基于三角區間軟約束的模型預測控制算法

孫超，戴睿，郝曉辰，劉彬，周湛鵬

（燕山大學電氣工程學院，河北 秦皇島 066004）

引 言

模型預測控制（MPC）[1-2]是一類產生于工業控制實踐的計算機控制算法。作為先進控制技術的典型代表，由于具有建模容易、魯棒性好、約束處理靈活等優點，而被廣泛地應用于石油、化工等工業過程[3-5]。在實際工業過程應用中，MPC 對被控變量（CV）的控制方式主要有設定值控制（set point control）和區間控制[6-7]（interval control）兩種。設定值控制可以將CV 控制在理想的目標值，適用于具有嚴格控制指標的CV，但其又有自由度低、魯棒性差的缺點，特別體現在遇到工業擾動時的控制性能會嚴重下降，使得CV 產生劇烈波動，影響產品質量[8-10]。相比之下，區間控制系統具有自由度高、魯棒性好等優點，近年來代替設定值控制成為各界研究的重點。文獻[11]提出一種“軟約束”處理方法改善控制品質，實現區間控制。文獻［12］提出了一種穩定的區間MPC 控制器，該方法的代價函數中包含了輸入輸出的穩態經濟目標，由于考慮了零值控制器，所以此控制器并不能達到局部最優。文獻[13]用一種穩態區間可操作性方法設計了基于模型的約束控制器，可用來處理輸入個數少于輸出的多變量的非方系統，不過，此方法中輸入集合與輸出集合的兼容性容易出現問題。上述文獻均是采用包含理想目標值在內的區間范圍來代替確定的理想目標值，在CV 進入區間后，將不再進行控制作用，CV 可能運行在區間內的任意位置而非理想目標值。這些方法雖然提高了系統的魯棒性和自由度，卻并沒有對設定值控制的性能做進一步優化，解決設定值控制魯棒性差、自由度低的缺點。

為解決上述問題，本文兼顧設定值控制和區間控制各自的優勢，基于動態矩陣控制（DMC）[14-15]，提出一種三角區間軟約束模型預測控制算法。算法根據工業過程實際要求，設置容忍區間及理想目標值，并以此確定三角區間，目的是優先將CV 控制在三角區間中，再對CV 進行動態優化，逐步將CV控制到理想的目標值，與此同時，又增加了系統的自由度，保證一定的魯棒性。最后，通過對Shell公司的典型重油分餾塔進行仿真實驗，驗證了算法的有效性及可行性。

1 三角區間軟約束模型預測控制算法研究

實際工業過程中，對具有嚴格控制指標的CV往往采用設定值控制，以期望將CV 穩定在某一理想值。但是，傳統設定值控制的自由度低、魯棒性差，特別是在系統受到擾動時，系統的動態性能會嚴重下降[16-17]。因此，在設定值控制的基礎上，加入三角區間軟約束，使CV 到目標值的控制分解為兩個階段。第一階段是令受干擾后的CV 進入到所設置的區間內，第二階段是在區間內將CV 進一步控制到目標值。通過這種方法來減小目標函數求解的誤差，提高系統的自由度和魯棒性。

1.1 三角區間軟約束的設計

根據工業流程控制的工藝，確定控制過程中第一階段的控制目標，即將CV 控制在包含理想值的區間內。當CV 被控在此區間內時，可以保證系統的穩定運行及產品的質量，稱此區間為容忍區間（tolerance range）。

如圖1所示，yc為預測輸出，ymax、ymin為容忍區間的上下界，yH、yL為三角區間的上下界，ysp為目標值。ε為表征預測值超出三角區間程度的變量。P為預測時域，yH、yL分別由k時刻容忍區間的上下界與k+P時刻的目標值相連獲得。從圖中可以看出，三角區間的上下界可以用幾何關系求出

