數學分析與中學數學脫節內容教學研討

王全勝

摘 要：中學數學內容變化已經非常之大，而與之聯系緊密的數學分析內容變化一直不大。該文將數學分析與中學數學的脫節之處進行分析，并具體分析數學分析中需要增加教學課時的內容，根據后面與之有聯系的教學內容，進行對應的教學研討。

關鍵詞：數學分析 中學數學 脫節 教學研討

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）07（a）-0137-02

數學分析屬于數學類專業必修的重要基礎課，在整個自然科學中處于基石地位，并廣泛地應用于自然科學的各個領域。學好數學分析是學好復變函數、泛函分析、微分方程、微分方程的數值解、微分幾何、概率論、普通物理等其它后繼數學課程的必備基礎。同時，在數學類專業所有的專業課程中，數學分析與中學數學的聯系最為緊密。

近些年來，隨著中學數學教材改革的進展，中學數學教學內容變化已經非常之大，數學分析的部分內容已經逐步地引入到中學數學教材中。反之，部分以前必修的教學內容，成為了選修內容，甚至少部分在數學分析中必要的基礎，由于高考不考，在中學課堂上老師不予講解，學生完全不知道。而與之對應的是，數學分析作為專業基礎課程，內容變化一直不大，并沒有根據中學數學教材的改革作出相應調整，這樣就造成數學分析的教學內容與中學數學的教學內容的脫節。一方面是教學內容的重復，浪費數學分析的教學課時；另一方面是必須的基礎缺少，學生接受新知識有困惑與障礙。

該文研究時，數學分析采用華東師范大學數學系編寫的第四版《數學分析》教材，中學數學教材采用人教A版的《普通高中課程標準試驗教科書·數學》教材。把數學分析與中學數學教材內容進行對比，將脫節之處以重復與缺少兩個角度進行分析，以數學分析的教學模式進行教學研討，適當增減數學分析的教學課時，并具體分析增加的教學課時的教材教法，希望對數學分析的教學有所幫助。

1 需要減少教學課時的內容

已進入中學數學教材中的內容主要分四個方面：求導數方面，有四則運算求導法則，復合函數求道法則，導數公式中六類函數的導數，但是無證明過程；導數的應用方面，有利用導數的符號判斷函數的單調性，極值的簡單概念與應用；求積分方面，有不定積分的相關概念，定積分的引例，幾何意義，性質，牛頓-萊布尼茲公式；定積分的應用方面，有定積分的應用中求平面面積，變力做功。

因此，數學分析中，第五章第二節求導法則處，可以減少一節教學課時；第六章第一節函數的單調性處，可以減少一節教學課時；第九章第二節牛頓—萊布尼茲公式處，可減少半節教學課時；第十章定積分的應用處，可減少一節教學課時。

2 需要增加教學課時的內容

2.1 三角函數

三角函數處，增加一節教學課時。主要是介紹余切函數，正割函數，余割函數的定義與圖像，并介紹下面這些公式。

（1）平方公式

，

（2）積化和差公式

（3）和差化積公式

（4）萬能公式

講解時給出公式的證明，以利于學生推導應用。同時復習其它公式，如中學中已經學過的二倍角公式，誘導公式等。講解三個新的三角函數的圖像時，可以順便把其它三個三角函數的圖像簡單復習一下。講解完后適當練習，如化簡，證明等，既熟悉公式又為后面的應用做準備。

2.2 反三角函數

反三角函數處，增加半節教學課時。主要是介紹反正弦函數，反余弦函數，反正切函數，反余切函數的定義，定義域，值域，與三角函數的關系，它們的圖像，以及它們的性質，。講解圖像時特別注意為后面的極限埋下伏筆，如。

2.3 極坐標變換

極坐標變換處，增加兩節教學課時。主要是介紹極坐標系的建立，點的極坐標，點的極坐標與直角坐標互換，平面曲線的極坐標方程與平面直角坐標方程的互換，利用描點法按照極坐標方程作出曲線的圖像，常見的極坐標方程，最后三個方面在講解時要結合起來。

（1）坐標變換分為利用直角坐標求極坐標，以及利用極坐標求直角坐標。

（2）常見極坐標方程如射線方程，與坐標軸垂直的直線方程，（為常數），圓周曲線方程，，，三葉玫瑰線，心形線（或稱外擺線），螺旋線，雙紐線等。

上述增加課時的內容，可以把課時增加在第一章第三節函數概念處，將原教學計劃中的兩節改為五節即可。

3 增加教學課時的內容與后面教學內容的聯系

3.1 三角函數與反三角函數圖像

函數極限與曲線的漸近線需要三角函數與反三角函數的圖像。如的垂直漸近線，的水平漸近線，函數極限，等。

3.2 三角函數中的公式

函數極限與積分的計算需要三角函數中的一些公式。如不定積分中三角函數化為有理函數的萬能換元，，

，

等。

3.3 三角函數與反三角函數的定義

導數、微分、積分的公式與計算需要三角函數與反三角函數的定義。如、

、、、、、

的導數、微分、積分公式以及用它們求其它函數的導數、微分、積分。

3.4 極坐標變換

含參變量函數的導數，定積分在幾何學上的應用，二重積分的極坐標變換，三重積分的柱面變換，這些內容都需要極坐標變換。如求心形線的切線與切點向徑之間的夾角，三葉玫瑰線所圍圖形的面積，螺旋線的弧長，雙紐線繞極軸旋轉所得旋轉曲面的面積，二重積分等。

這些增加教學課時的內容，搞清楚它們用在那里，怎么使用。我們講解的時候才能有的放矢，講解的更加深入透徹。

參考文獻

[1] 華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 人民教育出版社課程教材研究所.普通高中課程標準試驗教科書·數學[M] .北京：人民教育出版社，2010.