

（5）確定新采樣數據判別矢量ξnew和正常工況下數據集判別矢量的中心ξcenter之間的歐氏距離Disnew。

（6）比較監控統計量 Disnew和監控統計控制限Dis?，如果 Disnew＞ D is?，判斷有故障產生，然后，計算相似度系數，識別故障類型。

4 仿真實驗

為驗證本文所提方法的有效性，采用Tennessee Eastman（TE）過程故障檢測數據集進行仿真實驗。TE 過程[6]作為一個基于真實工業過程的仿真平臺，在基于數據驅動的故障檢測研究領域中被廣泛應用于評價監控方法的性能。該過程有12 個操作變量和41 個測量變量，包含了正常狀態及21 種不同狀態的故障。本文使用的數據下載自http://web.mit.edu/ braatzgroup/links.html，選取33 個變量作為過程監測變量，每種狀態的數據包括訓練數據集和測試數據集，分別是480 組和960 組數據，每一種故障從第161 個數據點開始引入。

4.1 特征提取

為驗證本文所提方法具有較好的特征提取效果，首先使用本文所提方法進行特征提取仿真實驗。從訓練數據集和測試數據中分別取1 組正常工況數據和3 組不同的故障數據（以故障4、故障8 和故障14 為例），使用本文所提MKPCA-FDA 方法將數據投影到特征矢量方向上，得到數據第一和第二特征矢量的分散圖，并分別KPCA 方法、KLPP 方法、LGPCA 方法、GLSA 方法、FDA 方法和KFDA 方法進行比較。建立KPCA 模型時，選取高斯核函數其中，核參數σ=20m，m為過程變量的維數，采用方差累計百分比方法，確定主元個數為9。作為對照，同樣設定其余方法的潛隱變量個數為9。采用k最近鄰法來計算相似矩陣，其中，參數k=10，t=1。各方法的統計量置信限均選擇為99%。

圖1 基于KPCA 的特征提取Fig.1 Features extracted based on KPCA

圖2 基于KLPP 的特征提取Fig.2 Features extracted based on KLPP

圖3 基于LGPCA 的特征提取Fig.3 Features extracted based on LGPCA

圖4 基于GLSA 的特征提取Fig.4 Features extracted based on GLSA

圖5 基于FDA 的特征提取Fig.5 Features extracted based on FDA

從圖1和圖2KPCA 和KLPP 的前兩維特征提取結果可見，KPCA 和KLPP 都無法將4 類數據有效地分離，特別是正常工況和故障4 存在大量的重合；圖3和圖4分別為LGPCA 和GLSA 的前兩維特征提取結果，由于綜合保持了全局結構和局部結 構，其效果要略好于前兩種方法；圖5為FDA 的前兩維特征提取結果，只有故障4 被有效地區分開，正常數據、故障8和故障14并不能被有效地區分開；從圖6中可以看出，非線性方法KFDA 能夠將故 障4 和故障14 區分開，效果要好于線性方法 FDA，但是正常數據和故障8 仍有重疊；本文所提 MKPCA-FDA 方法的特征提取結果如圖7所示，由于MKPCA 方法可以提取信息量更加豐富的數據作為FDA 方法的輸入，本文方法在完成數據降維和可視化的同時能夠將正常數據、故障4、故障8 和故障14 有效地分離，使得用判別矢量的歐氏距離作為統計量進行過程監控成為可能。

