無容量約束下工作量均衡的轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)設(shè)計

李淑霞，方陳浩，吳一帆

(華東理工大學(xué) 商學(xué)院，上海 200237)

無容量約束下工作量均衡的轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)設(shè)計

李淑霞，方陳浩，吳一帆

(華東理工大學(xué) 商學(xué)院，上海 200237)

在無容量約束條件下的轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的基礎(chǔ)上考慮工作量均衡問題.首先，以總運輸成本最小化為目標(biāo)構(gòu)建單一分配模式下的轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)模型.其次，通過對初始轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)增加轉(zhuǎn)運中心數(shù)量并重新分配服務(wù)節(jié)點，盡可能地實現(xiàn)轉(zhuǎn)運中心工作量的均衡，同時以工作量方差縮減程度判據(jù)確定轉(zhuǎn)運中心數(shù)量.最后，采用Civil Aeronautics Board數(shù)據(jù)集進(jìn)行算例分析.結(jié)果表明，不考慮容量約束時，轉(zhuǎn)運貼現(xiàn)因子不影響轉(zhuǎn)運選址，這由單一分配模式的特性所決定.另外，方差縮減程度判據(jù)是考慮工作量均衡的轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的重要依據(jù).

轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)設(shè)計；轉(zhuǎn)運中心選址；工作量均衡；運輸優(yōu)化

現(xiàn)代物流發(fā)展越來越迅速，已朝著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)化趨勢不斷發(fā)展.大到國家間的物流運輸，小到區(qū)域、城市間的物流運輸，幾乎都通過一級、兩級甚至多級的轉(zhuǎn)運形式.特別是在我國東部沿海地區(qū)，轉(zhuǎn)運中心的建設(shè)數(shù)量占全國總量的78%，其選址以及運輸網(wǎng)絡(luò)設(shè)計對提高運輸效率和控制成本產(chǎn)生了非常重要的影響，因此，轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化設(shè)計對于物流運輸而言具有重要的研究意義.

在轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)中，轉(zhuǎn)運中心具有整理、轉(zhuǎn)換和連接的功能.轉(zhuǎn)運中心的具體位置分布、轉(zhuǎn)運中心間的運輸聯(lián)系、非轉(zhuǎn)運中心與轉(zhuǎn)運中心的分配方式以及網(wǎng)絡(luò)中流量的具體安排，直接影響著轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)的運輸效率和運輸成本.自文獻(xiàn)[1]首次提出轉(zhuǎn)運中心選址問題至今，有關(guān)該領(lǐng)域內(nèi)的研究成果層出不窮[2-10]，涉及分配模式的選擇、完全與非完全轉(zhuǎn)運中心選址以及目標(biāo)的選擇等.就分配模式而言，可分為單一分配模式和復(fù)雜分配模式，不同分配模式下轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計已成功應(yīng)用于航空等運輸網(wǎng)絡(luò)，較好地解決了運輸和環(huán)境成本高、服務(wù)質(zhì)量低等問題.對于是否屬于完全轉(zhuǎn)運中心選址，即由轉(zhuǎn)運中心點構(gòu)成的子網(wǎng)絡(luò)是否屬于完全圖的情形，多數(shù)研究考慮的是完全轉(zhuǎn)運中心選址問題，即任意兩個轉(zhuǎn)運中心間都存在轉(zhuǎn)運中心弧.其中，文獻(xiàn)[11]采用兩階段法研究了巴西航空市場的轉(zhuǎn)運系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，以總成本最小化為目標(biāo)分別選出小型、大型轉(zhuǎn)運中心，評估了世界杯期間由于運輸高峰而產(chǎn)生的額外客流對運輸系統(tǒng)的影響.而對于非完全轉(zhuǎn)運中心選址問題，文獻(xiàn)[12-14]分別提出了p-均值問題、帶有固定成本的轉(zhuǎn)運中心選址問題、轉(zhuǎn)運中心覆蓋問題和p-轉(zhuǎn)運中心網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題，用算例證明了非完全轉(zhuǎn)運中心能夠以比完全轉(zhuǎn)運中心更低的成本實現(xiàn)相同的服務(wù)質(zhì)量.在目標(biāo)選擇方面，總成本最小化是各類轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題的首要目標(biāo).當(dāng)然，也有部分研究[15]針對現(xiàn)實問題的需求，在考慮成本最小化的基礎(chǔ)上增加了服務(wù)水平、運輸時間等目標(biāo)，旨在實現(xiàn)成本與服務(wù)水平、運輸時間的均衡.

