一元一次方程中的常見思想方法

陳小云

數(shù)學(xué)思想是解題的靈魂，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟與運(yùn)用滲透在整個(gè)初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，是克服題海戰(zhàn)術(shù)，取得優(yōu)異成績(jī)的有效策略. 在列一元一次方程解應(yīng)用題過程中，若能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法來求解，往往能取得事半功倍的效果. 現(xiàn)就列一元一次方程解應(yīng)用題中的常見的思想方法舉例說明.

一、 四個(gè)基本思想

1. 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指在研究問題的過程中，由數(shù)思形、由形想數(shù)，把圖形和蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系巧妙地結(jié)合起來，使問題更直觀，更容易解決.

例1 如圖1，8塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)和寬分別是多少？

【分析】通過觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，由大長(zhǎng)方形的上下兩條邊可以得出兩個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于一個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)+三個(gè)小長(zhǎng)方形的寬，從而得出一個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于三個(gè)小長(zhǎng)方形的寬；同樣由大長(zhǎng)方形的左右兩條邊也可以得出一個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)+一個(gè)小長(zhǎng)方形的寬=60.

解：設(shè)長(zhǎng)方形地磚的寬為x cm，則長(zhǎng)為3x cm，

根據(jù)題意，得：x+3x=60，

解得x=15，則3x=45.

答：長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為45 cm，寬為15 cm.

2. 整體思想

當(dāng)一個(gè)問題中未知數(shù)較多，一個(gè)一個(gè)地求解比較復(fù)雜，或有時(shí)不能求解時(shí)，可將其中滿足某一共同特性的固定代數(shù)式看作一個(gè)整體，通盤考慮，則可既便于列方程，又便于解方程.

例2 一個(gè)五位數(shù)最高位上的數(shù)字是2，如果把這個(gè)數(shù)字移到個(gè)位數(shù)字的右邊，那么所得到的數(shù)比原來的數(shù)的3倍多489，求原數(shù).

【分析】本題若逐個(gè)設(shè)出各位數(shù)字，則未知數(shù)過多，不易列出方程. 如果從整體思考，視后四位數(shù)為一個(gè)整體，方便簡(jiǎn)捷.

解：設(shè)后四位所組成的數(shù)是x，則原來是20 000+x，現(xiàn)在是10x+2，所以10x+2=3（20 000+x）+489，

解得x=8 641.

答：原五位數(shù)為28 641.

3. 分類思想

分類討論思想就是把應(yīng)用題中包含的各種可能情況按照某一標(biāo)準(zhǔn)分成若干類，然后對(duì)每一類分別進(jìn)行解決，從而達(dá)到解決整個(gè)問題的目的.

例3 A和B兩地相距1 890千米，甲乙兩列火車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)行120千米，乙每小時(shí)行150千米，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩車間的距離是135千米？

【分析】?jī)绍囅嗑?35千米，存在兩種情況，相遇前相距135千米或相遇后相距135千米，所以應(yīng)進(jìn)行分類討論.

解：設(shè)經(jīng)過x小時(shí)后，兩車相距135千米，那么甲行駛了120x千米，乙行駛了150x千米. 下面分兩種情況：

1. 當(dāng)兩車在相遇前相距135千米時(shí)，則根據(jù)題意，得120x+135+150x=1 890，

解得x=6.5；

2. 當(dāng)兩車在相遇后相距135千米時(shí)，則根據(jù)題意，得120x+150x=1 890+135，

解得：x=7.5.

答：經(jīng)過6.5或7.5小時(shí)兩車間的距離是135千米.

4. 轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)中一種常見的思想方法，它能將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題. 一個(gè)難以直接解決的問題，可通過深入觀察和研究，將其轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題迅速求解.

例4 甲乙兩人從相距50千米的兩地同時(shí)相向而行，甲每小時(shí)走7千米，乙每小時(shí)走3千米，甲帶一只小狗每小時(shí)走9千米，當(dāng)狗一遇到乙時(shí)又返回甲處，一遇到甲時(shí)又返回乙處，直到兩人相遇，求小狗走的路程.

【分析】本題看似復(fù)雜，在解題時(shí)需根據(jù)題意理清：狗重復(fù)往返跑，直到甲乙兩人相遇時(shí)狗才停住，因而小狗走的時(shí)間就恰好是甲乙相遇需要的時(shí)間，所以就將求小狗走的路程問題轉(zhuǎn)化為求甲乙兩人相遇的時(shí)間問題，這也是本題的突破口.

