記直角三角形“三邊關(guān)系”的發(fā)現(xiàn)

陳穎萍

在復(fù)習(xí)《整式乘法與因式分解》這一章時(shí)，老師讓我們思考教材第89頁“小結(jié)與思考”中的第4點(diǎn)，完成兩個(gè)直角三角形的拼圖（圖1），并讓大家從不同角度計(jì)算這個(gè)圖形的面積.

解決這道題目并不困難，不少同學(xué)說小學(xué)里就曾求過類似的面積，很快有人說出如下一些方法.

方法1：把梯形看成三個(gè)三角形的面積之和得：S梯形=ab+ab+c2；

方法2：直接計(jì)算得：S梯形=（a+b）2.

老師沒有就此罷休，而是接著問我們，大家有沒有進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)什么呢？老師的問題一拋出，教室里立即鴉雀無聲，大家都陷入了思考……

我想，這兩種方法計(jì)算的結(jié)果應(yīng)該相等，即ab+ab+c2=（a+b）2，我悄悄地進(jìn)行了化簡，竟然發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)等式：a2+b2=c2.

我們都舉起了手，想說出這個(gè)結(jié)論，但我的同桌卻說出了一個(gè)與眾不同的想法，他把圖1補(bǔ)成一個(gè)大的正方形，并指出：這個(gè)大的正方形的面積也有兩種不同的表示方法.

老師讓他到黑板上畫出示意圖（如圖2），并在圖旁寫出這個(gè)正方形的兩種面積表示方法：S=（a+b）2=4×ab+c2.

接著老師讓他把兩種計(jì)算方法寫成連等的形式，過了一會(huì)又讓他擦去“S=”. 這時(shí)黑板上就留下了“（a+b）2=4×ab+c2”.

老師：同學(xué)們能用本章的整式乘除運(yùn)算將這個(gè)等式變形嗎？

很快，我們利用乘法公式展開后移項(xiàng)、合并，竟然還是得出了：a2+b2=c2.

老師很高興，等了一會(huì)，大部分人都得到這個(gè)結(jié)果后，就問我：“你再想想，這個(gè)等式與原來的圖形有什么關(guān)系？有沒有特別的發(fā)現(xiàn)？”

我定睛一掃圖形1，才發(fā)現(xiàn)：呀！怎么是直角三角形的三邊關(guān)系呢？小學(xué)就一直陪伴我們的直角三角形，從來沒有哪個(gè)老師提醒我們直角三角形的三邊有這種平方關(guān)系呀？是不是我們算錯(cuò)了？

老師發(fā)現(xiàn)了我的猶豫，請我說說是怎么想的.

于是我膽怯地匯報(bào)了我的發(fā)現(xiàn)“直角三角形三邊存在一種平方關(guān)系……”

老師肯定了我的發(fā)現(xiàn)，并告訴我們：“其實(shí)這是直角三角形一個(gè)十分重要的性質(zhì)，也稱勾股定理，人類在很早的文明時(shí)期就發(fā)現(xiàn)了這個(gè)性質(zhì)，下學(xué)期將有一章的內(nèi)容來專門學(xué)習(xí)這個(gè)定理. 你們現(xiàn)在就已發(fā)現(xiàn)這個(gè)性質(zhì)，應(yīng)該記錄下來，感興趣的同學(xué)還可以深入思考這個(gè)性質(zhì)的其他證明方法！”

看來數(shù)學(xué)圖形的性質(zhì)真是奧妙無窮，從一個(gè)圖形面積出發(fā)，竟然能發(fā)現(xiàn)一個(gè)重要的性質(zhì)，數(shù)學(xué)需要發(fā)現(xiàn)的眼光！

劉老師點(diǎn)評：教材上安排這個(gè)思考題的目的就是想讓同學(xué)們發(fā)現(xiàn)勾股定理，所以我們組織了一次演算與發(fā)現(xiàn)，只是沒有想到有學(xué)生并沒有從圖1出發(fā)發(fā)現(xiàn)定理，而出現(xiàn)一次課堂插曲，將圖1補(bǔ)成一個(gè)正方形，而這個(gè)圖形也是勾股定理的重要證明方法. 這個(gè)“插曲”的出現(xiàn)，對我們是有啟示的，那就是數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明從來不是一帆風(fēng)順的，常常會(huì)有類似的“插曲”，或者走上一段彎路. 理解這一點(diǎn)，同學(xué)們就不必為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之路上出現(xiàn)的一些波動(dòng)、挫折而煩惱，也許這就是數(shù)學(xué)的魅力吧！

（指導(dǎo)教師：劉東升）