跳擴散環境下紅利支付對不確定厭惡投資者最優投資組合選擇的影響

梁　勇,費為銀，方和遠，劉　鵬

(安徽工程大學 數理學院,安徽 蕪湖 241000)

跳擴散環境下紅利支付對不確定厭惡投資者最優投資組合選擇的影響

梁勇,費為銀，方和遠，劉鵬

(安徽工程大學 數理學院,安徽 蕪湖 241000)

面對例外事件的沖擊，金融市場的股票價格會發生跳躍，當股票價格發生跳躍且支付紅利時，不確定厭惡投資者的預期效用的刻畫將會采用不同于傳統的方法.利用跳擴散型隨機微分方程理論和動態規劃方法,建立了不確定厭惡投資者的最優投資策略所滿足的Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程.進一步，利用市場分解的技術求解HJB方程,從而推導出最優消費與投資策略.最后，利用數值分析定量地討論了投資者風險厭惡因素對最優決策的影響.

不確定厭惡；跳擴散型隨機微分方程；最優投資組合；例外事件；紅利支付

自文獻[1]提出連續時間下的最優消費與投資模型框架以來，國內外學者就不同條件下的最優消費投資模型作了廣泛的研究.文獻[2-3]探討了雙跳下的資產定價問題.近年來，許多學者分析認為，除了考慮傳統的不確定外，還需考慮奈特不確定對投資者投資決策的影響[4-5].文獻[6]建立了連續時間多先驗效用的跨期模型.文獻[7]研究了有關跳的不精確信息下的資產定價．利用穩健性方法，文獻[8]分析了動態資產分配問題.在包含多資產跳擴散框架下，文獻[9]調查了最優投資組合問題.文獻[10]研究了在奈特不確定下的最優消費投資問題.文獻[11]利用倒向隨機微分方程和Malliavin分析技術，討論了最大最小預期效用的加權平均標準下的最優消費投資問題.文獻[12]研究了考慮退休和閑暇的奈特不確定投資者的最優消費投資問題.基于通脹和跳環境，文獻[13]分析了通脹對跳暴露和擴散暴露的影響.另一方面，由文獻[14]研究結果可知，紅利對投資者的最優消費和投資決策也會產生影響.在文獻[13-15]的研究基礎上,本文進一步討論風險股票支付紅利時奈特不確定投資者的期望效用最大化問題.根據跳擴散型隨機微分方程和動態規劃方法推導出相應的Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程，并利用市場分解技術得到解析解.最后，通過數值模擬說明投資者的風險厭惡對最優決策的影響，所得結論具有一定的經濟意義.

1　跳擴散模型

本節討論連續時間不完備金融市場，股票價格由多維跳擴散過程加以刻畫，時間跨度是[0,T].設(Ω,F,P)是一個完備的概率空間.產生經濟狀態的不確定主要是由于概率空間(Ω,F,P)上的d-維標準布朗運動和(n-d)維的多元泊松過程N(t)=(N1(t),N2(t)，…,Nn-d(t))T,其中Nk(t)表示在時間為t時第k類跳的數量.在經濟狀態中通過自然域流給定信息流,即右連續的增廣域流:,t∈[0,T]}，其中.假設可觀測事件是在最后獲得,即F=FT.設Nk(t)第k類跳的幅度為Jk，而隨機強度為λk(t),Jk概率密度為Φk(t,dx),λk(t)為非負的且Ft- 是可料的，第k類跳的大小所有可能取值的空間用Ek表示.設Ek=(0,∞)，Ek=(-1,0)，Ek=(-1,∞)分別為正、負和混合跳的大小所有可能取值的空間.

設某投資者的效用是不變相對風險厭惡(CRRA)的,且初始財富為W0,其交易策略為π(t)=(π1(t),π2(t)，…,πn(t)),πi(t)表示投資者在t時刻持有第i個股票的比例.投資者的財富過程Wt滿足動力學：

dWt=[r+π(t)(b(t)+δ-r1)]Wtdt+

Wtπ(t)Σb(t)dB(t)+

Wt -π(t-)Σq(t)(J·dN(t))-C(t)dt

其中：Σb表示n×d型的矩陣；Σq表示n×(n-d)型的矩陣；C(t)表示t時刻的消費率；δ=(δ1,δ2，…,δn)T表示紅利支付率向量，1表示分量為1的n維向量.在投資組合π中,金融市場上的擴散和跳風險暴露分別用πΣb和πΣq表示.

其中：Σq k表示Σq的第k列,.易知，存在一個ξ*使得測度P(ξ*)是最優解,則

其中：H(ξt)≥0.當ψ(x)=(1-γ)x時,

假設考慮兩種極端情況,即φ=0和φ=∞.當φ=0時,說明投資者是含糊中性的；當φ=∞時,說明投資者是極端謹慎的.

