小變化大收獲

李燕

變式訓(xùn)練就是將內(nèi)容聯(lián)系密切、題目形式相似、思維方式相近的題目進(jìn)行變化訓(xùn)練，幫助同學(xué)們達(dá)到鞏固所學(xué)知識、形成知識網(wǎng)絡(luò)、發(fā)展思維能力的目的，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)效率的最大化. 現(xiàn)以蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級下冊85頁例6的第2題為例，展開我們的拓展之旅.

一、 原題再現(xiàn)

【點(diǎn)撥】上述兩題都是在原例題的基礎(chǔ)上對外形重新整合，將一眼就能看出的整體“打散”，使其離答案更“遠(yuǎn)”一些. （1） 是把原題中的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)通過提取公因式4而合并，（2） 是把原題各項(xiàng)展開，并把2mn交換到第3項(xiàng)，干擾了同學(xué)們的思維. 總之，形變神不變，解決問題可以步步轉(zhuǎn)化、采用老馬識途的方法，回流到原題.

【評注】在對較復(fù)雜的代數(shù)式進(jìn)行因式分解的過程中，我們要善于觀察，通過合理分組，結(jié)合整體思想，逐步回歸到我們熟悉的數(shù)學(xué)公式中進(jìn)行分解.

變式2 若把原題中（m+n），+4，分別換成p，-5，則原題變化成p2-4p-5，那我們又該怎樣對其進(jìn)行分解因式呢？

【點(diǎn)撥】觀察其結(jié)構(gòu)，我們不難發(fā)現(xiàn)，此多項(xiàng)式局部貌似完全平方公式展開式，那我們可以通過添項(xiàng)來完善，把原式轉(zhuǎn)化為（p2-4p+4）-4-5，即（p2-4p+4）-9，那就不難發(fā)現(xiàn)其中奧妙，原題即轉(zhuǎn)化為（p-2）2-32，再逆用平方差公式進(jìn)行分解即可.

【評注】該題通過巧妙添項(xiàng)，分組，靈活性增強(qiáng)，綜合性大大提高，體現(xiàn)了配方（配出完全平方）的思想方法，多做這樣的訓(xùn)練，同學(xué)們的思維能力將得到有效提升.

（二） 適當(dāng)轉(zhuǎn)型，妙用分解來求值.

【點(diǎn)撥】觀察其結(jié)構(gòu)，我們不難發(fā)現(xiàn)，該題在例題的基礎(chǔ)上做了適當(dāng)變形. （1） 令m2+n2=x，則原等式轉(zhuǎn)化為：x（x-8）+16=0，展開后不難發(fā)現(xiàn)其具備完全平方式的特征. （2） 利用合理分組將等式左邊配成“m”類和“n”類的兩個完全平方式，轉(zhuǎn)化為兩個非負(fù)數(shù)的和為0，從而解決問題.

【評注】第（1）小題是一個整式求值問題，題中應(yīng)用“換元法”，使代數(shù)式由繁變簡，展開后再用完全平方公式進(jìn)行分解. 第（2）小題的難點(diǎn)在于怎樣建立新的組合，合理配出完全平方，最后運(yùn)用兩個非負(fù)數(shù)的和為0的性質(zhì)進(jìn)行求解.

轉(zhuǎn)型2 已知m2-3m+1=0，求m2+的值.

【點(diǎn)撥】由已知條件中的第3項(xiàng)為1，結(jié)合所求代數(shù)式中有，可考慮將已知等式作相應(yīng)的恒等變形，使條件向結(jié)論靠攏.

解：由m2-3m+1=0，可知m≠0，兩邊同除以m得，m+=3. 將等式兩邊平方得，m2+2+=9，故m2+=7.

【評注】該題巧妙地對等式作恒等變形，然后利用互為倒數(shù)的兩數(shù)乘積為1求解，其難點(diǎn)在等式的變形. 因此，我們對待等式要有轉(zhuǎn)化的意識，使條件與結(jié)論溝通更順暢.

（三） 靈活轉(zhuǎn)向，數(shù)形結(jié)合好判定.

轉(zhuǎn)向1 已知△ABC的三邊分別為a，b，c，且滿足等式3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2，試判斷三角形的形狀.

【點(diǎn)撥】將已知等式左邊去括號化簡，右邊用完全平方公式展開，移項(xiàng)整理后再利用完全平方公式變形，根據(jù)“非負(fù)數(shù)之和為0，則非負(fù)數(shù)分別為0”的性質(zhì)求解.

【評注】此題涉及的知識面廣，綜合性強(qiáng)，要能根據(jù)條件配出多個完全平方公式，對同學(xué)們運(yùn)用公式的能力要求較高. 因此，熟練運(yùn)用完全平方公式及等式的變形是解決本題的關(guān)鍵.

轉(zhuǎn)向2 已知四邊形ABCD的四條邊分別為正有理數(shù)a，b，c，d，且滿足a4+b4+c4+d4=4abcd，試說明該四邊形的四邊之間的關(guān)系.

【點(diǎn)撥】觀察等式a4+b4+c4+d4=4abcd，可以將其配成完全平方形式，然后根據(jù)a，b，c，d為正有理數(shù)，偶次方均大于0，從而解得a，b，c，d之間的數(shù)量關(guān)系，可知四邊形四邊之間的數(shù)量關(guān)系.

【評注】解決本題的關(guān)鍵是將原等式轉(zhuǎn)化為三個完全平方式相加的形式，根據(jù)其每項(xiàng)均等于0的性質(zhì)，解出a，b，c，d之間的數(shù)量關(guān)系.

由上述各種變化可知，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，將一個典型的例題拓展、演變、延伸，在最大范圍內(nèi)將分散的知識串成一串，深探下去，往往會收到意想不到的效果，經(jīng)常做這樣的探究，有利于同學(xué)們熟練建構(gòu)與運(yùn)用所學(xué)知識.

（作者單位：江蘇省東臺市東臺鎮(zhèn)海豐中學(xué)）