一類混沌系統(tǒng)的Hopf分岔控制

曹逸凡+吳鳳嬌

摘??要：針對(duì)帶參數(shù)的混沌系統(tǒng)，運(yùn)用Routh-Hurwitz判據(jù)及Hopf分岔理論研究了系統(tǒng)存在的動(dòng)力學(xué)行為，設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行Hopf分岔控制。分析了系統(tǒng)參數(shù)及控制參數(shù)分別對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性與Hopf分岔類型的影響，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定及不發(fā)生Hopf分岔的系統(tǒng)參數(shù)條件。研究結(jié)果表明：控制器中的線性控制部分及非線性控制部分均能改變系統(tǒng)的分岔行為，使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。數(shù)值仿真證明控制器設(shè)計(jì)的有效性。

關(guān)鍵詞：帶參數(shù)混沌系統(tǒng);漸近穩(wěn)定性;Hopf分岔;Hopf分岔控制

中圖分類號(hào)：O231.2????????????????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Hopf?bifurcation?control?of?a?chaotic?system

CAO?Yi-fan，WU?Feng-Jiao

（College?of?Water?Resources?and?Architectural?Engineering;Northwest?A&F?University，Yangling，Shanxi?712100，China）

Abstract：?Using?Routh-Hurwitz?criterion?and?hopf?bifurcation?theory，the?dynamical?behaviors?of?a?chaotic?system?with?parameters?are?investigated?in?this?paper?and?also?a?feedback?controller?is?designed?to?stabilize?the?system.The?effects?of?the?system?parameters?and?controller?parameters?on?the?system?stability?and?hopf?bifurcation?type?are?discussed，and?then?the?system?parameter?conditions?that?the?system?is?stable?with?no?hopf?bifurcation?are?found?out.The?results?indicate?that?both?of?the?linear?control?part?and?nonlinear?control?part?in?the?controller?can?change?the?bifurcation?behaviors?of?the?system，which?make?the?system?asymptotically?stable.?Finally?the?numerical?simulation?proves?the?effectiveness?of?the?controller.

Key?words：Chaotic?system?with?parameters;?Asymptotic?stability;?Hopf?bifurcation;?Hopf?bifurcation?control

0??引言

混沌是非線性系統(tǒng)的一種特殊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，對(duì)初始條件敏感，又具有隨機(jī)性但又不是真正的或完全的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。往往混沌運(yùn)動(dòng)是有害的，人們盡量回避混沌行為，并設(shè)法抑制混沌的出現(xiàn)。混沌控制是當(dāng)前混沌運(yùn)動(dòng)研究的一個(gè)新領(lǐng)域，是實(shí)現(xiàn)混沌應(yīng)用的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，目前，其控制尚無統(tǒng)一的理論和方法。文獻(xiàn)[1-8]用自適應(yīng)控制、滑模控制方法實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定控制。Abdelkader?Senouci等（2014）[10]對(duì)一混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)了T-S（Takagi-Sugeno）模糊模型及模糊控制器，進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。Jun?Yoneyama（2013）[11]提出了一種并行分布補(bǔ)償算法（PDC）的非線性控制設(shè)計(jì)，仿真驗(yàn)證了方法可行性。賈培艷等（2013）[12]采用并行分布補(bǔ)償算法，結(jié)合線性矩陣不等式給出了一類離散混沌系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。Yibei?Nian等（2012）[13]提出了基于T-S模糊模型及自適應(yīng)控制的一類混沌系統(tǒng)控制模型，Henon圖驗(yàn)證了方法的實(shí)效性。Li?Yi-Min等（2012）[14]提出了控制非線性系統(tǒng)的一新的模糊邏輯系統(tǒng)，正確性得到仿真驗(yàn)證。Yang?Liu等（2011）[15，16]提出了基于T-S模型的混沌系統(tǒng)脈沖控制方法，并進(jìn)行了數(shù)字模擬驗(yàn)證。如何選擇系統(tǒng)參數(shù)或控制參數(shù)來規(guī)避混沌或抑制混沌，上述文獻(xiàn)未作探討，有鑒于此，本文設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分岔控制，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定。首先利用Routh-Hurwitz判據(jù)及Hopf分岔理論研究系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為;然后設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行Hopf分岔控制，避免系統(tǒng)混沌的發(fā)生。

1??系統(tǒng)及動(dòng)力學(xué)特征

考察帶參數(shù)含兩個(gè)平方項(xiàng)的三維混沌系統(tǒng)[17]

