水平旋轉梁的自由振動分析

南昌航空大學飛行器工程學院 丁相玉

水平旋轉梁的自由振動分析

南昌航空大學飛行器工程學院 丁相玉

本文引入一種較新的數學方法阿德米安修正分解法（Adomian modified decomposition method，AMDM）研究在不同邊界條件下水平旋轉歐拉梁的振動分析。通過與前人的計算結果比較，驗證了本文方法的有效性。阿德米安修正分解法提供了一種在任意邊界條件下，對旋轉梁進行自由振動分析的簡單而準確的方法。

Adomian修正分解法；水平旋轉梁；邊界條件；振形；固有頻率；

1 引言

由于旋轉梁被廣泛應用于旋轉機械系統，所以其自由振動分析日益受到重視，并對其進行了廣泛的研究，取得了卓有成效的成果。不同的數值分析方法如動態剛度法、經典微分方程法、有限元法和譜元分析法已被用于解決該類結構的自由振動問題。如今，大多數旋轉梁的振動分析已不限于經典邊界條件（如固定，自由或簡支）。然而在實踐中，旋轉梁的結構特點可能跟經典的邊界條件相差甚遠。

本文引入一種較新的數學方法——Adomian修正分解法，并將其應用于在各種經典和非經典邊界條件下對旋轉歐拉梁的自由振動分析。與經典的數值方法如有限元方法相比，Adomian修正分解法的主要優點在于不需要進行離散化從而不用修正誤差，并且計算快速。最初提出用來解決物理的前沿問題的Adomian修正分解法，現在已經逐漸被應用于求解振動力學問題。

2 用AMDM方法分析水平旋轉梁

如圖1所示，歐拉梁繞Z軸旋轉，長度為L，梁兩端添加彈性約束，在X和Y方向的位移分別為。歐拉梁的自由振動偏微分方程如下所示：

圖1 歐拉梁彈性約束

式（1）和（2）重新表示為：

顯然式（5）和（6）構成了一個常微分耦合方程。該方程可以簡化為矩陣形式

根據Adomian修正分解法可知，式（7）中的可以分解為無窮級數之和

把式（9）代入式（12）的等號右邊，并與式（13）進行比較，則公式（9）中的未知向量 可以用以下遞推關系確定

根據方程（9）,振型的第一、第二和第三階空間導數可以表示為

3 梁的固有頻率和振型分析

在圖1所示的旋轉梁無量綱后的兩端邊界條件可以表示為

把式（19），（20）代入式（17），（18），可以得到

4 數值結果

表1列出了不同旋轉速度下的兩端簡支梁的前六階無量綱固有頻率。將這些計算結果與文獻[1]和 [8]進行對比，可以發現利用AMDM方法得到的結果與其他計算方法的結果之間的幾乎沒有差異。

本文所提出的方法，基于AMDM技術，在任意邊界條件下為旋轉梁的振動分析提供了一個統一系統的步驟。從而可以很容易的得到無量綱固有頻率和相應的振型。例如，通過改變水平和垂直彈簧的剛度數值就可以改變模型的邊界條件，但是算法沒有任何的影響和改變。

表1 懸臂梁在不同旋轉速度下的前六階無量綱固有頻率（當時）

表1 懸臂梁在不同旋轉速度下的前六階無量綱固有頻率（當時）

表2 懸臂梁在不同旋轉速度下的前六階無量綱固有頻率（當時

表2 懸臂梁在不同旋轉速度下的前六階無量綱固有頻率（當時

圖2 當時懸臂梁的前六階固有頻率

圖3 當時懸臂梁的前六階固有頻率

圖4 當時固支梁的前六階固有頻率

圖5 當時固支梁的前六階固有頻率

5 結論

在本文中，使用AMDM修正方法在不同邊界條件下對勻質的旋轉歐拉梁的自由振動進行了分析。AMDM修正方法的優點是它的快速收斂性和高精度。用AMDM修正方法針對不同的邊界條件和/或旋轉速度只需簡單地改變相應參數即可，而并不涉及任何程序或算法的修改。通過該方法可以快速的得到各種梁在不同邊界條件和旋轉速度下的無量綱固有頻率。

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丁相玉(1983-)，男，碩士。研究方向為航空發動機振動分析。