然而，上述研究大多著眼于整體最優(yōu)，而較少考慮每個轉(zhuǎn)運中心的工作量情況.由于不考慮每個轉(zhuǎn)運中心工作量的優(yōu)化配置，有可能會出現(xiàn)某些轉(zhuǎn)運中心超負(fù)荷運作的情形，從而導(dǎo)致轉(zhuǎn)運中心內(nèi)部操作成本增加、員工加班甚至“爆倉”等問題，最終不利于運輸網(wǎng)絡(luò)的可持續(xù)發(fā)展.因此，在不擴(kuò)大轉(zhuǎn)運中心規(guī)模的前提下，合理分配各轉(zhuǎn)運中心服務(wù)的區(qū)域具有重要的研究意義.本文從每個轉(zhuǎn)運中心工作量相對均衡的視角出發(fā)，考慮運輸網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化設(shè)計問題，通過增加轉(zhuǎn)運中心數(shù)量盡可能地均衡工作量，并以方差的變化作為評判標(biāo)準(zhǔn)，確定合適的轉(zhuǎn)運中心及其流量分配，進(jìn)而建立相應(yīng)的運輸網(wǎng)絡(luò).

1　模型建立

轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)通過設(shè)置轉(zhuǎn)運中心并采用大型運輸工具實現(xiàn)運輸，轉(zhuǎn)運中心間的運輸費用會有所降低.然而，基于總成本優(yōu)化的考慮，決策者對于轉(zhuǎn)運中心數(shù)量存在不同偏好，從而造成轉(zhuǎn)運中心間運輸量的不均衡，給部分轉(zhuǎn)運中心帶來很大的工作負(fù)擔(dān)，不利于長遠(yuǎn)發(fā)展.因此，需要在轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的基礎(chǔ)上綜合考慮各個轉(zhuǎn)運中心間工作量的均衡問題.

1.1符號定義及假設(shè)

α為轉(zhuǎn)運中心之間的轉(zhuǎn)運貼現(xiàn)因子；cij為節(jié)點i與節(jié)點j之間的單位運輸費用；N為節(jié)點的集合，N=1， 2， …，n；p為轉(zhuǎn)運中心的數(shù)量；fij為節(jié)點i與節(jié)點j之間的運輸量；xik為二元決策變量，xik=1表示節(jié)點i分配給轉(zhuǎn)運中心k，否則為0.

同時，根據(jù)問題的背景，給出如下假設(shè)：

(1) 運輸工具的運輸速度為恒定值，且以直線運輸，不存在繞道的情況；

(2) 運輸網(wǎng)絡(luò)中的路徑滿足三角不等式.

1.2轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)的工作量均衡

由于影響轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的因素有很多且關(guān)系復(fù)雜，這里不考慮除成本和工作量之外其他因素的影響，如運輸時間、天氣狀況等.在轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點間的運輸通過一對轉(zhuǎn)運中心來實現(xiàn)，且由于規(guī)模效應(yīng)的作用，轉(zhuǎn)運中心間的運輸費用比一般兩點間的運輸費用低.引入轉(zhuǎn)運貼現(xiàn)因子α(0<α<1)，即如果運輸從起點i到終點j，經(jīng)過一對轉(zhuǎn)運中心k和l，那么，相應(yīng)的費用為cik+αck l+clj.

考慮含有n個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)，在這n個節(jié)點中選取p個節(jié)點，作為網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)運中心.以總運輸成本最小化為目標(biāo)函數(shù)，建立如下無容量約束的單一分配模型：

(1)

(2)

(3)

xik≤xkk

(4)

(5)

目標(biāo)函數(shù)(1)表示總運輸成本的最小化.約束條件(2)表示每一個節(jié)點只分配給一個轉(zhuǎn)運中心；約束條件(3)表示建立p個轉(zhuǎn)運中心；約束條件(4)表示節(jié)點能夠分配給轉(zhuǎn)運中心的前提條件是該轉(zhuǎn)運中心已被建立；約束條件(5)為二元決策變量，表示節(jié)點是否分配給轉(zhuǎn)運中心.