解：設(shè)甲乙兩人相遇時(shí)用了x小時(shí)，根據(jù)題意，得：（7+3）x=50，

解得：x=5.

則小狗走的路程是：9×5=45（千米）

答：小狗走的路程為45千米.

二、 三個(gè)常用方法

1. 設(shè)k法

利用一元一次方程解應(yīng)用題時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到有關(guān)比例問題，這時(shí)若能巧妙地設(shè)定未知單位量k，就能輕松地列出方程求解.

例5 （2014·臺(tái)灣）桌面上有甲、乙、丙三個(gè)圓柱形的杯子，杯深均為15公分，各裝有10公分高的水，下表記錄了甲、乙、丙三個(gè)杯子的底面積. 今小明將甲、乙兩杯內(nèi)一些水倒入丙杯，過程中水沒溢出，使得甲、乙、丙三杯內(nèi)水的高度比變?yōu)?∶4∶5. 若不計(jì)杯子厚度，則甲杯內(nèi)水的高度變?yōu)槎嗌俟郑?（ ）

A. 5.4 B. 5.7 C. 7.2 D. 7.5

【分析】根據(jù)甲、乙、丙三杯內(nèi)水的高度比變?yōu)?∶4∶5，設(shè)后來甲、乙、丙三杯內(nèi)水的高度為3k、4k、5k，由表格中的數(shù)據(jù)列出方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出甲杯內(nèi)水的高度.

解：設(shè)后來甲、乙、丙三杯內(nèi)水的高度分別為3k公分、4k公分、5k公分，根據(jù)題意，得：

60×10+80×10+100×10=60×3k+80×4k+100×5k，解得：k=2.4，則甲杯內(nèi)水的高度變?yōu)?×2.4=7.2（公分）. 故選C.

2. 間接設(shè)法

在列一元一次方程解應(yīng)用題時(shí)，有時(shí)由于問題較復(fù)雜或特殊，直接設(shè)未知數(shù)不能解或是解的過程比較復(fù)雜，這時(shí)我們可以設(shè)與所求問題相關(guān)的量為未知數(shù)，便于列方程.

例6 李偉從家里騎摩托車到火車站，如果每小時(shí)行30千米，那么比火車開車時(shí)間早到15分鐘.若每小時(shí)行18千米，則比火車開出時(shí)間遲到15分鐘.若李偉打算在火車開出前10分鐘到達(dá)火車站.求李偉此時(shí)騎摩托車的速度該是多少？

【分析】本題若用直接設(shè)法會(huì)相當(dāng)復(fù)雜，所以采用間接設(shè)法，關(guān)鍵抓住“早”“遲”兩個(gè)時(shí)間，再根據(jù)隱藏的數(shù)量關(guān)系——路程不變來列方程.

3. 逆推法

數(shù)學(xué)中有些問題，如果按照題意敘述由后往前推算會(huì)顯得很簡(jiǎn)單，這種解決問題的方法叫逆推法. 逆推法是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要方法. 有些數(shù)學(xué)問題若按常規(guī)思維方法考慮非常困難，而用逆推法就會(huì)十分簡(jiǎn)便.

例7 王大伯賣西瓜，第一天賣了全部的一半還多1個(gè)，第二天賣出剩下的一半還多3個(gè)，正好全部賣完. 一共有多少個(gè)西瓜？

【試一試】

（2015·寧德）為支持亞太地區(qū)國(guó)家基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，由中國(guó)倡議設(shè)立亞投行，截至2015年4月15日，亞投行意向創(chuàng)始成員國(guó)確定為57個(gè)，其中意向創(chuàng)始成員國(guó)數(shù)亞洲是歐洲的2倍少2個(gè)，其余洲共5個(gè)，求亞洲和歐洲的意向創(chuàng)始成員國(guó)各有多少個(gè)？

參考答案：

【分析】設(shè)歐洲的意向創(chuàng)始成員國(guó)有x個(gè)，亞洲的意向創(chuàng)始成員國(guó)有（2x-2）個(gè)，根據(jù)題意得出方程2x-2+x+5=57，解得即可.

解：設(shè)歐洲的意向創(chuàng)始成員國(guó)有x個(gè)，亞洲的意向創(chuàng)始成員國(guó)有（2x-2）個(gè)，根據(jù)題意，得：2x-2+x+5=57，

解得：x=18， ∴2x-2=34.

答：亞洲和歐洲的意向創(chuàng)始成員國(guó)各有34個(gè)和18個(gè).

（作者單位：江蘇省如皋市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）