其中，1,,jP=… 。由式(1)、式(2)可知，當ymax、ymin和ysp設置完成后，yH和yL與預測時域P的值有關，一旦P值確定，yH和yL在各個預測時刻的值也被確定。除非為了改變控制策略而改動了已設置參數的值，否則yH和yL的值在滾動優化的過程中將不再改變。

圖1 三角區間設置示意圖Fig.1 Triangular interval setting diagram

由此，可以得到k時刻優化變量ε的表達式

其中，j=1,…，P。由式(3)可以看出，當Yc在三角區間外時，ε表示Yc到最近的三角區間界限的距離。而當Yc在三角區間內部時，ε的值恒為零。以優化變量 ε(k) 構成三角區間軟約束（triangle interval soft constraint,TISC），并加入到目標函 數中。

1.2 目標函數的設計

當CV 受到擾動時，導致輸出值嚴重偏離了目標值，且超出了三角區間，這時希望控制器能夠對預測值進行一個強的懲罰，使預測值快速地回到三角區間，當預測值進入三角區間后，再通過設定值控制把預測值逐步控制到目標值上。

根據這一控制思路，提出如下的優化性能指標

其中

Yc(k)為k時刻的預測值，Q、R、S為各項的權值矩陣，M為控制時域，目標函數的第1 項是三角區間軟約束項，第2 項為設定值控制項，第3 項則是為了防止控制增量變化太過劇烈MV 軟約束 項[18]。

由目標函數可以看出，本文所提算法與設定值控制及區間控制是有密切聯系的，通過權值的調節也可以看出這一點。當權值矩陣Q的值全為零時，即相當于消去三角區間軟約束項，此時將只進行設定值控制。同理，當權值矩陣R的值全為零時，將只進行三角區間控制。

1.3 三角區間軟約束MPC 算法

假設被控對象為開環漸進穩定系統，且有m個輸入，p個輸出。將本文設計的三角區間軟約束與DMC 相結合，并應用于此被控對象，給出三角區間軟約束MPC 算法的流程。

1.3.1 預測模型 若已測得每個輸出yi對每一輸入uj的階躍響應aij(t)，則可由它們在采樣點上的值組成模型向量

式中，N為建模時域。

1.3.2 輸出預測 取預測時域為P，控制時域為M，則yi的模型預測輸出為

式中

將多變量系統預測輸出寫為矩陣形式

其中

為了減小實際控制過程中存在的干擾及模型失配對預測輸出造成的影響，采用當前時刻模型輸出與系統的實際輸出的差值對預測輸出進行修正

其中，ei(k)=y i(k) -yci(k|k)為當前時刻模型輸出與系統的實際輸出的差值。為誤差校正矩陣。

1.3.3 目標函數的求解

①Yc在三角區間內時=0，則目標函數化為

顯然，此時的目標函數僅是設定值控制的表達形式，屬于標準的二次規劃問題。

②Yc在三角區間上方時=Yc-YH，則

即

其中，E=Q(Y0-YH) +R(Y0-Ysp)為對角陣，F=AT(Q+R)A+S，Const 為已知的系數矩陣運算式，對目標函數的求解并沒有影響。因此，此時的目標函數是二次規劃問題。

③Yc在三角區間下方時ε(k)=YL-Yc，與情形②類似，此時目標函數也是二次規劃問題。

綜上所述，無論Yc取值如何，此目標函數均屬于二次規劃問題，可采用序列二次規劃（SQP）[19]算法求取最優控制增量序列ΔU(k)，僅選取第1 項作為當前時刻的控制增量，與 (1)u k- 疊加得到當前時刻的控制量。通過滾動優化，即可求得各個時刻的最優控制量。

1.4 參數對算法性能的影響

1.4.1 容忍區間上下界ymax、ymin根據實際被控系統的特點選定預測時域P之后，若容忍區間上下界ymax、ymin確定，則三角區間yH、yL也被確定。三角區間yH、yL體現了區間控制與設定值控制之間的聯系，容忍區間越大，三角區間的開口越大，給予控制器的自由度也越高，控制的魯棒性也隨之上升。而容忍區間越小，整個算法也更接近于設定值控制的效果，極限情況下，令yH與yL均取目標值，此時算法已相當于設定值控制。

