趣味數學題選粹

陳娟

趣味數學題（一）

1. 過橋

今有a、b、c、d四人在晚上都要從橋的左邊到右邊. 此橋一次最多只能走兩人，而且只有一只手電筒，過橋時一定要用手電筒. 四人過橋最快所需時間為：a：2 分；b：3 分；c：8 分；d：10分. 走得快的人要等走得慢的人，請問何種走法才能在 21 分 鐘內讓所有的人都過橋？

【解析】先是a和b一起過橋，然后將b留在對岸，a獨自返回. a返回后將手電筒交給c和d，讓c和d一起過橋，c和d到達對岸后，將手電筒交給b，讓b將手電筒帶回，最后a和b再次一起過橋. 則所需時間為：3+2+10+3+3=21（分鐘）.

2. 巧插數字

125×4×3=2 000

這個式子顯然不等，可是如果在算式中巧妙地插入兩個數字“7”，這個等式便可以成立，你知道這兩個7應該插在哪兒嗎？

【解析】 插入數字后的式子為：1 725×4×3=20 700.

3. 溫馨四季

春夏 × 秋冬 = 夏秋春冬

春冬 × 秋夏 = 春夏秋冬

式中 春、夏、秋、冬 各代表四個不同的數字，你能指出它們各代表什么數字嗎？

【解析】春=2；夏=1；秋=8；冬=7.

4. 破車下山

一個破車要走兩英里的路，上山及下山各一英里，上山時平均速度每小時15英里，問當它下山走第二個一英里的路時要多快才能達到平均速度為每小時30英里？是45英里嗎？你可要考慮清楚了呦！

【解析】無論如何破車的平均速度也不可能達到30英里/小時. 因為當平均速度為30英里/小時時，破車上、下山的總時間應為小時. 而破車上山就用了小時. 所以說破車的平均速度是達不到30英里/小時的.

5. 共賣多少雞蛋

王老太上集市去賣雞蛋，第一個人買走籃子里雞蛋的一半又一個，第二個人買走剩下雞蛋的一半又一個，這時籃子里還剩一個雞蛋，請問王老太共賣出多少個雞蛋？

【解析】王老太共賣了10個雞蛋.

6. 有多少人參加考試

試卷上有6道選擇題，每題有3個選項，結果閱卷老師發現，在所有卷子中任選3張答卷，都有一道題的選擇互不相同，請問最多有多少人參加了這次考試？

【解析】最多有13人參加考試.

趣味數學題（二）

1. 丟番圖的墓志銘

古希臘數學家丟番圖的墓志銘里包含一個有趣的一元一次方程問題： 過路人！這兒埋葬著丟番圖，他生命的六分之一是童年；再過了一生的十二分之一后，他開始長胡須；又過了一生的七分之一后他結了婚；婚后五年他有了兒子，但可惜兒子的壽命只有父親的一半；兒子死后，老人再活了四年就結束了余生.

根據這個墓志銘，請計算出丟番圖的壽命.

【解析】設丟番圖壽命為x歲，由題意得+++5++4=x，化簡這個方程，得+9=x. 解之，得x=84. 就是說，丟番圖的壽命是84歲.

2. 怎樣合算

小李班里的45個同學在石老師的帶領下到一個風景點春游. 他們準備買票時，看見一塊牌子上寫著：“請游客購票：每張票票價2元；50人或50人以上可以購買團體票，票價按八折優惠. ”很多同學提出：“我們應該怎樣買票比較合算？”石老師說：“這個問題問得好，看誰能計算出來. ”

【解析】買46張個人票應付錢：2×46=92（元）. 買50張團體票應付錢：2×50×80%=80（元）. 買團體票比買個人票少付：92-80=12（元）. 所以，應該買團體票.

3. 分蘋果

秋天到了，小猴征征種的蘋果都成熟了，他挑了最好的蘋果裝在6個箱子中，準備送給好朋友童童和欣欣，6個箱子中分別裝有11、12、14、16、17、20個蘋果. 因為童童小，吃東西少一些，所以他準備只把1/3的蘋果分給童童，其余的分給欣欣，箱子不能拆分，你知道征征是怎么分的嗎？

【解析】6個箱子中共有蘋果11+12+14+16+17+20=90（個），所以童童應分蘋果90×=30（個）. 因為14+16=30（個），所以應該把裝有14、16個蘋果的兩箱蘋果分給童童，其余的分給欣欣.

4. 誰將取勝

第三屆動物運動會上，老虎和獅子在1 200米的長跑比賽中成績相同. 為最后決出勝負，裁判老猴讓老虎和獅子舉行附加賽. 這兩頭猛獸最后賽的是百米來回跑，共計200米遠. 老虎每跨一步為2米，獅子一步為3米，但老虎每跨三步，獅子卻只能跨兩步.

據以上的“情報”，你能提前判斷出誰將取勝嗎？

【解析】老虎跨三步，跑2×3=6（米）；獅子跨兩步，跑3×2=6（米）. 所以老虎和獅子跑的速度是一樣的. 但老虎正好以五十步跑完100米，而獅子則在跑到99米之處后還須再跨一步，到達102米處，然后往回跑. 這樣，獅子比老虎要多跑4米，故老虎取勝.

