豎直平面內圓周運動的臨界問題分析

曾文 周朝彪 桂朝覲

豎直平面的圓周運動是高中物理的重難點內容，由于此類題型涉及變速曲線運動及牛頓定理的靈活運用，因此學生對其較難掌握，為了讓學生對此類問題能有更清晰的認識和理解，下文就此類問題分四種情況進行討論。

一、繩拉球模型

一輕質繩半徑為r，繩端系一質量為m的物體，在豎直平面內做圓周運動的受力分析。

1.最高點，如圖1所示：

（1）由于輕繩只能提供拉力，在最高點對小球受力分析，因此臨界條件為剛好由重力提供向心力，由牛頓第二定律可得：

mg=m■ ①

此時小球恰好能過最高點，臨界速度為

v=■ ②

（2）當v<■時，小球不能通過最高點。

（3）當v≥■時，小球可以通過最高點。可以看出，當小球運動速度越快時，其輕繩拉力越大。

2.最低點，如圖2所示：

由牛頓第二定律可得

F■=F■-mg=m■ ③

由此可見，當小球的運動速度越大時，輕繩拉力越大。

二、桿模型

一根長為r的輕桿，其一端與一質量為m的小球相連，小球在豎直平面內做圓周運動。

1.最高點，如圖3所示：

由于輕桿與輕繩不同，除了可以提供拉力之外還能提供支持力，因此其受力：

F■=mg±F■=m■ ④

（1）當V=0時，小球的重力和桿對小球的支持力滿足二力平衡，小球剛好能通過最高點。

（2）當④式取減號時，輕桿對小球的作用表現為支持力，此時小球速度越大，輕桿支持力越小，當v=■時，F■=0，即只由重力提供向心力。

（3）當④式取加號時，即v≥■時，輕桿對小球的作用表現為向下的拉力，此時小球速度越大，輕桿拉力越大。

2.最低點，如圖4所示：

最低點時與輕繩情況相同，均表現為拉力，小球速度越大時，輕桿對其的拉力越大。

三、圓軌內側運動模型

一內壁光滑半徑為r的圓環豎直放置在平面內，質量為m的小球沿其內表面做圓周運動。

1.最高點時的情況和繩拉球模型一樣，如圖5所示即可得出：

（1）當v=■時，此時速度為臨界值，小球剛好能通過最高點。

（2）當v<■時，小球不能通過最高點。

（3）當v>■時，小球可以通過最高點且對壁有壓力。

2.最低點，如圖6所示：

這時由③式可知；小球運動速度越大，則內軌的支持力越大。

四、小球在豎直管內做圓周運動

一內壁光滑豎直放置的半徑為r圓管形軌道，質量為m的小球在其管內做圓周運動，小球直徑略小于管內徑。

1.最高點，如圖7所示：

此模型和輕桿模型一樣，軌道可能受小球的壓力和支持力，牛頓方程和④相同。

（1）當v=■時，此時只由重力提供向心力，小球不受軌道的作用力。

（2）當v<■時，管道對小球表現為內管壁對小球的向上的支持力。

（3）當v>■時，管道對小球表現為外管壁對小球的向下的支持力。

（4）當v=0時，物體剛能過最高點；即為過最高點的臨界條件。

2.最低點，如圖8所示：

這時由③式可知；小球運動速度越大，則軌道對小球的支持力越大。

總結：分析圓周運動時，找準向心力的來源尤為重要；豎直平面內的圓周運動在最高點和最低點問題的求解關鍵就是對質點（小球）進行受力分析得出向心力即為合外力（F■），再由牛頓第二定律列出方程即可求解。