淺談高三學生的運算能力培養

廈門海滄實驗中學　林桂忠

淺談高三學生的運算能力培養

廈門海滄實驗中學林桂忠

數學運算能力是高中數學重要能力之一，運算能力的強弱是影響數學學習成績的一個重要因素。在目前高考題量大、時間緊的情況下，扎實的運算能力顯得尤為重要。高三學生只有熟練掌握必要的運算能力，才能為解題提供正確的數據參考和解題思路，才能“節約”出寶貴的時間去探究新題型、新問題，否則只能“干著急”，“望洋興嘆”，縱有渾身力氣也使不出來。

高考數學運算能力學習技巧

計算，是人類社會生活中不可缺少的一種活動，隨著計算器、計算機的問世，在高中教學過程中很容易忽視學生的運算能力，而高考并不允許考生帶這些“工具”進去，造成相當一部分考生不適應，而白白丟失分數。運算能力是思維能力和運算技能的結合，它不僅包括數的運算，還包括式的運算。高考數學對考生運算能力的考查是以含字母的式的運算為主，同時兼顧對算理和邏輯推理的考查。主要是指對數與式的組合與分解變形的能力，包括數字的計算、代數式和某些超越式的恒等變形、集合的運算、解方程與不等式、三角恒等變形、數列極限的計算、幾何圖形中的計算等，運算結果具有存在性、確定性和最簡性。在高考中，運算能力是高考考查的三大能力之一，且提出了如下三個方面的要求：會根據法則、公式進行數、式、方程的正確運算、變形和處理數據；能根據問題的條件，尋找設計合理、簡捷的運算途徑；能根據要求對一些數據進行估計和近似計算。下面結合高考真題分析對學生運算能力的培養提一些看法。

1　準確性

在高考的選擇、填空題中，近幾年來都有74分，學生只要一步算錯，就整題失分（5分或4分）；在解答題中，某步算錯，就會影響到后面的結果，導致連鎖出錯，最多只能得一半的分數。許多考生（特別是文科考生），就是因為準確率低，從而導致得分大打折扣，而與高分失之交臂，難圓名牌大學夢。運算的準確是對運算能力的基本要求，在運算過程中要求考生使用的概念要準確無誤，使用的公式要準確無誤，使用的法則要準確無誤。

［例2］已知f（x5）=lgx，則f（2）=_______。

［解析］本題主要考查學生用換元法求函數解析式及對數的運算法則。令。有的考生不懂得換元；有的考生記錯對數運算法則、分數指數冪運算法則。

總之，只有“準”才能得分，只有“準”才可不必考慮再花時間檢查，而“快”是平時訓練的結果，不是考場上所能解決的問題，一味求快，只會落得錯誤百出。

2　技巧性

技巧性對考生的運算能力提出了較高的要求。在考試說明中明確要求考生能根據問題條件，尋找設計合理、簡捷的運算途徑，這就要求考生不僅會解題，還要善于比較各種解題思路，在考試中盡量用最簡捷的運算方法，最優的解法，避開復雜、繁鎖的計算，從而提高計算的準確性，縮短解題時間，才能在考試中取得高分。近幾年來，高考出題已盡量避免復雜、繁鎖的計算，所以考生要學會用代值排除、數形結合、考慮特例、利用性質、結論等技巧解題。

［例3］過A（1，-1），B（-1，1），圓心在x+y-2=0上的圓的方程為（）

A.（x-3）2+（y+1）2=4

B.（x+3）2+（y-1）2=4

C. （x-1）2+（y-1）2=4

D.（x+1）2+（y+1）2=4

［分析］本題可采用代值排除法，避開繁鎖的運算。把每個圓的圓心坐標代入直線方程x+y-2=0檢驗是否滿足方程，便可排除B、D，再把A（1，-1）代入A、C兩個答案代表的圓的方程，得知都滿足，所以換成B（-1，1）再代入檢驗，可排除答案A，故選C。本題若用待定系數法，設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0），或（x-a）2+（y-b）2=r2解之，顯然運算量要大得多，容易計算出錯。

［例4］使log2（-x）＜x+1成立的x的取值范圍是

［分析］本題采用數形結合。引進函數y=log2（-x）與y=x+1，（x＜0），在同一坐標系作出這兩個函數的圖象，由y=log2（-x）的圖象要在y=x+1圖象的下方，易得x的取值范圍是-1＜x＜0。