圖6 基于KFDA 的特征提取Fig.6 Features extracted based on KFDA

圖7 基于MKPCA-FDA 的特征提取Fig.7 Features extracted based on MKPCA-FDA

4.2 故障檢測

圖8 KPCA 方法的故障5 監控結果Fig.8 Monitoring result of KPCA on fault 5

圖9 KLPP 方法的故障5 監控結果Fig.9 Monitoring result of KLPP on fault 5

為驗證本文所提方法的故障檢測能力，以故障5 為例進行實驗。故障5 是一個發生在冷凝器冷卻水入口溫度上的階躍型故障，故障發生后冷凝器的冷卻水流量會隨之發生一個顯著的階躍變化，同時，從冷凝器出口到分離器的流速增加，進而導致氣液分離器溫度增加，分離器冷卻水出口溫度也隨之增加。但是TE 仿真平臺的控制回路能夠通過反饋補償這個故障變化，最終分離器中的溫度降返回正常狀態。這也使得一些監控方法只能在故障發生的初期檢測到這類故障，而不能持續地給出報警。圖8為基于KPCA 方法的2T和SPE 統計量的故障檢測結果，兩種統計量對故障5 的反應不敏感；從圖9中可以看出，KLPP 方法的T2和SPE 統計量仍然無法有效地檢測故障；圖10為基于LGPCA 方法的T2和SPE 統計量的故障檢測結果，SPE 統計量對故障5 的反應不敏感，T2能夠持續檢測出故障，但波動較大；從圖11中可以看出，GLSA 方法的SPE統計量仍然無法有效地檢測故障，而且T2的波動也較大；從圖12中FDA 方法的檢測結果可見，直接使用FDA 的效果仍不理想；圖13為KFDA 方法的距離統計量檢測結果，其效果要好于KPCA 方法和FDA 方法；本文所提方法對故障5 的檢測結果如圖14所示，在前160 采樣時刻沒有發生誤報，在第161采樣時刻距離統計量超過了監測控制限，而且能持續穩定地檢測出故障。

圖10 LGPCA 方法的故障5 監控結果Fig.10 Monitoring result of LGPCA on fault 5

圖11 GLSA 方法的故障5 監控結果Fig.11 Monitoring result of GLSA on fault 5

圖12 FDA 方法的故障5 監控結果Fig.12 Monitoring result of FDA on fault 5

從表1中可以看出，本文所提方法在測試數據集中均取得了較好結果。KPCA 和KLPP 作為基本方法，其故障檢測性能接近；LGPCA 和GLSA 方法，在進行特征提取時能夠關注數據集的局部和全局特征，檢測性能有一定的改善；作為一種有監督的非線性模式分類方法KFDA，利用了數據的類別信息，其故障檢測性能要好于線性方法FDA；本文所提方法的故障檢測效果最好，本文方法利用MKPCA 全面提取各數據的全局特征和局部特征，能夠反映數據的內在屬性，增大了數據間的差異，將之作為FDA 的輸入，提高了FDA 分類的效果。

表1 故障檢測率測試結果Table 1 Test results of fault detection rate

圖13 KFDA 方法的故障5 監控結果Fig.13 Monitoring result of KFDA on fault 5

圖14 MKPCA-FDA 方法的故障5 監控結果Fig.14 Monitoring result of MKPCA-FDA on fault 5

4.3 故障診斷

當系統成功地檢測到故障后，需要判斷發生的故障類型，本文使用相似度的性能診斷方法識別發生的故障類型。首先，離線確定各故障的診斷閾值。對TE 過程每種故障（共21 種）的480 組訓練數據建立MKPCA-FDA 模型，得到每種故障類型的最優特征矢量，使用最優特征矢量建立歷史故障診斷庫，在建立歷史數據故障診斷庫的基礎上，計算各類故障最優特征矢量之間的相似度系數值，最后，計算各故障的診斷閾值，每種故障的閾值是故障診斷庫中不同于本故障的相似度的均值，如表2所示。

以故障5 為例，圖15為本文方法在第161 時刻檢測出故障后，利用最優特征矢量對故障5 的相似度分析，可以看出，在第161 時刻發生故障的最優特征矢量與故障診斷庫中故障5 最優特征矢量的相似度系數值最大，且超過了故障診斷閾值，因此判斷系統在第161 時刻所發生的故障類型為故障5，與實際情況吻合。

表2 各故障的診斷閾值Table 2 Diagnosis threshold of each fault

圖15 故障5 的診斷效果Fig.15 Fault diagnosis effect diagram of fault 5

為可視化本文所提方法具有較好的故障識別效果，從表1中挑選了9 種故障工況，從故障診斷庫中選擇相應數據集的最優特征矢量，得到各測試數據集的特征矢量與故障診斷庫中特征矢量的相似度系數，如圖16所示，可以看到，本文所提方法能夠將各種故障識別出來。

圖16 9 種故障工況的識別結果Fig.16 Fault identification results among nine selected fault cases

5 結 論

本文針對傳統核主成分分析（KPCA）方法提取非線性特征時，忽略數據局部結構特征的缺陷，綜合核主成分分析全局結構保持和核局部保持投影（KLPP）局部結構保持的優點，提出一種改進核主成分分析方法（MKPCA）。該方法在解決非線性問題的同時，能夠全面提取非線性系統中過程數據的全局特征和局部特征，包含更加豐富的特征信息，并將之作為FDA 方法的輸入，使用判別矢量的距離進行故障檢測，根據最優特征矢量間的相似度系數來快速識別故障，充分利用了MKPCA 方法特征提取能力和FDA 方法監督學習能力，實現兩種方法的優勢結合。采用Tennessee Eastman 過程故障檢測數據集進行仿真實驗，表明了本文所提方法在故障檢測與診斷中的優勢。

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