利用優(yōu)化軟件CPLEX求解上述模型，建立總成本最小化的初始轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)，并分配轉(zhuǎn)運中心所服務(wù)的節(jié)點.不難發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)運中心的數(shù)量p取決于決策者的偏好，且該轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)的建立與p的選擇有直接聯(lián)系.另一方面，p值過小可能帶來轉(zhuǎn)運中心的工作量不均衡，給實際運作帶來若干問題.為此，這里提出方差縮減程度判據(jù)，在求得初始轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上，通過合理增加轉(zhuǎn)運中心數(shù)量，并以總運輸成本最小化為目標(biāo)重新分配每個轉(zhuǎn)運中心所服務(wù)的節(jié)點，進(jìn)而實現(xiàn)工作量的均衡.

設(shè)dij為轉(zhuǎn)運中心j所服務(wù)的節(jié)點i的運輸量，di為節(jié)點i的初始運輸量，則網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的運輸量總和為，各個轉(zhuǎn)運中心所服務(wù)的運輸量總和為，轉(zhuǎn)運中心工作量的方差δ2表示為

(6)

(7)

(8)

ηp′p″=ηp0p′-ηp0p″≤η

(9)

通過上述方法，可以將工作強(qiáng)度高的轉(zhuǎn)運中心服務(wù)的部分節(jié)點轉(zhuǎn)移至工作強(qiáng)度低的轉(zhuǎn)運中心進(jìn)行服務(wù)，對其進(jìn)行“減量”，從而得到了總成本相對較低、工作量相對均衡的轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)設(shè)計，具體流程如圖1所示.這樣既有利于提高轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)的整體運作效率，又符合運輸行業(yè)內(nèi)部可持續(xù)發(fā)展的要求.

圖1　無容量約束下工作量均衡的轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)設(shè)計流程Fig.1　Process of uncapacitated network design for flow equilibrium

2　算例分析

上述模型屬于整數(shù)線性規(guī)劃模型，可以利用優(yōu)化軟件CPLEX 12.6對其編程求解，其中，轉(zhuǎn)運中心數(shù)量p由決策者確定.通過編程求解，可求出每個轉(zhuǎn)運中心所服務(wù)的節(jié)點，并計算出各個轉(zhuǎn)運中心的工作量情況.如果工作量相差不大，即表示所求的轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)就是滿意解；如果存在一個或者某幾個轉(zhuǎn)運中心的工作量明顯比其他轉(zhuǎn)運中心工作量大很多的情形，則考慮逐步增大p值，即增加轉(zhuǎn)運中心的數(shù)量，重新分配服務(wù)節(jié)點并計算轉(zhuǎn)運中心工作量的方差及其變化率，直至滿足限定條件為止.

2.1轉(zhuǎn)運貼現(xiàn)因子對最優(yōu)選址的影響

采用著名的Civil Aeronautics Board(CAB)數(shù)據(jù)集對模型進(jìn)行算例驗證，并結(jié)合實際意義加以分析.CAB數(shù)據(jù)集是由M. E. O’Kelly提供的，其中包含了25個節(jié)點間的流量和運輸成本數(shù)據(jù)，被廣泛應(yīng)用于轉(zhuǎn)運中心選址問題的研究.由于原始數(shù)據(jù)相對比較大，考慮到使用原數(shù)據(jù)進(jìn)行編程求解會使得最后結(jié)果十分龐大，不便于分析.因此，首先對原數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，將節(jié)點間流量的數(shù)據(jù)歸一化，即令節(jié)點間的流量除以總流量后的值作為新的流量值，使得總流量值為1.根據(jù)模型，如果選擇建立4個轉(zhuǎn)運中心，即p=4，并且令轉(zhuǎn)運中心之間的轉(zhuǎn)運貼現(xiàn)因子α=0.5.結(jié)合CAB數(shù)據(jù)集用優(yōu)化軟件CPLEX 12.6編程求解，可以求得最小化的總運輸成本為11957.4，相對應(yīng)的轉(zhuǎn)運中心為4, 12, 17, 24.逐步改變轉(zhuǎn)運貼現(xiàn)因子的值，得到不同轉(zhuǎn)運貼現(xiàn)因子下的最優(yōu)選址和相應(yīng)的總運輸成本，如表1所示.