1.4.2 目標函數中的權值Q、R、S權值S的主要作用在于防止控制量過于劇烈的變化。權值Q主要體現了三角區間軟約束項的控制力度。R則體現了設定值控制的控制力度。Q和R的比例關系也決定了控制的效果。Q越大，三角區間控制力度越大，魯棒性越好，但達到目標值的速度會減慢。R越大，設定值控制力度越大，但魯棒性會變差，輸出的波動也會增多。考慮極限情況，Q=0 時，相當于只進行設定值控制，控制器的自由度最小，魯棒性最差。當R=0 時，相當于只進行三角區間控制，由于三角區間是一束口區間，最終預測值將會在預測步數P時達到目標值，此時控制器的自由度最大，MV 會有最小的偏移量及對模型最小的敏感性。因此，為了保證算法的有效性，應保證 ?Q R。

2 三角區間軟約束MPC 算法的魯棒性性能分析

在無約束或非起作用約束時，對目標函數的推導式（9）使用二次規劃求解

令=-ATE，X=ΔU，則式(10)可以轉化為標準的數學方程組形式

由于實際問題中的初始數據會有誤差，即有擾動，這將會影響到計算的結果，產生誤差。在式(11)中，系數矩陣F=AT(Q+R)A+S，主要反映了動態矩陣A對方程組解的影響，即模型失配問題。而=-ATE=-AT[Q(Y0-YH) +R(Y0-Ysp)]主要反映了輸出值與控制目標的偏差，即系統抗干擾的問題。

定義1當一個方程組，由于系數矩陣或者右端的微小擾動而引起解發生巨大變化時，稱該方程組是“病態”的。

定義2對非奇異矩陣F，稱數為矩陣F的條件數，記為

引理[20]由于條件數的直接求解困難，根據工程實踐經驗，可判斷方程組在下列情況下是病態的：

① 用主元素法時出現小主元；

② 系數矩陣中有行（或列）近似線性相關，或者系數行列式的值近似為零。

定理設X和X?是方程組(11)的準確解和近似解，r為?X偏差，則

證明：由方程組(11)可得

由FX=f，得F(X-X?)=r，從而有

兩邊取范數，得

所以

證畢。

由式(13)可以看出，當方程組“病態”嚴重時，條件數很大，即使偏差很小，解的相對誤差仍可能很大。反之，若可以減少偏差，則解的相對誤差將會縮小，系統的魯棒性將會顯著提升[21]。

圖2中，d表示預測值到目標值的偏差，其他與圖1所示變量一致。在求解目標函數(9)時，有系數矩陣F=AT(Q+R)A+S。若F中含有高度關聯的變量時，此時的條件數會很大，即是“病態”的，此時目標函數的解對模型誤差是敏感的。

圖2 兩種算法的預測值偏差對比Fig.2 Contrast between deviation of two algorithms

如圖2所示，當系統受到擾動時，Yc在三角區間外，此時Yc與目標值的偏差d較大，則=-ATR(Y0-Ysp)=-ATR?。由于F是“病態”的，模型誤差將被放大。由式(13)可知，較大的偏差會使解的誤差增大，控制器必須利用相互抵消的MV 移動的作用來使預測值達到特定的值，這時控制器需要頻繁的變動且輸出值的波動會十分劇烈，這樣顯然更容易引起控制的不穩定。

