工業機器人的魯棒有限時間穩定性跟蹤控制*

田雪虹（廣東海洋大學寸金學院，廣東湛江524094）

工業機器人的魯棒有限時間穩定性跟蹤控制*

田雪虹
（廣東海洋大學寸金學院，廣東湛江524094）

考慮工業機器人系統存在的參數未知、負載突變及外界干擾等各種不確定性，提出了一種有限時間穩定性的軌跡跟蹤控制方法。該方法利用時延實時在線估計系統的各種不確定性和實際動力學特性，其估計誤差由變結構項進行補償，因而具有較強的魯棒性和抗干擾性能，并且不需要機器人系統復雜的動力學模型知識。理論分析證明了機器人的閉環系統是有限時間穩定的，收斂速度快，跟蹤精度高。通過對2自由度工業機器人的數值仿真說明了該算法的有效性。

工業機器人；時延估計；有限時間穩定；跟蹤控制

0　引言

隨著我國對產業結構調整和升級的迫切要求，工業機器人作為一種高度自動化的智能裝備，在汽車制造業、機械加工業、電子制造業、食品加工業等各行各業獲得廣泛的應用，工業機器人必將逐步取代人工作業，這一趨勢使得人們對工業機器人的性能要求越來越高，如智能化、模塊化、高速、高精度等。由于工業機器人是一個高度復雜的、強非線性的多輸入多輸出系統，使得傳統的獨立伺服PID控制方法很難滿足對高速高精度的性能要求，因此，研究先進的非線性控制技術如自適應控制、有限時間控制等方法具有重要的理論和現實意義。

有限時間穩定[1-2]是指系統的狀態在有限的時間內到達平衡點，與漸近收斂的傳統方法相比，瞬時特性更好，跟蹤精度更高。因而，有限時間穩定性控制方法得到許多學者的廣泛關注，并取得了一系統的研究成果，如文獻[3-6]等。目前實現有限時間控制的常見方法有終端滑模控制方法，齊次理論方法，有限時間Lyapunov函數法等，其中終端滑模控制方法容易產生奇異[7]并且其不連續項會造成“抖振”，為此，文獻[6]為避免奇異問題，提出了一種全局的非奇異終端滑模控制方法。為減少非奇異終端滑模控制的“抖振”問題，文獻[8]提出了一種連續的終端滑模控制器，并成功應用于機器人系統的跟蹤控制。文獻[9]利用有限時間穩定性定理論，提出了一種基于PD和重力補償策略的有限時間控制方法，保證了機器人系統跟蹤誤差的有限時間收斂。為獲得更好的跟蹤性能，文獻[10]提出了基于非線性PD的全局有限時間穩定的控制器。接著文獻[11]提出了基于修正機器人逆動力學的有限時間控制方法，從而保證了閉環系統的全局有限時間穩定。但以上這些方法都需要已知機器人的動力學模型，難以實際應用，而文獻[12]將時延估計機器人的動力學模型，卻無需機器人的動力學模型知識，但飽和函數的應用犧牲了跟蹤精度。實際上，采用模糊小波神經網絡也可以逼近機器人的未知動力學部分[13]，但大量的模糊規則使得算法的復雜性增加。而時延估計方法[14]通過在線實時估計各種不確定性，并加以補償，從而對參數變化和外界干擾均能表現出較強的魯棒性，并且算法比較簡單，不需要被控對象的動力學知識。因而時延估計方法在許多機電系統領域獲得廣泛應用，如工業機器人[12，15-18]、DC伺服電機[19]等。

本文考慮工業機器人系統的各種不確定性，利用時延估計的魯棒性特點，設計了一種魯棒有限時間穩定的控制策略以提高機器人的跟蹤精度。

1　有限時間穩定

首先介紹判別有限時間穩定性的有限時間Ly?apunov穩定性理論及相關概念。

定義1：有限時間控制：考慮非線性系統

其中f:Rn×m→Rn是連續的。如果存在一個連續反饋控制律u=?(x)，其中?(0)=0，使得閉環系統的原點x=0是（局部）有限時間穩定的平衡點，則閉環系統=f(x,?(x))是有限時間穩定的，此反饋控制律u=?(x)被稱為有限時間穩定性控制器。