表1　不同轉(zhuǎn)運貼現(xiàn)因子下的最優(yōu)選址和相應(yīng)的總運輸成本Table 1　Optimal locations and total transportation costs under different discount factors

由表1可知，在單一分配模式下的無容量約束轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題中，轉(zhuǎn)運貼現(xiàn)因子僅會對總運輸成本產(chǎn)生影響.這是因為單一分配模式側(cè)重于確定非轉(zhuǎn)運中心節(jié)點與轉(zhuǎn)運中心的分配，而轉(zhuǎn)運貼現(xiàn)因子則體現(xiàn)在轉(zhuǎn)運中心間的運輸過程中，表示在轉(zhuǎn)運中心間用大型運輸工具進(jìn)行運輸，能夠降低單位運輸成本.因而在單一分配模式條件下，不同轉(zhuǎn)運貼現(xiàn)因子不會影響最優(yōu)選址.

2.2轉(zhuǎn)運中心工作量的均衡

不失一般性，以p=4，α=0.5情形下得到的網(wǎng)絡(luò)作為初始網(wǎng)絡(luò)，研究轉(zhuǎn)運中心工作量的均衡問題，對應(yīng)服務(wù)節(jié)點分配及每個轉(zhuǎn)運中心的工作量則如表2所示.

表2　轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)的具體節(jié)點分配及每個轉(zhuǎn)運中心的工作量情況Table 2　Service nodes and total amount of flows through hubs

由表2可知，相較于其他兩個轉(zhuǎn)運中心而言，轉(zhuǎn)運中心4和17所服務(wù)的節(jié)點數(shù)量較多，工作總量也近似于其他兩個轉(zhuǎn)運中心的總和，相差比較大.在規(guī)模固定的條件下，若能將轉(zhuǎn)運中心4和17的部分服務(wù)節(jié)點分配給其他轉(zhuǎn)運中心，就能對其適當(dāng)“減壓”，故要實現(xiàn)工作量的均衡，就需要增加轉(zhuǎn)運中心的數(shù)量.

表3　不同m情形下的最優(yōu)轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)Table 3　Optimal hub networks with differentm

由表3可知，增加轉(zhuǎn)運中心數(shù)量能夠降低總運輸成本，這是因為存在轉(zhuǎn)運貼現(xiàn)因子.因此僅就總運輸成本而言，轉(zhuǎn)運中心數(shù)量越多越好.然而，考慮到在已經(jīng)相對優(yōu)化的轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)中，建立更多的轉(zhuǎn)運中心并不一定會對網(wǎng)絡(luò)有更明顯的改善.因此統(tǒng)計相應(yīng)的方差δ2及縮減程度ηp′p″，分別如圖2和表4所示.

圖2　不同m條件下轉(zhuǎn)運中心工作量的方差Fig.2　Flow variances of hubs with different m

表4　ηp′p″的值Table 4　Values of ηp′p″

由圖2和表4可知，當(dāng)增加3個轉(zhuǎn)運中心時，方差才開始減小，且比初始值(m=0即p=4時)還要小，雖然之后方差又開始增大，但其值仍比初始值要小，故使得η78為正，且通過式(7)和(8)計算可知，η47和η48均為正.故若取η=0.01，式(7)～(9)同時被滿足.因此，可以認(rèn)為增加3個轉(zhuǎn)運中心，既能極大限度地減少總運輸成本，又能盡可能地均衡每個轉(zhuǎn)運中心的工作量，符合對網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的要求.

由上述算例不難發(fā)現(xiàn)，適當(dāng)增加轉(zhuǎn)運中心數(shù)量雖能在一定程度上降低工作量的不均衡度及相應(yīng)的總運輸成本，但根據(jù)表3可知，無論增加多少個轉(zhuǎn)運中心，對于轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)而言，轉(zhuǎn)運中心4和17的工作量雖然會有所變化，但仍比其他轉(zhuǎn)運中心的工作量要大得多.尤其是轉(zhuǎn)運中心17，增加轉(zhuǎn)運中心數(shù)量后，其工作量幾乎沒多大變化.這就表明，增加轉(zhuǎn)運中心并重新分配服務(wù)節(jié)點，一定程度上會讓工作量較大的轉(zhuǎn)運中心“減負(fù)”，但是由于地理位置等因素所限，這種方法并不是最有效的，因此應(yīng)考慮擴(kuò)大轉(zhuǎn)運中心規(guī)模，將其建設(shè)成大型轉(zhuǎn)運中心，其他的則為小型轉(zhuǎn)運中心，而不是一味地增加數(shù)量.

