一維Theta神經元網絡中的行波解對參數的依賴性

高菲菲

（內蒙古財經大學統計與數學學院，呼和浩特　010070）

一維Theta神經元網絡中的行波解對參數的依賴性

高菲菲

（內蒙古財經大學統計與數學學院，呼和浩特010070）

0　引言

在文獻［1］中，作者Remus Osan等人對一維Theta神經網絡模型進行了研究，證明出了當突觸傳導系數gsyn充分大時，有兩個波速c與之對應，使得模型中神經元的行波解確實存在。在文獻［2］中，作者對同一神經網絡模型進行了研究，證明了多放電行波解的存在性。在文獻［3］中，作者通過改變α（t）和J（x）的形式而改變h輸入，即給h的輸入形式一個擾動，分析其對多放電行波解的影響情況。本文主要討論該模型中行波解對于參數的依賴性，給出其結論完善的證明過程。

1　模型及其參數說明

文獻［1］中所研究的Theta模型，當產生激發位勢時，如一神經元接近它的閾值，那么它的動力系統會映射為單位圓動力系統，具有形式：

其中θ是相變量，Z（t）表示神經元的所有輸入。

如果是單細胞模型，那么（1）式變為：

其中β∈（-1，0）是偏倚參數，控制細胞的興奮性。I（t）表示神經元依賴于時間的輸入。并定義當θ增加時每穿過一次π的奇數倍，就稱細胞放電一次。假設沒有外部輸入，則可得到兩個休止態：

其中θrest是穩定的，而θT是不穩定的。

考慮由多個神經元組成的突觸耦合網，其計算模型有如下形式：

其中（x，t）∈R×R，gsyn表示最大的突觸傳導系數，J（x）是網絡中兩細胞間距離的衰減權函數，S（y，t）滿足時間的常微分方程［1］。

2　模型假設

用與文獻［4］中相同的行波公式，對常速c和ξ=ctx，行波解滿足θ（x，t）=θ（ξ），S（x，t）=S（ξ）。由α（t-x/c）=α（ξ/c）可近似得到S。假設每個細胞在ξ=0處放電，細胞在ξ點的網輸入是，那么（5）變為：

假設J（x）和α（t）具有可積性，且：

因為模型中的行波解都應滿足條件：

且若是單放電行波解還應滿足：

所以以下先在ξ∈（-∞，0］上研究模型，并對滿足（H1）和（H2）的α（t）和J（x）的特殊形式加以討論。

將（7）看作為自治系統：

在文獻［1］中已證明，自治系統（8）的解（θu（ξ），ηu（ξ））存在，它是穿過（π，1）的不穩定流形的分支｛（θ，η）：θ≥θrest，η＞0｝，且每個細胞都會放電一次以上。對每一個波速c，都存在一點（0，ηa（c））是θ方程的零等傾線的頂點，其中因為行波只有當c使得ηa（c）＜1時才會存在。對這樣的c定義θa（c）使得當已證明當c＞0時，θa（c）是c的單調遞減函數。下用表示在（8）的流下，不穩定流形的坐標從θa到π的發展時間

3　結論及證明

可計算：

其中ε0＞0是一固定的常數。

這與（10）式矛盾！

這樣，由c1＜c2可得：

［1］Remus Osan，Jonathan Rubin，and Bard Ermentrout．Regular Traveling Waves in A One-Dimen-Sional Network of Theat Neurons，SIAM J．APPL．MATH．，2002．62．（4）：1197～1221

［2］高菲菲，郝敦元．一維神經網絡微分方程模型的研究——多放電行波解的存在性［J］．內蒙古大學學報（自然科學版），2007．38．（4）：361～365

［3］高菲菲，郝敦元．一維神經網絡中擾動后多放電行波解存在性［J］．浙江大學學報（理學版），2013，40（4）：391～395

［4］G．B．Ermentrout.The Analysis of Synaptically Generated Traveling Waves.J．Comp．Neurosci．，5（1998）：191～208

［5］G．B．Ermentrout.Type I Membranes，Phase Resetting Curves，and Synchrony.Neural Commput，8（1996）：979～1001

［6］G．B．Ermentrout and N．Kopell，Parabolic Bursting in an Excitable System Coupled with a Slow Oscillation，SIAM J．APPL．MATH．，1986，46（2）：233～253

Theat Model；Traveling Wave Solution；Synaptic Coupling；Dependence

Parameter-Dependence of Traveling Waves Solutions in a One-Dimensional Network of Theta Neurons

GAO Fei-fei
（College of Statistics and Mathematics，Inner Mongolia Universityof Finance and Economics，Hohhot010051）

1007-1423（2015）17-0042-03

10.3969/j.issn.1007-1423.2015.17.009

高菲菲（1981-），女，碩士研究生，講師，研究方向為微分方程與系統仿真

2015-04-20

2015-05-22

主要研究一維Theta神經元網絡的微分方程模型，對該網絡模型從神經元生理運動特點和微分方程本身入手進行研究。討論行波解對于參數的依賴性，即討論對于固定的突觸系數，依賴于速度c的不穩定流形的狀態。

Theta模型；行波解；突觸耦合；依賴性

內蒙古財經大學校級教育教學項目（No.JX1310）

Discusses the model of differential equations in a one-dimensional network of Theat neurons.Studies the problem from two aspects：the physiological movement characteristics of neurons and the model of differential equations．Discusses parameter dependence of traveling waves solutions in a one-dimensional network of Theat neurons，considers how the behavior of the unstable manifold depends on velocity c for fixed synaptic conductance．