消弱永磁驅動器齒槽轉矩的斜極優化方法

石松寧　王大志

消弱永磁驅動器齒槽轉矩的斜極優化方法

石松寧1,2王大志1

（1. 東北大學信息科學與工程學院 沈陽 110004 2. 遼寧工程技術大學電子信息工程學院 葫蘆島 125000）

采用斜極結構消弱永磁驅動器的齒槽轉矩，利用解析方法推導出具有斜極結構的永磁驅動器齒槽轉矩解析表達式。采用Ansys有限元仿真和中心復合實驗設計獲取響應值，根據響應值建立斜極結構永磁驅動器的二階響應面回歸模型。并基于該模型，選擇永磁驅動器齒槽轉矩最小為目標，利用粒子群優化算法對其主要結構參數進行優化，得出最優結構參數組合。對斜極結構永磁驅動器分別進行了解析和優化，結果表明，優化方法可以顯著地消弱永磁驅動器的齒槽轉矩，避免產生轉矩波動，提高了系統的控制準確度，證明所得出的結論是正確、有效的。

永磁驅動器 斜磁極 響應面法 有限元法 粒子群算法

0　引言

永磁驅動器（Permanent Magnet Drive，PMD）是在永磁磁力耦合器的基礎上發展而來的。近年來，永磁調速技術集中應用于提高設備的性能、可靠性及制造裝配的準確度上。國內外對永磁驅動器電磁場性能計算的研究已經取得了一定的成果[1-4]，但是永磁調速技術還存在很多有待解決的問題。例如，與永磁電機相似，永磁驅動器中永磁體與開槽導體盤相互作用產生齒槽轉矩，進而產生振動，影響系統的控制準確度。所以，在永磁驅動器的設計中必須采用相應的方法消弱齒槽轉矩。

本文針對具有開槽結構的永磁驅動器，提出一種斜磁極的消弱齒槽轉矩的方法，推導出永磁驅動器磁極斜極的齒槽轉矩解析表達式。利用Ansys有限元軟件和中心復合實驗設計獲取（Central Composite Design，CCD）響應值，應用響應值建立斜極結構永磁驅動器二階響應面回歸模型，在此模型的基礎上以齒槽轉矩最小為目標，利用粒子群優化算法對斜極結構PMD進行參數優化設計，得到一組最優的參數優化結果，最后采用Ansys有限元仿真進行了驗證。

1　機械結構和工作原理

永磁驅動器的機械結構如圖1所示，該結構為雙組盤式結構（單組只包含一個導體轉子和一個永磁轉子），主要由四個圓盤形鋼架、兩個導體環和兩個嵌入永磁體的鋁盤組成。其中的兩個鋼架分別和導體環固定在一起組成導體轉子，并與電機端聯接。為了優化渦流路徑，避免產生雜散電流，如圖2所示導體環上開有梯形槽。另外的兩個鋼架和磁盤固定在一起組成永磁轉子，與負載端聯接。永磁體如圖2所示，永磁體沿圓周均勻分布且N、S極交替放置。

圖1　永磁驅動器的機械結構Fig.1　Machinery structure of PMD

圖2　開槽導體環和永磁體排列示意圖Fig.2 Schematic of slotted copper disk and permanent magnet arrangement

2　永磁驅動器斜磁極時齒槽轉矩的解析

2.1永磁驅動器齒槽轉矩產生機理

如圖2所示由于導體環上齒槽的存在，引起導體環與永磁體之間的氣隙不均勻，一個齒距內的磁通相對集中于齒部，使得氣隙磁導不是常數，當導體轉子帶動永磁轉子旋轉時，氣隙磁場的儲能發生變化，產生齒槽轉矩。齒槽轉矩會使永磁驅動器轉矩和轉速發生波動，從而影響系統的控制準確度，所以設計時應考慮避免產生過大的齒槽轉矩。通常齒槽轉矩的抑制方法包括減小槽口寬度、磁極偏移、斜槽和斜極等[5-9]。本文采用永磁體整體斜極的方法來消弱永磁驅動器的齒槽轉矩。