根據(jù)以上分析，可以得出以下結(jié)論：

(1) 單一分配模式下不考慮容量約束時，轉(zhuǎn)運貼現(xiàn)因子只對總運輸成本產(chǎn)生影響，并不會影響最優(yōu)轉(zhuǎn)運中心選址，這是由單一分配模式的特性所決定.

(2) 在不考慮擴(kuò)大規(guī)模的前提下，要實現(xiàn)轉(zhuǎn)運中心工作量的均衡就必須增加其數(shù)量.更多的轉(zhuǎn)運中心意味著更低的總運輸成本，但只有增加合適數(shù)量的轉(zhuǎn)運中心才會實現(xiàn)工作量的均衡.

(3) 增加轉(zhuǎn)運中心數(shù)量一定程度上能均衡每個轉(zhuǎn)運中心的工作量，但由于地理位置等因素的影響，要進(jìn)一步實現(xiàn)均衡就需要擴(kuò)大轉(zhuǎn)運中心的規(guī)模，將其建設(shè)成大型轉(zhuǎn)運中心.

(4) 工作量的方差并不一定會隨著轉(zhuǎn)運中心數(shù)量的增加而減小，只有在增加合適數(shù)量的情況下，工作量的方差才會減小.在網(wǎng)絡(luò)設(shè)計時，應(yīng)當(dāng)充分考慮這一特殊關(guān)系.

(5) 方差縮減程度滿意值η的選取會對轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)設(shè)計產(chǎn)生重要影響，其大小直接關(guān)系到轉(zhuǎn)運中心建立的數(shù)量，因此選擇合適的η值是至關(guān)重要的.

3　結(jié)　語

本文從單一分配模式下的無容量約束轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題入手，考慮到模型的全局最優(yōu)解可能使得轉(zhuǎn)運中心的實際工作量相差較大，提出以工作量方差縮減程度作為評判準(zhǔn)則，通過增加轉(zhuǎn)運中心數(shù)量并重新分配服務(wù)節(jié)點以實現(xiàn)工作量均衡.這能很直觀地反映增加不同轉(zhuǎn)運中心數(shù)量后的轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)對于初始轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)在工作量上改變的趨勢，確保了最終得到的最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)是一種相對較優(yōu)的情形.當(dāng)然，該方法也有一定的局限性.由于在單一分配模式下，每個非轉(zhuǎn)運中心只分配給一個轉(zhuǎn)運中心，轉(zhuǎn)運中心的工作量易于確定和分析比較.而在復(fù)雜分配模式下，只有在清楚地確定每一條路徑的流量大小和所經(jīng)過的節(jié)點后才能衡量各轉(zhuǎn)運中心的工作量，計算較為復(fù)雜.因此，在今后的研究中，應(yīng)當(dāng)考慮用更有效的方法或模型來評價工作量的均衡性. 另一方面，當(dāng)轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)的均衡性不能通過轉(zhuǎn)運中心數(shù)量的增加進(jìn)一步改善時，可以從擴(kuò)大轉(zhuǎn)運中心規(guī)模、調(diào)整轉(zhuǎn)運網(wǎng)絡(luò)的分配模式等方面展開研究.

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Uncapacitated Hub Network Design for Flow Equilibrium

LIShu-xia,FANGChen-hao,WUYi-fan

(Business School, East China University of Science and Technology, Shanghai 200237, China)

The hub flow equilibrium factor is considered in the uncapacitated hub network design problem. First a single allocation hub network model for minimizing total transportation cost is put forward to obtain the initial solution. Then a modified hub network is given by adding hubs so as to balance the amount of flows through different hubs. The optimal number of hubs is obtained based on the given criteria of flow variance reduction degree. Computation experiment with Civil Aeronautic Board data set is also presented. The result shows that the discounting factor of hub does not affect hub location when the capacities of hubs are not limited due to the feature of single allocation mode. In addition, the flow variance reduction criteria can be used for designing single allocation hub network when taking flow equilibrium into account.

hub network design; hub location; flow equilibrium; transportation optimization

1671-0444(2015)04-0485-05

2015-01-14

國家自然科學(xué)基金資助項目(71001039， 71101051， 71202053， 71302043， 71431004)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金資助項目

李淑霞(1975— )，女，河北懷來人，副教授，博士，研究方向為運作系統(tǒng)建模與優(yōu)化、風(fēng)險管理.E-mail: sxli@ecust.edu.cn

F 287.3；TB 114.1

A