基于有限時間收斂ESO的四旋翼無人機控制

王世峰，趙黨軍

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基于有限時間收斂ESO的四旋翼無人機控制

王世峰1, 2，趙黨軍3

(1. 華中科技大學光學與電子信息學院，湖北武漢，430074；2. 湖南工業職業技術學院電氣工程系，湖南長沙，410208；3. 中南大學航空航天學院，湖南長沙，410083)

將四旋翼無人機運動分解為6個相互解耦的單輸入?單輸出(single-input-single-output，SISO)系統，針對各SISO系統中存在的外部擾動和未建模動態提出一種有限時間收斂的擴張狀態觀測器(finite-time convergent extended state observer，FTCESO)，從系統量測輸出中重構系統狀態和廣義擾動。在FTCESO驅動下，基于同倫方法設計具有擾動補償的無人機位置和姿態控制系統，有效抑制了系統不確定性、氣動未建模動態、外部持續和時變擾動。

四旋翼無人機；有限時間收斂；擴張狀態觀測器；同倫方法

近年來，四旋翼無人機(quad-rotor vehicle，QRV)因其結構簡單且具垂直起降能力而獲得廣泛關注[1]。QRV具有時變和非線性的特點，此外QRV受氣動擾動、系統中參數不確定性以及不可避免的未建模動態影響，因此，QRV系統是一種本質不穩定的欠驅動機電系統。要實現QRV系統的高性能控制，必須采取一些強魯棒性方法來有效抑制系統中各種不確定性和降低未建模動態的影響。傳統上的QRV運動控制系統通常被分解為線運動和旋轉運動2個子系統，分別設計相應的控制器從而達到軌跡跟蹤和姿態穩定的目的：Bouabdallah等[2]分別采用精確線性化技術和動態逆方法設計了外環制導控制和內環姿態穩定控制系統；Zuo等[3]將傳統的PID(proportional-integral-differential)方法用于軌跡跟蹤控制以獲得姿態角指令，并對該姿態角指令進行濾波，然后利用反演(back-stepping)控制技術獲得了較好的姿態穩定控制效果；Raffo等[4]提出采用標準反演控制策略進行線運動控制，同時采用方法設計了姿態穩定控制器，該方法能夠較好地抑制外部擾動和參數不確定性的影響，但對姿態運動中的持續擾動無能為力。為克服這一缺陷，Raffo等[5]提出了一種預測控制/非線性控制集成控制策略，有效抑制了持續擾動。上述方法均將QRV控制分解為旋轉運動控制和線運動控制2個子系統，整個飛行控制系統結構復雜，難以在實際飛控中實現，因此，近年來也出現了一些簡潔的控制方案，如：Besnard等[6]利用滑模觀測器驅動滑模控制器進行QRV飛行控制系統設計；Liu等[7]提出帶干擾觀測器的顯式模型預測方法；另外諸如閉環最優控制[8]及智能控制技術[9]等都被用于QRV的飛行控制之中。盡管飛行仿真或工程實驗已經證實這些方法行之有效，但它們對于系統精確模型的依賴，使設計過程中需要建立精確的氣動模型，這對小型無人機而言成本會急劇增加。Wang等[10]在連續有限時間微分跟蹤器的基礎上，針對一類SISO系統利用超螺旋算法提出一種有限時間收斂的擴張狀態觀測器FTCESO，從系統輸出中獲得狀態和廣義擾動[11?12]的觀測信息。為減少對精確模型的依賴，同時提高系統在存在各種不確定性擾動時的控制性能，本文作者提出一種基于FTCESO的同倫控制策略。在有限時間收斂的同倫控制器中引入擾動補償，提高了系統抗擾動能力。

1 預備知識

1.1 定義和引理

定義1 (homogeneity[13?14]) 考慮如下非線性系統：

引理1[15]若非線性系統(式(1))對伸縮因子族(1,2, …,r)是度同倫的，且有漸近穩定平衡點, 則系統(1)是全局有限時間穩定的。

引理2[14]考慮非線性系統(式(1))，若存在連續正定函數使

(3)