設置三角區間后，Yc到三角區間上界的偏差為ε，令 ?Q R，則

由圖2可知ε＜d，故f2＜f1，減小了方程(11)右端的偏差。而減小偏差會使解的誤差顯著縮小，MV 會以更小的移動來使Yc進入三角區間內，而不會引入過大的瞬態偏差，防止輸出的劇烈波動。在Yc進入三角區間后，由式(3)可知，此時 0ε=，三角區間軟約束項不再起懲罰的作用，設定值控制項的作用得以體現。由于預測值已經很接近目標值，此時控制器確定的軌跡會使MV 有更小的偏移量并且對模型誤差更小的敏感性。Yc進入三角區間后的設定值控制過程中，即使預測值會產生一些波動，也只是在容忍區間內發生，這在工程實際中是被允許的。

3 實驗仿真分析

3.1 實驗仿真

為驗證本文所提算法的可行性及有效性，采用Shell 公司的典型重油分餾塔進行仿真實驗。該模型是一個三入三出的線性系統，傳遞函數矩陣為

u1、u2、u3為MV，約束區間為[-0.5，0.5]，y1、y2、y3為CV，控制目標為：y1=0，y2=0.3，為保證控制問題有可行解，y3采用區間控制，目標區間為[-0.3，0]。采用階躍函數模擬擾動的影響，初始時刻y1、y2均偏離了目標值，且=1.0，=0.4。取預測時域為24，控制時域為10，y1、y2的容忍區間分別為[-0.2，0.4]，[0.1，0.4]。為突出本文所提算法的優勢，與設定值控制進行了對比，為增加可比性，使兩者的權值矩陣保持相等。由于區間控制只是把CV 控制在區間內任意位置，并不能實現定值控制，故不作對比。

圖3 控制增量u1 變化曲線Fig.3 Change curve of control increment u1

圖4 控制增量u2 變化曲線Fig.4 Change curve of control increment u2

圖5 實際輸出y1 變化曲線Fig.5 Change curve of actual output y1

圖6 實際輸出y2 變化曲線Fig.6 Change curve of actual output y2

圖7 實際輸出y3 變化曲線Fig.7 Change curve of actual output y3

3.2 仿真結果分析

由仿真結果可以看出，系統在受到干擾后，設定值控制下的輸出曲線y1可以更快達到目標值，且波動較小，但是輸出曲線y2的性能質量卻很差，輸出波動頻繁且劇烈，三次超出系統的容忍區間，顯然這對系統整體的穩定運行是不利的。這是因為在外界干擾作用下，y1、y2產生了瞬時偏差，遠離了目標值，由魯棒性分析可知，較大的偏差會使解的誤差增大，控制器必須利用相互抵消的MV 移動的作用來使預測值達到目標值。又由于y1的偏差較y2更大，為保證y1迅速達到目標值，使得控制器動作頻繁且動作幅度大，控制器的自由度低，已沒有更多的自由度保證輸出曲線y2的性能質量，說明此時系統的魯棒性很差。

而在三角區間軟約束預測控制算法的控制下，輸出曲線y1雖然延長了到達目標值的時間，但可以快速進入容忍區間且變化更加平緩。同時，輸出曲線y2輸出波動及超出容忍區間次數減少，曲線也更加平緩。這是因為設置三角區間后，瞬時偏差減小，控制器求解的誤差減小，因而降低了控制器動作的頻率和幅度，增加了控制器的自由度與魯棒性。顯然，三角區間軟約束預測控制算法較設定值控制有更好的整體性能。

4 結 論

石油、化工等實際工業控制過程中，對具有嚴格控制指標的CV 往往采用設定值控制，但其又有自由度低、魯棒性差的缺點。為解決這一問題，本文提出了三角區間軟約束模型預測控制算法。仿真結果表明，本文算法綜合了設定值控制與區間控制各自的優勢，在三角區間軟約束的作用下，保證了CV 可以運行在理想目標值的同時，又最大限度地保證了系統的魯棒性和自由度，提高了系統對干擾的應對能力，控制效果明顯優于設定值控制。因此，三角區間軟約束模型預測控制算法更好地符合了實際工業生產中對某些CV 進行定值控制的要求。

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