應(yīng)用“方程思想”解決角度計(jì)算問題

馮娟

初學(xué)幾何，便遇到有關(guān)角度的計(jì)算問題.處理這類問題，通常可結(jié)合題設(shè)與圖形的有關(guān)性質(zhì)，運(yùn)用方程思想求解，現(xiàn)舉例說明.

例1 如圖1，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OF⊥CD，則圖中與∠EOF相等的角還有（ ）.

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

【分析】由于題中沒有給出除直角以外的任何一個(gè)角的度數(shù)，求出∠EOF的度數(shù)是不可能的，但是我們可以設(shè)∠AOF為x°，則∠EOF為90°+x°.因此，要找到與∠EOF相等的角，只要找到角度為90°+x°的角就可以了.容易表示出圖中以下角的度數(shù)，∠AOC=90°-x°，∠COE=x°，∠BOC=90°+x°，∠AOD=90°+x°.所以圖中與角∠EOF相等的角有兩個(gè).

在解決這道題的過程中，我們發(fā)現(xiàn)這道題有很多個(gè)未知量，因此我們用設(shè)未知數(shù)表示出各個(gè)角的方法，使得解題思路變得更加簡(jiǎn)潔.

方程是數(shù)學(xué)中的天平，結(jié)合題中的已知量和未知量，我們可以將各個(gè)實(shí)際問題中的等量關(guān)系“翻譯”成方程.

例2 如圖2，直線BC、DE相交于點(diǎn)O，OA、OF為射線，AO⊥OB，OF平分∠COE，∠COF+∠BOD=51°，求∠AOD的度數(shù).

【分析】首先理解題目條件可以得知，∠BOD=∠COE，∠BOE=∠COD，∠AOB=∠AOC=90°，∠EOF=∠COF.設(shè)∠COF=x°，則∠BOD=∠EOC=2x°，根據(jù)∠COF+∠BOD=51°列出方程x+2x=51，求解.

當(dāng)然也可以通過算式計(jì)算，兩種描述方法的比較，我們可以發(fā)現(xiàn)方程是比算式更有力的數(shù)學(xué)工具. 列算式時(shí)，只能使用已知數(shù)，列方程時(shí)，未知數(shù)可以像已知數(shù)一樣參與運(yùn)算，比列算式更直接、更自然、更寬松，從而給解決問題提供便利，體現(xiàn)了從算術(shù)方法到代數(shù)方法的進(jìn)步.

在有些數(shù)學(xué)問題中，設(shè)定一些未知 數(shù)，不需要求出未知數(shù)，而根據(jù)題目本身的特點(diǎn)，將未知數(shù)消去或代換，使問題的解決變得簡(jiǎn)捷、明快，在這里不妨稱之為“設(shè)而不求”.

例3 如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，D、E兩點(diǎn)在AB邊上，求∠DCE的度數(shù).

顯然這道題利用設(shè)未知數(shù)的方法，將復(fù)雜的角的關(guān)系變得一目了然，但參與其中的未知數(shù)并沒有計(jì)算出具體數(shù)值.有時(shí)題目需要，我們甚至可以設(shè)幾個(gè)未知數(shù)求解.

方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，是分析、解決問題的有效工具.這類幾何角度的計(jì)算問題是較為隱性的“方程模型”問題，同學(xué)們?cè)诮忸}中很難想到設(shè)未知數(shù)、構(gòu)造方程解決問題.我們要以數(shù)學(xué)的眼光觀察問題，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)定未知數(shù)，用好方程這個(gè)工具，能拓寬解題視野，積累更多的解題經(jīng)驗(yàn).

（作者單位：江蘇省如皋市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）