（1）

式中，a、b、c、l、h、k為實(shí)數(shù)，且bcl（h+k）>0。

1.1?平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

1.1.1?O（0，0，0）點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理1??對(duì)于a2+4bc>0，若a>0，b<0，c>0，平衡點(diǎn)O（0，0，0）為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn);若a<0，b>0，c<0，平衡點(diǎn)O（0，0，0）為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn);若a>0，b<0，c<0，平衡點(diǎn)O（0，0，0）為不穩(wěn)定鞍點(diǎn)。

證明??系統(tǒng)（1）在O（0，0，0）點(diǎn)的特征方程為

（λ+c）（?λ2+aλ-ab）=0

因a2+4bc>0，則該方程有3個(gè)實(shí)根λ1=?-c，。

若a>0，b<0，c>0，有λ1<0，λ2<0，λ3<0，故平衡點(diǎn)O（0，0，0）為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。

若a<0，b>0，c<0，有λ1>0，λ2>0，λ3>0，故平衡點(diǎn)O（0，0，0）為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。

若a>0，b<0，c<0，有λ1>0，λ2>0，λ3<0，故平衡點(diǎn)O（0，0，0）為不穩(wěn)定鞍點(diǎn)。

證畢。

1.1.2?F1與F2點(diǎn)的穩(wěn)定性

因系統(tǒng)（1）關(guān)于Z軸對(duì)稱，只需討論F1點(diǎn)的穩(wěn)定性。

對(duì)于平衡點(diǎn)O（0，0，0）處系統(tǒng)（1）Jacobian矩陣的特征方程（λ+c）（?λ2+aλ-ab）=0，不論參數(shù)a，b，c如何變化，特征方程只會(huì)出現(xiàn)零根，始終無純虛根，因而平衡點(diǎn)O（0，0，0）處不會(huì)發(fā)生Hopf分岔，下面討論其他平衡點(diǎn)的分岔問題。

因F1與F2關(guān)于Z軸對(duì)稱，同時(shí)系統(tǒng)（1）又是關(guān)于Z軸對(duì)稱的，下面只考慮F1點(diǎn)的Hopf分岔。為方便討論，作坐標(biāo)平移變換，使F1點(diǎn)為新坐標(biāo)系的原點(diǎn)。

證明???因h=k≠0，系統(tǒng)（4）在O1（0，0，0）點(diǎn)的特征方程為

λ3+（a+c）λ2+（ac+bc）λ+2abc=0????????????????????????????????????????????????????????????（4）

設(shè)式（5）有一對(duì)純虛根±iβ，β>0，代入（4）式得

2abc-（a+c）β2±i（β2-ac-bc）β=0?????????????????????????????????????????????????????????????（5）

從（5）式得到

β2=ac+bc>0???????????????????????????????????????????????????????????????????????????（6）

（a+c）β2-2abc=0????????????????????????????????????????????????????????????????????????（7）

，滿足橫切條件。系統(tǒng)（3）在O1（0，0，0）點(diǎn)Hopf分岔。

證畢。

取a=2，b=6，c=1，h=1，k=1，l=1，滿足Hopf分岔?xiàng)l件，系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)處時(shí)間歷程呈現(xiàn)增幅振蕩，其為亞臨界Hopf分岔。

取a=1.995，b=2，c=0.0025，h=1，k=1，l=1，同樣滿足Hopf分岔?xiàng)l件，系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)F1（0.05，0.05，2）處時(shí)間歷程呈等幅振蕩，為超臨界Hopf分岔。

2??Hopf分岔控制與分析

對(duì)于系統(tǒng)參數(shù)無法遠(yuǎn)離分岔面式（7）的情形，系統(tǒng)（1）將產(chǎn)生Hopf分岔，下面就a=2、b=6、c=1、h=1、k=1、l=1及a=1.995、b=2、c=0.0025、h=1、k=1、l=1兩種情形進(jìn)行Hopf分岔控制與分析。設(shè)計(jì)包含線性與非線性兩個(gè)部分的控制器分別為

對(duì)受控系統(tǒng)（10）、（11）進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真，圖1、2分別為系統(tǒng)參數(shù)取a=2，b=6，c=1，h=1，k=1，l=1及a=1.995，b=2，c=0.0025，h=1，k=1，l=1時(shí)系統(tǒng)的相軌線與時(shí)間歷程，前者為亞臨界Hopf分岔，后者為超臨界Hopf分岔。

