經典功率譜估計方法的研究

俱瑩，何佳，胡稷鑫

（國家無線電監測中心陜西監測站，西安　710200）

經典功率譜估計方法的研究

俱瑩，何佳，胡稷鑫

（國家無線電監測中心陜西監測站，西安710200）

本文主要針對隨機信號處理中最重要的統計表征——功率譜密度，研究了經典功率譜估計的方法，包括自相關函數法和周期圖法。通過仿真分析了幾種方法的性能，研究了窗長度、窗函數及信噪比等對譜估計性能的影響，為工程應用中譜估計方法及參數的選擇提供了依據。

功率譜密度；自相關函數法；周期圖法；分辨率

1　引言

隨機信號在各個時間點上的取值是不能先驗確定的，但是可以用它的統計平均特性來表征［1］。一個無限持續期無限能量的平穩隨機序列的傅里葉變換是不存在的，無法求得頻譜，但它的功率有限，功率譜密度存在，因此，功率譜密度［2-4］是隨機信號最重要的表征形式。

2　經典功率譜估計方法

根據維納辛欽定理，自相關函數和功率譜密度是一對傅里葉變換，可以通過對自相關函數求傅里葉變換得到隨機信號的功率譜，經典譜估計方法就是基于上述思想而提出的［5-7］。但是實際中樣本序列總是有限長的，所以無法求得準確的自相關函數的值，只能通過一段樣本的值來進行功率譜估計，目前常用的有兩種方法：自相關函數法和周期圖方法。

2.1自相關函數法

假設已知隨機信號x（n）的N個觀測樣本，則其自相關序列可用下式估計

當僅用長度為2M-1的自相關序列時，得到功率譜估計

利用窗函數，式（2）又可表達為

式中，WM（m）為窗函數，窗函數可以選取為矩形窗、Hamming窗等，窗函數選取不同對譜估計性能的影響也不同。

2.2周期圖方法

周期圖方法［8］對信號x（n）的功率譜估計為

將長度為N的平穩隨機信號序列x（n）分成K段，每段長度為L，即L=N/K，第i段序列為

計算周期圖之前，先用窗函數WL（n）給每段序列xi（n）加權，K個修正的周期圖定義為

式中，U表示窗函數序列WL（n）的能量

功率譜估計為

3　仿真分析

利用自相關函數法和周期圖方法對下面受噪聲干擾的正弦信號進行譜估計

式中，NS為正弦個數；和 αi分別為第i個正弦信號的數字頻率、相位和幅度，隨機的分布在［0，2π）之間；w（n）為零均值方差等于的復高斯白噪聲。

（1）兩種譜估計方法比較

用Matlab對兩種譜估計方法進行仿真，其中，N=100，M=10，NS=1，ω1=0.6π，，選擇矩形窗。與自相關函數法的譜估計相比，周期圖法旁瓣幅度顯著減小，穩定性提高，但是分辨率比自相關函數法低。

圖1　兩種方法下的功率譜估計曲線

（2）窗長度M對譜估計性能的影響

圖2　M=5時自相關函數法功率譜估計曲線

圖3　L=5時周期圖法功率譜估計曲線

比較窗長度M（或L）為10和5時的仿真結果，即對比圖2和圖1（a），圖3和圖1（b），可以看出，兩種方法均隨著窗長度的減小主瓣寬度變寬，分辨率降低；旁瓣振蕩頻率降低，旁瓣數目減少；幅度整體降低，但主瓣與旁瓣的相對比例基本沒有改變。

（3）窗函數對譜估計性能的影響

以自相關函數法為例分析窗函數對譜估計性能的影響。

圖4　加Hamming窗的自相關函數法功率譜估計曲線

與圖1（a）的矩形窗相比，Hamming窗功率譜的旁瓣幅度大大降低，起到了對旁瓣的抑制作用，但付出的代價是主瓣寬度增加了近一倍，分辨率降低。

圖5　調整M時加矩形窗的自相關函數法功率譜估計曲線

為比較分辨率，輸入N=100，NS=2，ω1=0.6π，選擇矩形窗，調整自相關序列長度M，觀察分開兩個正弦分量的臨界M值。

圖6　調整M時加Hamming窗的自相關函數法功率譜估計曲線

觀察圖6可知，加矩形窗時，M=8時可將兩個正弦頻率分量臨界分辨出來，加Hamming窗時，M=10時可將兩個正弦頻率分量臨界分辨出來。可見Hamming窗使得功率譜的主瓣變寬，分辨率下降。

（4）信噪比對譜估計性能的影響

對比圖1（a） 時，增大白噪聲的方差時，對主瓣沒有產生影響，但是旁瓣的寬度和幅值稍有增大，使得旁瓣和主瓣的幅度比變大。可見信噪比的降低會對譜估計產生不利影響。

圖7　時加矩形窗的自相關函數法功率譜估計曲線

4　結束語

兩種經典譜估計方法均能準確的估計出譜峰位置，周期圖法較自相關函數法穩定性提高但分辨率下降。在同一種譜估計方法下，旁瓣與主瓣的相對關系只取決于窗口的形狀。窗長度的減小會造成主瓣寬度增大，分辨率降低，旁瓣的振蕩頻率減小，但主瓣與旁瓣的相對比例沒有改變。在實際工程應用中應根據需要選取合適的譜估計方法以及窗函數。

［1］吳兆熊，黃振興，黃順吉.數字信號處理 下冊［M］.北京：國防工業出版社，1988

［2］Wang Guolin，Liu Yongchen. The methods of power spectrum estimation based on measured pavement［C］. International Conference on Electric Information and Control Engineering，2011，P2787-2790

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［4］蔣宇中，劉月亮，應文威.短波信道多普勒功率譜密度研究［J］.電波科學學報，2013，28（4）: 775-781

［5］Petre Stoica，Randolph L. Moses. Spectral Analysis of Signals［M］. Pearson Prentice Hall，2005

［6］John G. Proakis，Dimitris G. Manolakis. Digital Signal Processing-Principles，Algorithms，and Applications （Fourth Edition） ［M］. Prentice Hall，2007

［7］王立琦，王銘義，張禮勇，江連洲，于殿宇.譜估計中解析公式與卡爾曼濾波比較研究［J］.哈爾濱工程大學學報，2010，31（1）: 115-119

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Study of Classic Power Spectrum Estimation Method

Ju Ying，He Jia，Hu Jixin
（State Radio Monitoring Center Shaanxi Monitoring Station，xi’an，710200）

This paper is aimed at power spectrum density，which is the most important statistical characterization in random signal processing. The classic power spectrum estimation method，including the autocorrelation function method and the periodogram method are studied. Through simulation，the performances of these methods are analyzed. The performances of spectrum estimation under the influence of window length，window function and signal to noise ratio are studied. It provides evidence for the selection of spectrum estimation method and parameters in engineering applications.

power spectrum density； autocorrelation function method； periodogram method； resolution

10.3969/J.ISSN.1672-7274.2015.04.012

TN98

A

1672-7274（2015）04-0047-04