斜腹板箱形截面的扭轉幾何特性

胡玉茹，劉亮，張元海

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斜腹板箱形截面的扭轉幾何特性

胡玉茹，劉亮，張元海

(蘭州交通大學土木工程學院，甘肅蘭州，730070)

根據薄壁箱梁約束扭轉理論中的幾何特性計算過程，推導斜腹板雙室箱形截面的扭轉中心、主扇性坐標及主扇性慣性矩的實用計算公式，數值算例驗證所推導公式的正確性。以所推導的實用公式為基礎，結合數值算例，詳細分析斜腹板傾角、懸臂板寬度及梁高等參數變化對斜腹板雙室箱形截面的扭轉中心、主扇性坐標及主扇性慣性矩的影響規律。研究結果表明：扭轉中心至頂板中面的距離隨著斜腹板傾角的增大而增大，但該距離與梁高之比卻隨著梁高的增大而減小；隨著懸臂板寬度的增大，懸臂板自由端處的主扇性坐標將顯著增大；隨著斜腹板傾角的增大，主扇性慣性矩具有先增大后減小的變化規律；當懸臂板寬度較大時，主扇性慣性矩隨懸臂板寬度的增大而迅速增大，梁高較大時主扇性慣性矩的增大程度尤為顯著。

斜腹板箱形截面；幾何特性；扭轉中心；主扇性坐標；主扇性慣性矩

箱形梁由于具有有利的受力性能而廣泛應用于現代橋梁工程中。斜腹板箱梁(梯形截面箱梁)不僅具有結構輕巧、造型美觀等優點，而且由于底板寬度較小，可以有效減小墩臺的橫橋向尺寸，尤其適用于高墩橋梁。隨著預應力技術的進步及材料強度的提高，薄壁輕型化是現代混凝土箱梁的一個主要發展趨勢。眾所周知，當按薄壁箱梁理論分析箱梁的約束扭轉時，需要計算截面的扭轉中心、主扇性坐標及主扇性慣性矩等幾何特性，然而，這些扭轉幾何特性的計算過程非常繁瑣。為此，有些學者推導了計算箱形截面扭轉幾何特性的實用公式，有些學者則借助計算機進行數值計算。陳淮等[1?2]借助薄壁梁彎曲理論中的彎曲中心概念，采用先計算彎曲剪力流的分布，然后通過建立等效力矩方程的途徑，推導了計算箱梁截面扭轉中心位置的公式。朱文正等[3]按照薄壁箱梁約束扭轉理論中的一般方法，推導了單室梯形截面的扭轉中心計算公式，但公式形式復雜，不便應用。周建春等[4]根據任意薄壁截面上翹曲變形的分布應使整個截面的剪切應變能為最小的思路，提出了一種計算任意薄壁截面主扇性坐標的比擬有限元數值方法；周凌遠等[5]按照類似的思路，從更一般的情況出發，采用數值積分的方法求解相關幾何特性。徐秀麗等[6]利用空間有限元軟件的分析功能計算薄壁箱梁截面的抗扭參數。趙勇 等[7?9]還給出了分段計算薄壁箱形截面幾何特性的積分表達式。Waldron[10]編制了一個可計算任意非對稱薄壁截面扭轉幾何特性的計算機程序。Kristek[11]雖然給出了一個計算斜腹板單室箱形截面扭轉中心的公式，但形式復雜。李琳等[12]推導了箱形截面的扭轉中心及主扇性坐標計算公式，但僅適用于直腹板箱梁。綜上所述，盡管在薄壁箱梁截面幾何特性計算方面已有不少文獻，但相關文獻中給出的計算扭轉中心位置等幾何特性的公式主要是針對直腹板箱梁建立的。雖然個別文獻中也給出了適用于斜腹板單室箱形截面的相關公式，但由于形式過于復雜，不便實際應用。此外，已有文獻中幾乎沒有涉及箱梁截面參數變化對幾何特性影響的分析。本文作者針對斜腹板雙室箱形截面，選取頂板與中腹板交點作為輔助極點，導出了計算扭轉中心、主扇性坐標及主扇性慣性矩的簡便公式，結合數值算例，具體分析斜腹板傾角、懸臂板寬度及梁高等參數變化對扭轉中心位置、主扇性坐標及主扇性慣性矩的影響規律。

1 扭轉幾何特性計算公式

圖1所示為具有豎向對稱軸的斜腹板雙室箱形截面簡圖，直角坐標系的原點位于形心處，軸和軸為形心主軸。由于軸為截面對稱軸，故扭轉中心必位于該軸上。圖1中用表示扭轉中心至頂板中面的距離，3個關鍵點分別用1，2和3表示，它們分別位于左側懸臂板端部、斜腹板與頂板及底板交點處。各板件寬度及厚度等變量參見圖1。為了確定扭轉中心(x,y)的位置及以為極點的主扇性坐標ω，可任選一點(x,y)作為輔助極點，并求出以為極點的輔助扇性坐標ω，則主扇性坐標ω可按下式計算[13]：

(2)

(4)