（a）相軌線（k1=-1，k2=0，k3=0）

（b）?z-t歷程（k1=-1，k2=0，k3=0）

（c）相軌線（k1=0，k2=-1，k3=0）

（d）?z-t歷程（k1=0，k2=-1，k3=0）

（e）相軌線（k1=0，k2=0，k3=-1）

（f）?z-t歷程（k1=0，k2=0，k3=-1）

（g）相軌線（k1=1，k2=1，k3=-1）

（h）?z-t歷程（k1=1，k2=1，k3=-1）

圖1??a=2，b=6，c=1，h=1，k=1，l=1的相軌線與時(shí)間歷程

Fig.1??Track?of?x-z?and?waveform?for?t-z?of?（11）?with?a=2，b=6，c=1，h=1，k=1，l=1

當(dāng)k3=0，k1與k2一個(gè)不為0，即施加單一線性控制時(shí)，如圖1（a）、1（b）和1（c）、1（d）所示，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定;當(dāng)k3<0，即施加非線性控制時(shí)，無論有無線性控制，只要k1+?k3與k2+?k3足夠小，如圖1（e）、1（f）和1（g）、1（h）所示，系統(tǒng)同樣漸近穩(wěn)定。表明選取線性或非線性控制增益對(duì)系統(tǒng)施加控制（8）后，亞臨界Hopf分岔行為消失，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。

（a）相軌線（k1=-1，k2=0，k3=0）

（b）?z-t歷程（k1=-1，k2=0，k3=0）

（c）相軌線（k1=0，k2=-1，k3=0）

（d）?z-t歷程（k1=0，k2=-1，k3=0）

（e）相軌線（k1=0，k2=0，k3=-1）

（f）?z-t歷程（k1=0，k2=0，k3=-1）

（g）相軌線（k1=0.5，k2=0.5，k3=-1）

（h）?z-t歷程（k1=0.5，k2=0.5，k3=-1）

（i）相軌線（k1=255/128，k2=-8，k3=-1）

（j）?z-t歷程（k1=255/128，k2=-8，k3=-1）

圖2??a=1.995，b=2，c=0.0025，h=1，k=1，l=1的相軌線與時(shí)間歷程

Fig.2??Track?of?x-z?and?waveform?plot?for?t-z?of?（12）?with?a=1.995，b=2，c=0.0025，h=1，k=1，l=1

考察超臨界Hopf分岔情形，從圖2（a）～2（d）可以看出，對(duì)于k3=0，系統(tǒng)僅加線性控制，與圖1相似，超臨界Hopf分岔行為消失，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，此時(shí)k1+k3=-1或k2+k3=-1，k1+k3或k2+k3較小;當(dāng)k1=0，k2=0，k3=-1時(shí)，系統(tǒng)僅加非線性控制，如圖2（e）、2（f）所示，同樣超臨界Hopf分岔行為消失，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，此時(shí)k1+k3=-1，k2+k3=-1，k1+k3均k2+k3較小;當(dāng)k1=0.5，k2=0.5，k3=-1時(shí)，受控系統(tǒng)（11）特征值λ=[0.8348，?-2.3475，?0.0077]，平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定鞍結(jié)點(diǎn)，Hopf分岔未得到控制，如圖所示2（g）、2（h），此時(shí)k1+k3=-0.5，k2+k3=-0.5，k1+k3與k2+k3都較大;保持k3=-1不變，調(diào)整k1和k2，使k1=255/128，k2=-8，此時(shí)，受控系統(tǒng)（11）特征值λ=[-0.0116，-0.0006+3.4714i，-0.0006-3.4714i]，平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定，超臨界Hopf分岔行為消失，如圖2（i）、2（j）所示，此時(shí)k2+k3=-9，k2+k3較小。表明施加單一線性、非線性控制增益或同時(shí)施加線性與非線性控制增益，只要線性與非線性控制增益的和足夠小，系統(tǒng)超臨界Hopf分岔行為消失，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。

以上表明選取適宜線性或非線性控制增益對(duì)系統(tǒng)施加控制后，系統(tǒng)Hopf分岔行為消失，系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定。

3??結(jié)論

針對(duì)帶參數(shù)的非線性動(dòng)力系統(tǒng)，研究了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響及Hopf分岔行為產(chǎn)生的條件;設(shè)計(jì)了控制器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行Hopf分岔及穩(wěn)定性控制。研究表明，系統(tǒng)參數(shù)及控制參數(shù)能規(guī)避與控制系統(tǒng)Hopf分岔行為。該方法為帶參數(shù)非線性系統(tǒng)Hopf分岔分析及控制提供了借鑒。

參考文獻(xiàn)

[1]?M?P?Aghababa.?Robust?stabilization?and?synchronization?of?a?class?of?fractional-order?chaotic?systems?via?a?novel?fractional?sliding?mode?controller[J].Communications?in?Nonlinear?Science?and?Numerical?Simulation，2012，17（6）：2670–2681.