2.2斜磁極時齒槽轉矩的解析表達式

如圖3給出了永磁驅動器永磁體斜極時的示意圖，R1、R2分別代表永磁體的內半徑和外半徑。設N為磁極所斜的齒距數，θp=2π/z為齒距角，磁極傾斜的角度以導體環上齒距為計算單位。根據幾何關系得到徑向長度r處所斜的角度為[10]

圖3　磁極斜極示意圖Fig.3　Schematic of magnet skewing

根據文獻[10]可得永磁驅動器的齒槽轉矩為

式中，L為永磁驅動器導體環厚度；R1、R2分別為永磁體的內半徑和外半徑；Gn和Brnz為傅里葉系數；z為導體盤開槽數。

當磁極傾斜一個齒距，即N=1時，將θp=2π/z代入上式并整理得

可見，當磁極傾斜一個齒距時，永磁驅動器齒槽轉矩各諧波分量有一定的消弱。所以本文提出的斜磁極消弱齒槽轉矩的方法是可行的。由式（3）可以看出影響永磁驅動器斜極結構的齒槽轉矩大小的主要結構參數有導體環厚度L，導體環開槽數z，齒距數N和斜極時永磁體的內外半徑差值R2-R1。

3 建立斜極結構的永磁驅動器響應面模型

為了分析的方便，本文在確保永磁體內半徑R1不變的情況下，選擇永磁驅動器導體環厚度L、導體環開槽數z、齒距數N和永磁體外半徑R2作為設計變量，齒槽轉矩作為響應變量。本文通過中心復合實驗設計選取合適的實驗點，利用Ansys有限元分析軟件對實驗點處的齒槽轉矩進行計算分析，獲取響應值。最后根據響應值建立斜極結構永磁驅動器響應變量與設計變量的二階響應面回歸模型。

3.1 有限元建模

本文采用Ansys有限元仿真軟件建立永磁驅動器開槽結構的三維有限元模型。仿真模型如圖4所示，永磁驅動器具體的三維仿真參數見表1。

圖4 開槽結構永磁驅動器的三維有限元仿真模型Fig.4 3D finite-element model of the PMD

3.2 中心復合實驗設計

響應面設計中最經典的方法是中心復合設計（Central Composite Design，CCD）[11]。采用CCD設計能用較少的實驗次數進行全面的分析研究。本文進行了4因素3水平的中心復合設計。表2為設計變量因素水平表。

表1 PMD的三維仿真參數Tab.1 3D simulation parameters of the PMD

表2 設計變量因素水平表Tab.2 The level of design parameters

表2中x1、x2、x3和x4分別代表永磁驅動器導體環厚度L、導體環開槽數z、齒距數N和永磁體外半徑R2。根據表2中的數據進行中心復合實驗設計，實驗結果示于表3。表3中各組設計實驗對應的齒槽轉矩響應值是通過Ansys有限元軟件計算得到的。

表3 實驗設計及計算結果Tab.3 The experimental design and results

3.3 響應面建模

為了更精確地表達設計變量和響應變量之間的關系，永磁驅動器的齒槽轉矩用帶交叉項的二階回歸方程進行描述[12,13]，即

式中，k為設計變量個數；xi為設計變量；Y為響應變量；ζ為一個隨機誤差向量；βi為回歸系數，其個數為[(k+1)(k+2)]/2，βi可由實驗數據響應值利用最小二乘發估算。

式中，?β是由βi組成的向量；X為因素水平矩陣；Y為響應值列向量。

根據式（6）的計算方法和表3中的數據，應用Matlab軟件編程可計算得到二階回歸方程系數向量?β，由此得到齒槽轉矩的二階回歸方程為

4　基于齒槽轉矩最小的參數優化設計

通過響應面法得到齒槽轉矩的二階回歸模型后，以齒槽轉矩最小為優化目標，選取影響齒槽轉矩的四個主要結構參數為優化變量，建立基于粒子群算法的永磁驅動器斜極結構優化設計模型。