1.2 QRV數學模型

本文重點討論如圖1所示的小型QRV的飛行控制問題。為描述QRV的剛體運動方程，定義慣性坐標系和機體坐標系1111，其中11指向飛行方向，11在機體水平面內垂直于11，11垂直于111平面指向上方。QRV的姿態角由歐拉角，和表示，分別代表滾轉角、俯仰角和偏航角。由機體坐標系到慣性坐標系的旋轉矩陣定義為

圖1 QRV結構與坐標系定義

Fig. 1 QRV structure and reference frame definition

式中：為QRV質量；為當地重力加速度；為機體坐標系中沿方向的總推力；和分別為氣動擾動和外部擾動。

QRV剛體旋轉動力學方程為

(7)

其中：

結合式(5)~ (7)，QRV運動可以用如下標量方程來描述：

(8)

2 基于FTCESO的同倫控制

為實現QRV的飛行控制，首先考慮如下具有外部擾動的SISO系統：

假設1[16]：對SISO系統(式(9))的任意可行解，廣義擾動()一致有界，且其對時間的導數有界，即。

2.1 FTCESO

擴張狀態觀測器(ESO)技術由韓京清首先提出[17]，是其自抗擾控制理論的基礎。標準ESO具有如下形式：

(11)

SISO系統(式(9))可以改寫為

(13)

定理1 對有限時間收斂擴張狀態觀測器(11)，若SISO系統(式(9))滿足假設1，則存在常數1，2和3(1＞0，2＞0，3＞0)，t＞0以及0＜＜1使

在有限時間t內滿足。其中：表示的奇異值；，，且

，

選擇合適參數1，2和3使，從而使得觀測器誤差在有限時間內變得充分小。

證明 構造強魯棒性Lyapunov函數

容易證實

故

(17)

(18)

由式(15)得

(20)

(22)

這里狀態相關矩陣可以寫為

(24)

對非奇異矩陣有

由于1為對角陣，且為的非負減函數，故

(26)

則有如下不等式成立：

(28)

選擇合適的參數1，2和3使＞0，即＞，此時＜0必然成立。結合式(21)，(22)和(28)有

根據引理2，誤差系統(式(13))在有限時間

(30)

(31)

若不等式

(33)

(35)

2.2 控制律

本文在文獻[13]所提同倫控制方法的基礎上，基于FTCESO所獲得的廣義擾動估計，引入擾動補償，提高了控制器對模型不確定性的抑制能力。

定理2 要使SISO系統(式(9))輸出跟蹤參考輸出y，設y具有有界的一階和二階導數，若控制律設計為

證明：將控制律(式(36))代入式(9)得

(37)

(39)

接下來驗證標稱系統有限時間穩定。

構造Lyapunov函數：

(41)

(42)

這表明標稱系統(式(40))是Lyapunov穩定的。1為不增函數，，即和在＞0時是有界的，因此，對是一致連續的；同時，對時間也是一致連續的，因此，也是一致連續(具體證明見文獻[13]的附錄A)。根據Barbalat引理有，即當時。

其中：

由于標稱系統(式(40))是全局有限時間收斂的，因此，必然在有限時間進入；之后由于和分別是和的減函數，逐漸增加，于是收斂域半徑進一步減小，因此，會在有限時間內收斂至一個很小的區域。若和足夠大，則該半徑足夠小，即會足夠小，于是，跟蹤誤差在有限時間內滿足。證畢。

3 基于FTCESO的QRV控制

為將前面所提的控制方案應用至小型QRV的控制之中，需要通過構造虛擬輸入將QRV運動方程(式(8))分解為一系列解耦二階系統。QRV控制系統包括外環軌跡跟蹤控制和內環姿態穩定控制2個部分。整體控制系統結構框圖如圖2所示，其中參考軌跡和及其一階和二階微分信號由軌跡規劃算法離線產生。

圖2 基于FTCESO的QRV控制系統結構

3.1 軌跡跟蹤控制

為方便設計，改寫QRV運動方程(式(8))中線運動部分為

其中：

;

虛擬控制的引入使式(46)成為1個解耦系統。顯然，在QRV的任意可行飛行包線內，時間映射函數(即廣義擾動)是有界的，且滿足假設1。因此,對每個解耦后的SISO系統可以設計FTCESO如下：

(47)