引理1[1]：針對非線性系統（1），如果存在一個定義在原點鄰域U?Rn上的函數V（x），并且V（x）是C1光滑的，且存在實數0<μ<1和c>0，使得下列條件成立：

（1）V（x）在U上是正定的；

則系統（1）是局部有時間穩定的。與初始狀態x（0）=x0有關的停息時間為：

式（2）中x0為原點某一開鄰域內的任意一點。如果U=Rn并且V（x）是正則的，則系統（1）是全局有限時間穩定的。

引理2[8]：對于任意給定的實數ai，i=1，…，n，若0<μ1<1，0<μ2<2，則以下不等式成立：

2　機器人的動力學模型

對于一個多輸入多輸出的n自由度關節機器人，其動力學方程可表示為

實際上，六自由度工業機器人的動力學方程是相當復雜的，由于各不確定性的存在，是很難甚至不可能獲得機器人精確的動力學模型的。基于此，本文引入一個正定的常數矩陣，并令：

則機器人的動力學方程（5）可簡化為

3　有限時間控制器設計及分析

工業機器人軌跡跟蹤有限時間控制的目的就是使機器人的關節變量q能有效地跟蹤期望的關節量qd，并且使跟蹤誤差e在有限時間內收斂至零，其中e(t),(t)∈Rn分別定義為e=q-qd,=-。

3.1有限時間控制

首先定義如下的Sig(·)α向量：

其中x=[x1,…,xn]T∈Rn，0<α<1，sgn(·)是標準的符號函數.

若令x1=e(t),x2==(t)，則具有不確定性的工業機器人系統（7）可表達為：

本文采用Backstepping技術，結合有限時間Lyapunov函數構造法來設計控制器，以實現機器人閉環系統的有限時間穩定。

第一步：引入輔助控制量φ(x1)∈Rn，且φ(0)=0，并定義如下誤差變量：

則式（9）可表示為：

第二步：定義Lyapunov函數：

沿系統（9）的軌跡對V2求導并將式（11）代入得：

則沿系統（9）的軌跡有：

為實現系統跟蹤誤差的有限時間收斂，特設計如下輔助控制量以使式（13）滿足引理1的條件（2）：

其中L1=diag(l11，l12，…，l1n)，l1i>0，i= 1，…，n。Sig(·)α的定義見式（8），并代入上式（13）可得：

如果z=0，則有：

即系統是原點有限時間穩定的，其中l1min=min{l1i}，=2μl1min，μ=(1+α)/2，則1/2<μ<1。為此，需要進行下一步設計。

第三步：定義Lyapunov函數：

其中L2=diag（l21，l22，…，l2n），l2i>0，i= 1，…，n。將上式（19）代入式（18），由引理2可得：

其中l2min=min{l2i}，=2μl2min，因此，根據引理1可知，機器人閉環系統是有限時間穩定的。但是控制器（19）是無法實際應用的，因為函數是未知的，為此，下面通過時延來估計并通過引入變結構項提高對時延估計誤差的魯棒性。