［例5］過拋物線y=ax2（a＞0）的焦點F用一直線交拋物線于P、Q兩點。若線段PF與FQ的長度分別是p，q，則_____。

［分析］本題可考慮特殊位置求解。因為對于過焦點的任一直線，結論均成立，所以考慮用直線在特殊位置的情況來簡化運算。比如當直線過焦點）與x軸平行時，線段|PQ|為通徑，即由拋物線的對稱性知故選C。也考慮比如當直線就是拋物線的對稱軸時，顯然P、Q兩點中有一點與原點 O重合，另一點在無窮遠處，所以。所以。類似地，對于［例6］（2002年全國文，9）已知0＜x＜y＜a＜1，則有（）

A.loga（xy）＜0

B.0＜loga（xy）＜1

C.1＜loga（xy）＜2

D.loga（xy）＞2

［例7］已知復數z的輻角為600，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中項，求|z|.

［分析］本題主要考查數列等比中項、共軛復數、復數模的概念及復數模的運算性質，復數的三角形式或代數形式。考生在作答時，有的把等差中項與等比中項混淆，有的對共軛復數概念還清楚，更多的是不懂得用復數模的運算性質，來簡化運算，導致運算復雜而得不到正確答案。

3　估算

估算就是對一些數據進行估計和近似計算。在高考中，數學問題（特別是應用題）的取材都是非常貼近現實生活的，這樣的數據往往不是整數或數值很大，不容易做精確計算，多數情況下也沒這個必要，所以考試說明明確要求考生要會對一些數據進行估計和近似計算。

［例8］據2002年3月5日九屆人大五次會議《政府工作報告》：“2001年國內生產總值達到95933億元，比上年增長7.3%.”如果“十五”期間（2001年～2005年）每年的國內生產總值都按此年增長率增長，那么到“十五”末我國國內年生產總值約為（）

A.115000億元

B.120000億元

C.127000億元

D.135000億元

［解析］本題主要考查考生對有關增長率問題的建模及進行估算的能力。有的考生沒注意到2001年為第一年，故列出這樣的錯誤式子：95933（1+7.3%）5，有的考生能正確列出式子：95933（1+7.3%）4，但不懂得進行估算，而不能選出正確答案。此題要求考生會用二項式定理進行合理估算：

95933（1+7.3%）4≈95933（1+4×0.073+6×0.0732）

≈95933×1.32397≈127013

［例9］《中華人民共和國個人所得稅法》規定，公民全月工資、菥金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應納稅所得額。此項稅款按下表分段累進計算：

全月應納稅所得額　稅率不超過500元部分　5%超過500元至2000元的部分　10%超過2000元至5000元的部分　15%……　……

某人一月份應交納此項稅款26.78元，則他的當月工資、薪金所得介于（）

A.800～900元

B.900～1200元

C.1200～1500元

D.1500～2800元

［解析］本題主要考查有關稅率分段函數的列式和計算，可用代值進行估算。若此人全月應納稅所得額剛好是500元，則應納稅為500×5%=25＜26.78，若剛好為700元，則應納稅為500×5%+200×10%=25+20=45＞26.78，所以此人的當月工資、薪金所得介于800+500=1300元與800+700=1500元之間，故選C。有的考生采用直接法解之，顯然所用時間較多且易錯。

［例10］某進口產品，2001年的關稅稅率是100%，進口上岸價格是2000元（其中含1000元關稅稅款），假如這種產品不含關稅的價格因成本減少而按每年10%逐年降低，又因中國加入世貿組織后該產品關稅稅率將每年降低20%，一直到2006年0為止。

Ⅰ.寫出該產品2002年、2003年、2004年的進口上岸價；

Ⅱ.以2001年為第一年，寫出第n年這種產品的進口上岸價格an表達式，至少到哪一年這種產品的進口上岸價不高于2001年上岸價格的一半。

［解析］本題主要考查考生根據正確建模，及進行相關的計算。為了說明估算的應用，在這里只分析第Ⅱ小題。根據題意易得an=1000（1-10%）n-1［2-0.2（n-1）］，n≤6，

an=1000（1-10%）n-1，n≥7，

a4=1000（1-10%）3×1.4=1020.6，

總之，不可忽視學生的運算能力，為了提高準確性，平常要注意比較相似的概念、公式、運算法則，如柱、錐、臺的側面積和體積公式等；為了提高計算的技巧，平常要注意代值排除法、數形結合法、考慮特殊位置、特殊值方法的訓練，熟記各種性質或重要結論，如等差、等比數列的性質，收縮公式，其中，且φ角終邊所在象限與點（a，b）所在象限相同等等。學生只有熟練掌握必要的運算能力，才能在高考中獲得高分。

［1］數學課程標準解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2011.

［2］中學數學教學參考.2000（1）.