；

3.2 姿態穩定控制

與式(46)類似，改寫姿態運動方程為

其中：

相應地，3個獨立的FTCESO設計為

4 仿真實驗

仿真實驗針對精確模型(式(8))進行，仿真中考慮了氣動擾動、外部擾動和參數擾動。采用4階龍格?庫塔算法求解精確模型(式(8))，步長為0.005 s。QRV各系統參數見表1。

表1 QRV模型參數

FTCESO(式(47))和式(51)參數一致，設置為1=25，2=840，3=950，。軌跡跟蹤控制器(式(48))中參數：，，推力上限N。姿態控制器(式(52))中參數設置為：，，。

仿真考慮跟蹤三維空間中的圓軌跡，即

；rad

為表明本文所提方法的魯棒性，質量和轉動慣量J，J和J分別引入的參數攝動。

圖3所示為標稱情況和參數攝動情況下QRV跟蹤給定軌跡在三維空間中的運行軌線，圖4所示為位置跟蹤誤差曲線。從圖4可見：位置跟蹤誤差迅速減小至0 m附近，即使在有擾動存在下也能迅速收斂。圖5所示為由外環制導控制器所產生的姿態角指令和實際飛行姿態曲線，圖6所示為在有參數攝動和外部擾動情況下的姿態角跟蹤誤差曲線。從圖5和圖6可見： 3個通道的姿態誤差均不超過0.2 rad，并且在穩定后，誤差能迅速收斂至0 m附近。圖7和圖8所示分別為標稱情況下QRV總推力曲線和3個通道的控制力矩曲線，顯然需要的推力和力矩均滿足QRV動力系統實際約束條件。仿真實驗結果表明本文所提方法行之有效。

1—參數攝動?30%；2—標稱；3—參數攝動+30%

(a) ex; (b) ey; (c) ez

(a) f; (b) θ; (c) ψ

(a) ef; (b) eθ; (c) eψ

圖7 標稱情況下總推力曲線

1—τf; 2—τθ; 3—τψ

5 結論

1) 對于存在未建模動態和外部擾動以及參數攝動的SISO系統，采用FTCESO從輸出中重構系統狀態和廣義擾動可行，其中廣義擾動包含系統各種不確定性。在對系統狀態和擾動觀測的基礎上，設計帶有擾動補償的同倫控制器，使系統輸出能快速跟蹤指令信號，且跟蹤誤差能在有限時間內收斂至包含原點的小鄰域內。

2) 在QRV氣動參數未知且有外部擾動和參數攝動情況下，通過引入虛擬控制量，將QRV運動方程分解為6個獨立的SISO系統，利用FTCESO技術從系統輸出和量測輸出中獲得系統狀態和廣義擾動的估計。在FTCESO驅動下，同倫控制器能使系統保持姿態穩定，同時跟蹤給定的飛行軌線。本文所提方法能夠有效抑制未建模動態、外部擾動和參數攝動所帶來的影響，且制導控制器和姿態穩定控制器具有相同結構，簡化了控制系統設計。

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Quad-rotor vehicle control based on finite-time convergent ESO

WANG Shifeng1, 2, ZHAO Dangjun3

(1. School of Optical and Electronic Information, Huazhong University of Science & Technology, Wuhan 430074, China;2. Department of Electrical Engineering, Hunan Industry Polytechnic, Changsha 410208, China;3. School of Astronautics and Aeronautics, Central South University, Changsha 410083, China)

The motion of a quad-rotor vehicle was decomposed into 6 decoupled single-input-single-output(SISO) systems. For disturbances and unmodeled dynamics existing in each SISO system, a finite-time convergent extended state observer (FTCESO) was proposed for the reconstruction of system states and generalized disturbances from measured output signals. Driven by FTCESOs, improved homogenous controllers with disturbance compensations for trajectory tracking and attitude stabilization were designed. Convincing simulations reveal that the proposed method can efficiently accommodate system uncertainties, unmodeled aerodynamics, sustained and time-varying external disturbances.

quad-rotor vehicle; finite-time convergent; extended state observer; homogeneous method

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.07.016

TP13

A

1672?7207(2015)07?2494?10

2014?07?23；

2014?10?02

湖南省自然科學基金資助項目(14JJ3024) (Project(14JJ3024) supported by the Natural Science Foundation of Hunan Province)

趙黨軍，博士，講師，從事飛行器制導與控制研究；E-mail: zhao_dj@csu.edu.cn

(編輯 劉錦偉)