[2]?M?P?Aghababa，?H?P?Aghababa.?Finite-time?stabilization?of?uncertain?non-autonomous?chaotic?gyroscopes?with?nonlinear?inputs[J].?Applied?Mathematics?and?Mechanics，?2012，33（2）：155–164?.

[3]?M?P?Aghababa，?H?P?Aghababa.?Chaos?suppression?of?rotational?machine?systems?via?finite-time?control?method[J].Nonlinear?Dynamics，2012，69（4）：1881–1888.

[4]?M?P?Aghababa，?H?P?Aghababa.?A?general?nonlinear?adaptive?control?scheme?for?finite-time?synchronization?of?chaotic?systems?with?uncertain?parameters?and?nonlinear?inputs[J].Nonlinear?Dynamics，2012，69（4）：1903–1914.

[5]?M?P?Aghababa，?H?P?Aghababa.?A?Novel?Finite-Time?Sliding?Mode?Controller?for?Synchronization?of?Chaotic?Systems?with?Input?Nonlinearity[J].?Arabian?Journal?for?Science?and?Engineering?，2013，38（11）：3221–3232.

[6]?M?P?Aghababa.?Finite-time?chaos?control?and?synchronization?of?fractional-order?non-autonomous?chaotic?（hyper-chaotic）?systems?using?fractional?nonsingular?terminal?sliding?mode?technique[J].Nonlinear?Dynamics，2012（1-2），69：247–261.

[7]?賈尚帥，丁千.含間隙超音速二元彈翼非線性顫振與主動(dòng)控制[J].中國科學(xué)（A輯），2013，43（4）：390–400.

[8]?路永坤.受擾統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的主動(dòng)自適應(yīng)模糊積分滑模控制[J].物理學(xué)報(bào)，2012，61（22）：1-6.

[9]Takagi?T，Sugeno?M.Fuzzy?identification?of?systems?and?its?application?to?modeling?and?control[J].IEEE?Transaction?on?System?Man?Cybern，1985，15：116-132.

[10]Abdelkader?Senouci，?Abdelkrim?Boukabou.?Predictive?control?and?synchronization?of?chaotic?and?hyperchaoticsystems?based?on?a?T–S?fuzzy?model[J].?Mathematics?and?Computers?in?Simulation，2014，105：62–78.

[11]?Jun?Yoneyama.?Nonlinear?control?design?based?on?generalized?Takagi–Sugeno?fuzzy?systems[J].?Journal?of?the?Franklin?Institute，2014，351：3524–3535.

[12]?賈培艷，楊一平，柴秀麗，等.?基于T-S模糊模型的離散混沌系統(tǒng)的模糊控制[J].河南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，43（2）：191-195.

[13]?Yibei?Nian，Yongai?Zheng.?Controlling?Discrete?Time?T-S?Fuzzy?Chaotic?Systems?via?Adaptive?Adjustment[J].?Physics?Procedia?2012，24：1915-1921.

[14]?Li?Yi?Min，Sun?Yuan?Yuan.Type-2?T-S?fuzzy?impulsive?control?of?nonlinear?systems[J].?Applied?Mathematical?Modelling，2012，36：2710-2723.

[15]?Yang?Liu，Shouwei?Zhao.T–S?fuzzy?model-based?impulsive?control?for?chaotic?systems?and?its?application[J].?Mathematics?and?Computers?in?Simulation，2011，81：2507–2516.

[16]?Cheng?Hu，HaijunJiang，?ZhidongTeng.General?impulsive?control?of?chaotic?systems?based?on?a?TS?fuzzy?model[J].?Fuzzy?Sets?and?Systems，2011，174，66–82.

[17]?李福琴，涂金忠.?一類三維混沌系統(tǒng)的Hopf分岔[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2010，10（5）：1198-1120.

[18]?張中華，袁惠群，張宇白.一類電機(jī)系統(tǒng)的分岔分析與Hopf分岔控制[J].?兵工學(xué)報(bào)，2013，34（8）：1051-1056.