斜極結構永磁驅動器參數優化的目標是齒槽轉矩最小，優化目標函數可以表示為

minY=obj (z，L，N，R2) （8）式中，Y代表齒槽轉矩的二階回歸方程。

顯然該優化模型是一個非線性、多參數的復雜系統，難以采用常規優化算法。所以本文采用粒子群優化算法對斜極結構PMD進行參數優化設計。

在粒子群算法中，粒子群由n個粒子構成，其中第i個粒子代表一個D維位置矢量xi=(xi1,xi2,…,xid)和D維速度矢量vi=(vi1,vi2,…,vid)。每個粒子的位置矢量xi代表最優問題的一個解。將xi代入目標函數可以求出對應的適應值，根據適應值的大小衡量xi是否為所要求的最優解。每個粒子根據適應值搜索到最優解和所有粒子的全局最優解參考圖5優化流程，粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）目標函數的適應值實時計算由齒槽轉矩的二階回歸方程完成，粒子群按照式（9）和式（10）的速度-位置模型進行尋優操作[14,15]。

圖5　PSO優化流程Fig.5　The flowchart of PSO optimization

優化目標函數如式（8），在滿足PMD輸出轉矩不小于額定轉矩的情況下，確定優化參數的約束范圍為

采用粒子群算法進行搜索，得到的一組優化結果見表4。

表4　優化前后PMD結構參數Tab.4 The structural parameters of non-optimized and optimized PMD

5　優化結果驗證

為了驗證基于斜極優化的永磁驅動器齒槽轉矩消弱方法的有效性，采用有限元進行仿真計算，不斜極時永磁驅動器結構參數見表1，優化后斜極結構永磁驅動器結構參數見表4。

圖6為根據有限元計算結果畫出的永磁驅動器不斜極結構、斜極結構解析結果和優化后的齒槽轉矩波形圖，由波形比較可以看出，永磁驅動器不斜極結構齒槽轉矩較大，齒槽轉矩幅值為20N·m。斜極結構解析結果使得永磁驅動器齒槽轉矩進一步減小，優化后的斜極結構可以大幅度消弱PMD的齒槽轉矩，優化后齒槽轉矩幅值為4.8N·m，比不斜極結構減小了79%。證明了本文提出的斜極結構優化方法是有效的。

圖6　磁極斜極齒槽轉矩仿真曲線Fig.6　Simulation curres of cogging torque with magnet skewing (3D FEM)

6　　 結論

本文采用磁極斜極法所得的齒槽轉矩解析表達式，利用Ansys有限元仿真和中心復合實驗設計獲取齒槽轉矩的響應值，根據響應值建立斜極結構永磁驅動器二階響應面回歸方程，采用粒子群優化算法對影響齒槽轉矩的主要參數進行優化，尋找使齒槽轉矩最小的最優組合。利用有限元仿真軟件分別計算出不斜極結構和斜極結構解析及優化后的齒槽轉矩，有限元分析結果表明優化后的斜極結構可以顯著消弱永磁驅動器的齒槽轉矩。

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石松寧 女，1982年生，博士研究生，講師，研究方向為永磁驅動器的建模和優化設計。

王大志 男，1963年生，教授，博士生導師，研究方向為電力系統與電力傳動。

Magnet Skewing Optimization Method for Reducing Cogging Torque in Permanent Magnet Drive

Shi Songning1,2Wang Dazhi1
（1. Northeastern University Shenyang 110004 China 2. Liaoning Technical University Huludao 125000 China）

In this paper, the magnet skewing structure is adopted to reduce the cogging torque in permanent magnet drive. The analytical method is used to give the expression of the cogging torque. The quadratic polynomials are employed to construct response surface model based on the response obtained by the Ansys software and the central composite design (CCD) experiment method. Based on this model, the minimal cogging torque is taken as the optimal objective, and then the particle swarm optimization (PSO) algorithm is used to perform optimization and obtain the optimal structure parameters of the PMD. At last, the permanent magnet drive with magnet skewing structure is analyzed and optimized with above method. The results verify that the cogging torque can be notably reduced with this optimization method.

Permanent magnet drive, magnet skewing, response surface methodology, finite element method, particle swarm algorithm

TP215

遼寧省技術創新重大項目資助（201309001）。

2013-12-04 改稿日期 2014-10-20