平面向量的概念與平面向量基本定理

褚人統

平面向量是高中數學的基礎工具之一，它具有代數形式和幾何形式的“雙重性”，是高中數學的重要內容.有關平面向量的概念與平面向量的基本定理的試題是高考的“常青樹”，它以題目形式類型靈活多樣、解法精妙在向量中有著重要地位，但是許多同學由于對這類題“不懂章法”，陷入思維混亂的狀態，兜了一大圈子仍空手而歸. 本文通過對平面向量的有關概念、加減法的幾何意義、線性運算、平面向量基本定理的認識和理解，把相關內容進行歸納整理，希望同學們面對向量問題能做到有的放矢，化解自如.

重點難點

重點：①平面向量的概念；②平面向量的加法與減法的三角形法則、平行四邊形法則，運算律及其性質；③向量數乘的定義及其運算律；④平面向量基本定理的內容及其應用.

難點：①用平面向量共線定理來解決三點共線和兩直線平行的問題；②利用平面向量基本定理對一個向量的分解及其表示.

方法突破

1. 飲水思源——運算律法

向量加、減法的運算法則在形式上與實數的加、減法的運算法則相同. 因此，實數運算中的去括號、移項、合并同類項的變形手段在平面向量的線性運算中仍然有效.

2. 借石攻玉——幾何意義法

數缺形時少直觀，形少數時難入微. 在求解平面向量的線性運算過程中要善于把握“向量幾何意義”這一利器，注意平面向量的三角形法則和平行四邊形法則適用的條件：運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重合；運用三角形法則時兩個向量必須首尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件.

3. 中間橋梁——待定系數法

有關向量共線或三點共線的問題，常利用向量共線定理（向量b與非零向量a共線的充要條件是“有且只有一個實數λ使b=λa”）得到關于相關參數的方程組，通過待定系數這一橋梁，使得這類難題變得平凡. 注意：向量共線也稱向量平行，它與直線平行有區別. 直線平行不包括共線（即重合）的情況，而向量平行則包括共線（重合）的情況.

4. 移花接木——平面向量基本定理

平面向量基本定理實際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據，也是向量坐標表示的基礎. 用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用平面向量的基本定理將條件和結論表示成基底的線性組合，再通過向量的運算來證明. 在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便.