3.2時延估計

并通過變結構項來提高系統對估計誤差的魯棒性。

定理1：針對存在各種不確定性的機器人非線性系統（7），若設計如下控制器：

則該控制器作用下的機器人閉環系統是全局有限時間穩定的，其中L3=diag(l31，l32，…，l3n)，l3i>0，i=1，...，n。

顯然，該控制器根據式（19）可實時估計出含有各種不確定性和實際動力學特性的實際應用時，t-L時刻的關節加速度可利用差分法計算得出，即：

下面證明閉環系統的全局有限時間穩定性。

證明：將控制律（23）代入（18）可得：

式中w為時延估計誤差，即：

如果選擇k3i≥ε，則有

證明完畢，并且系統的調整時間為

說明1：為避免變結構項K3sgn(z)產生的高頻“抖振”影響控制性能，本文采用飽和函數法加以消除，但這不會影響系統的有限時間收斂特性。

其中δ為較小的正常數。

說明2：由于φ(x1)=-L1Sig(x1)α，當x1i=0且≠0時，(x1)無窮大，從而產生奇異，為此本文引入閾值λ>0來避免奇異，即：

說明3：由于較小的α，可獲得較快的誤差收斂速度，但會增加系統的控制輸入量，為避免輸入飽和，建議選擇0.7<α<0.9。

4　仿真

該部分通過對2自由度的工業機器人的數值仿真實驗以說明本文方法的有效性和可行性，其動力學模型如下：

其中

機器人動力學模型的參數r1=1m，r2=0.8m，J1=5 kg·m，J2=5 kg·m，m1=0.5 kg，m2=1.5 kg。機器人期望的跟蹤軌跡為qd=[sin(2πt)，sin(2πt)]T，系統的初始條件為q(0)=[0.5，0.5]T，(0)=[0,0]T。控制器的相關參數設置如下:=diag(1,1)，K1=diag(10，10)，K2=diag(10，10)，K3=diag(10，10)，α=0.7，時延時間L=0.001 s，外界干擾設為τd=0.1+0.2q+0.5，在t=2~4 s時，出現突變干擾，設為τd2=2。

為說明本文算法的優點，與文獻[11]提出的全局有限時間逆動力學方法(簡記為FIDC)進行比較，其控制律為：

其中控制參數設置為：Kp=diag(50，50)，Kd= diag(50，50)，α1=0.5，α2=2α1/(α1+1)=2/3，并且該控制律（33)中均假設機器人的動力學模型完全已知。數值仿真結果見圖1和圖2，由圖1可以看出，FIDC的收斂速度明顯慢于本文方法，RFTC的跟蹤誤差小于FIDC方法。由于FIDC方法的動力學模型是完全已知的，因此說明本文方法具有較強的魯棒性。控制輸入量如圖2所示，RFTC方法的控制量略有“抖振”，是由變結構項引起的，實際應用時用飽和函數代替。

圖1　跟蹤誤差

圖2　控制輸入量

總之，本文采用時延估計機器人的各類不確定性和動力學特性，使得算法結構更簡單，更容易實現；并且有限時間穩定提高了系統的跟蹤精度，改善了動態響應特性，非常適用于工業機器人高速高精度的軌跡跟蹤控制。

5　結論

采用Backstepping方法設計了工業機器人有限時間穩定的控制器，一方面提高了響應速度，另一面確保了跟蹤精度，變結構項的引入確保了系統具有較強的魯棒性和抗干擾性能。采用時延在線估計機器人的各種不確定性和實際動力學特性，因而不需要機器人精確的復雜動力學知識。理論分析及仿真結果表明了本文方法的有效性和可行性。

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(編輯：阮毅)

Robust Finite-Time Stability Tracking Control for IndustrialRobots

TIAN Xue-hong
（Cunjin College，GuangdongOcean University，Zhanjiang524088，China）

Consider various uncertainties of complex industrial robots，such as parameters uncertainties，load mutation and external disturbances，this paper presents a trajectory tracking controlmethod based on finite-time stability theorem.In thismethod，the various uncertainties and actual dynamics are online obtained by the time-delay estimation，the estimation error is compensated by variable structure terms，which has strong robustness.Thus，the proposed method doesn’t require knowledge of the complex dynamicmode of the robot system.The finite-time stability of robot loop system is proved by finite-time stability theorem，fast convergence and high-accuracy are provided.Simulationson a2-DOF industrial robotdemonstrate theeffectivenessof thisalgorithm.

industrial robot；time-delayed estimation；finite-time stability；tracking control

TP24

A

1009－9492(2015)04－0001－05

10.3969/j.issn.1009-9492.2015.04.001

*湛江市科技計劃項目（編號：2012C3106006）

2014－10－11

田雪虹，女，1980年生，山東菏澤人，大學本科。研究領域：機器人技術及其工程應用。