5. 學生的編號

某學校為每個學生編號，設定末尾用1表示男生，用2表示女生；199713321表示“1997年入學的一年級三班的32號同學，該同學是男生”，那么，199532012表示的學生是哪一年入學的，幾年級幾班的，學號是多少，是男生還是女生？

【解析】199532012表示的學生是1995年入學的三年級二班的，學號是1號，該生是女生.

小結：解決趣味數學問題的方法很多，下面總結一些常用方法：

1. 函數思想： 把某一數學問題用函數表示出來，并且利用函數探究這個問題的一般規律.這是最基本、最常用的數學方法.

2. 數形結合思想： 把代數和幾何相結合，例如對幾何問題用代數方法解答，對代數問題用幾何方法解答，這種方法在解析幾何里最常用.

3. 分類討論思想： 當一個問題因為某種量的情況不同而有可能引起問題的結果不同時，需要對這個量的各種情況進行分類討論.

例 今天，數學老師給興趣小組帶來了一道趣題.他給每個同學發了一張方格紙，說道：“發給大家的紙橫豎都有8個方格，是共有64個方格的方格紙，請在這64個方格內隨意填上64個各不相同的但都不超過100的正整數.”大家照老師的話做了.老師接著說：“現在請找出每一行中的最大的數，再在這8個最大的數中找出最小的，不妨記為m；類似地，找出每一列中的最小的數，再在8個最小的數中找出最大的，不妨記為n.你們各人得到的m彼此是不同的，各人得到的n也是不同的.若比較同一個人得到的m和n，除去個別同學會得到m=n以外，大部分都是m≠n.現在，請大家考慮一下：在所有這些不相等的m和n之間，m和n是否有同一個大小關系？也就是說，會不會對某些人是m>n，而對另一些人是m

同學們都開始緊張地思索，你也想一想吧.

答：如果m和n是同一個方格中的數，則m=n.

如果m≠n，則m與n是兩個不同方格中的數，這兩個不同方格彼此的位置關系有且僅有三種可能：

（1） m和n所在的方格位于同一行，由于m是該行中最大的數，故m>n；

（2） m和n所在的方格位于同一列，由于n是該列中最小的數，故m>n；

（3） m和n所在的方格既不同行也不同列，設與m同行與n同列的數為p，則由m、p同行知m>p，p、n同列知p>n，所以m>n.

于是，只要m≠n，則必定m>n.

4. 方程思想：當一個問題可能與某個方程建立關聯時，可以構造方程并對方程的性質進行研究以解決這個問題.例如證明柯西不等式的時候，就可以把柯西不等式轉化成一個二次方程的判別式.

例 雞兔同籠是中國古代的數學名題之一.大約在1500年前，《孫子算經》中就記載了這個有趣的問題.書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳.問籠中各有幾只雞和兔？

答：（1） 假設法

假設全是雞：2×35=70（條）

雞腳比總腳數少：94-70=24 （條）

少算的腳數：4-2=2（條）

兔：24÷2=12 （只）

雞：35-12=23（只）

假設法（通俗）

假設雞和兔子都抬起一只腳，籠中站立的腳：94-35=59（只）

然后再抬起一只腳，這時候雞兩只腳都抬起來就摔倒了，只剩下用兩只腳站立的兔子，站立腳：59-35=24（只）

兔：24÷2=12（只）

雞：35-12=23（只）

假設全是兔：4×35=140（條）

如果假設全是兔，那么兔腳比總數多：140-94=46（條）

多算的腳數：4-2=2（條）

雞：46÷2=23（只）

兔：35-23=12（只）

（2） 方程法

一元一次方程

解：設兔有x只，則雞有（35-x）只.

4x+2（35-x）=94，x=12

雞：35-12=23（只）

答：兔子有12只，雞有23只.

（3） 抬腿法

方法一：假如讓雞抬起一只腳，兔子抬起2只腳，還有94÷2=47（只）腳.籠子里的兔就比雞的腳數多1，這時，腳與頭的總數之差47-35=12，就是兔子的只數.

方法二：假如雞與兔子都抬起兩只腳，還剩下94-35×2=24（只）腳，這時雞是屁股坐在地上，地上只有兔子的腳，而且每只兔子有兩只腳在地上，所以有24÷2=12（只）兔子，就有35-12=23（只）雞.

方法三：我們可以先讓兔子都抬起2只腳，那么就有35×2=70（只）腳，腳數和原來差94-70=24（只），這些都是每只兔子抬起2只腳導致，一共抬起24只腳，用24÷2得到兔子有12只，用35-12得到雞有23只.

5. 概率統計思想：概率統計思想是指通過概率統計解決一些實際問題.

6. 歸納類比思想：利用歸納類比思想可以對某種相類似的問題進行研究而得出它們的共同點，從而得出解決這些問題的一般方法.

7. 轉化歸納思想：轉化歸納思想是把一個較復雜問題轉化為另一個較簡單的問題并且對其方法進行歸納.

（作者單位：江蘇省如皋市實驗初級中學）