假設可逆矩陣Σ表示n×n型的矩陣(Σb,Σq).設金融市場中的擴散和跳風險πb=(πb1,πb2,…,πbd)和πq=(πq1,πq2,…,πq(n-d))分別表示πΣb和πΣq.

由于π=πΣΣ-1=π[Σb,Σq]Σ-1=(πb,πq)Σ-1,所以通過最優暴露πb和πq的求解即可獲得最優投資組合π.假設下式為相對風險溢價

注意到π*是由(n-d+1)個金融市場的最優投資策略組成的向量通過矩陣Σ-1旋轉得到，其中，第一個是純擴散金融市場,有一個無風險資產,d個股票價格服從

dSD(t)=SD(t-)((vb+r1)dt+dBS(t))

而且效用函數為

文獻[13,15]考慮了極端事件引起跳發生的情形，而本文假設僅考慮跳為負的情況下(對跳為正的情形可類似討論)，其中，表示參考模型中跳的大小的參數估計.

為了簡便,將原始的非完備的跳擴散金融市場分解為一個完備的純擴散金融市場和一族單期的純跳金融市場，這里假設純擴散金融市場是完備的.通過計算值函數V(t,W)可以得到下面的命題1和2.它們的證明類似文獻[15]中的命題1和2，其中，以下和如文獻[15]的命題1中式(14)～(16).

命題1投資者的最優值函數V(t,Wt)為

其中:

其中:

2　數值分析

為了討論問題的方便，選取了兩個股票和一個無風險資產作為投資組合進行數值分析.

設n=2,d=1,φ

由命題1和2中的公式可得圖1.由圖1可以看出，一個風險資產權重π1隨著風險厭惡系數γ的增加而減少，而另外一個風險資產權重π2隨著風險厭惡系數γ的增加而增加.由于本文假設股票價格向下跳，所以投資者通過兩個股票的做多與做空來對沖股票價格向下跳的風險，同時發現，隨著風險厭惡系數的不斷增加,投資含有例外事件沖擊股票的投資絕對比例就會不斷下降，表現在圖1中的兩條曲線都趨于橫軸，而且，隨著風險厭惡程度單調下降接近0，投資者在風險資產上的頭寸迅速減少.

圖1　γ對投資組合權重π的影響Fig.1　The effect of γ on portfolio π

3　結　語

本文研究了在例外事件沖擊下紅利支付對不確定厭惡投資者的最優投資組合選擇問題的影響.由于例外事件引起過程的跳躍，所以可以利用跳擴散型隨機微分方程來刻畫資產價格，利用相應的理論建立不確定厭惡投資者的隨機動態模型.為此，首先建立了資產價格帶跳擴散的隨機動力學方程.其次,描述了不確定厭惡投資者帶有中期消費和終端財富的預期效用最大化問題,其中的效用函數體現了投資者的模型不確定厭惡.進而，利用跳擴散隨機微分方程理論與動態規劃原理推導出HJB方程，再根據市場分解方法獲得不確定厭惡投資者的最優投資決策.最后，利用數值模擬分析了投資者的風險厭惡對最優組合投資策略的影響.本文所得結論為投資者決策提供較為現實的經濟參考價值.

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Impacts of the Dividend Payment on the Optimal Portfolio Choice of an Investor with the Ambiguity Aversion under Jump-Diffusion

LIANGYong,FEIWei-yin,FANGHe-yuan,LIUPeng

(School of Mathematics and Physics,Anhui Polytechnic University,Wuhu 241000,China)

The stocks’ prices in a financial market will jump when there is a shock of an rare event.And the utility of an ambiguity aversion investor with the environment of both the stock price’s jump and the dividend payment is characterized by a new method.Through the theory of jump-diffusion stochastic differential equations and the dynamic programming principle,the value function of an investor’s optimal consumption and portfolio satisfying the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation is derived.Moreover,market decomposition technique is applied to solve the HJB equation,the optimal consumption and portfolio policy for investors is obtained.Finally,the effects of the risk aversion on the optimal portfolio choice of an investor are analyzed by numerical simulation.

ambiguity aversion；jump-diffusion stochastic differential equations；optimal portfolio；rare events；dividend payment

1671-0444(2015)02-0273-04

2014-05-05

國家自然科學基金資助項目(71171003)；安徽省高校自然科學基金資助項目(KJ2012B019，KJ2013B023)

梁勇(1981—)，男，安徽馬鞍山人，碩士，講師，研究方向為金融數學與金融工程.E-mail: liangyong@ahpu.edu.com

O 211.63；F 224.9

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