式中：為箱形截面的面積；I和I分別為箱形截面對軸和軸的慣性矩。

圖1 斜腹板雙室箱形截面簡圖

對于圖1所示具有豎向對稱軸的斜腹板雙室箱形截面，若將輔助極點選在中腹板與頂板的交點處，且周線坐標(以逆時針方向為正)的起始點也選在該點處，則計算量會大大減小，從而很容易繪出相應的輔助扇性坐標ω圖如圖2所示，它關于軸呈反對稱分布，在中腹板上為零。

圖2 輔助扇性坐標圖

3個關鍵點處的輔助扇性坐標分別為：

(6)

式中：

(8)

(9)

將所得ω圖與圖(為節省篇幅，圖未繪出)進行圖乘，即可由式(2)導出斜腹板箱形截面扭轉中心至中腹板與頂板的交點(輔助極點)之間的豎向距離(亦即a)的公式，經化簡整理后可表達為

(10)

式中：

(11)

根據圖2所示輔助扇性坐標ω圖的反對稱性質，顯然，式(3)和式(4)中的積分均為零，亦即a和均為零，從而，由式(1)即可很方便地得到主扇性坐標。主扇性坐標圖在中腹板處也為零，且關于軸呈反對稱分布。3個關鍵點處的主扇性坐標計算公式分別為：

(13)

(14)

通過對主扇性坐標圖自乘，即可求得主扇性慣性矩I，經化簡整理后可表達為

(15)

2 數值算例驗證

文獻[14]中給出了一個斜腹板單箱雙室箱形截面算例，截面尺寸如圖3所示，=660 mm，=240 mm，=420 mm，=120 mm，各板件厚度均為20 mm。按文獻[13]中的計算方法，經繁瑣的運算過程求得該截面的扭轉中心至頂板中面的距離為67.02 mm，而按式(10)可直接求得該截面的扭轉中心至頂板中面的距離為=67.03 mm。可見，兩者幾乎完全相同，但應用式(10)卻大大簡化了計算過程。按式(12)~(14)求得該截面3個控制點處的主扇性坐標分別為：

1=4 795.6 mm2，2=?3 248.2 mm2，3=3 543.9 mm2。

單位：mm

該斜腹板箱形截面的主扇性坐標圖如圖4所示。

單位：mm2

按式(15)求得該斜腹板箱形截面的主扇性慣性矩為I=1.016×1011mm6。

按本文推導的公式對文獻[3]給出的斜腹板單箱單室箱形截面進行計算，該單室截面尺寸為：== 3 000 mm，=2 000 mm，=4 573 mm，t=16 mm，t= 12 mm，t=10 mm。按式(10)求得該截面的扭轉中心至頂板中面的距離為=2 172.5 mm，與文獻[3]給出的結果一致。按本文推導的主扇性坐標計算公式求得各控制點處的主扇性坐標分別為：2=1.051 8×106mm2，3=?1.297 0×106mm2。按式(15)求得該截面的主扇性慣性矩為I=7.490×1016mm6。

再對文獻[12]中給出的單箱雙室直腹板箱形截面進行計算，截面尺寸為=400 mm，==268 mm，=80 mm，t=12 mm，其余板件厚度均為10 mm。按本文推導的公式求得扭轉中心至頂板中面距離為=43.86 mm，3個控制點處的主扇性坐標分別為：1=187.1 mm2，2=?2 707.5 mm2，3=3 741.5 mm2，與文獻[12]中的結果相同。按式(15)求得該截面的主扇性慣性矩為I=2.924×1010mm6，也與文獻[15]中給出的結果 相同。

3 參數影響分析

為了考察斜腹板雙室箱形截面的腹板傾斜程度對扭轉中心位置的影響，以圖3所示的箱形截面為基礎，在維持上翼緣板全寬及底板全寬不變，且梁高及各板件厚度均不變的條件下，只改變箱室頂寬使邊腹板傾斜角變化(的定義參見圖1)，當從240 mm逐漸增大至526 mm時，相應腹板傾斜角從0°增大至50°(實際箱梁斜腹板傾斜角度一般小于45°)，作出相應扭轉中心至頂板中面距離的變化曲線如圖5所示。由圖5可以看出：在常用的斜腹板傾斜角度范圍內，扭轉中心至頂板中面的距離隨著腹板傾斜角的增大基本呈線性增大關系，亦即，隨著腹板傾斜角的增大，扭轉中心位置基本呈現出線性下移的趨勢。

圖5 扭轉中心位置隨腹板傾斜角變化曲線

為了考察斜腹板雙室箱形截面的懸臂板寬度變化對不同梁高時扭轉中心位置及主扇性坐標的影響，以圖3所示的箱形截面為基礎，分別取梁高為120 mm和180 mm，在維持箱室寬度和及各板件厚度均不變的條件下，令懸臂板寬度從0 mm以21 mm為步長增大至210 mm，亦即懸臂板寬度與單室頂寬(210 mm)之比從0開始以0.1為步長增大至1.0，繪出扭轉中心至頂板中面距離與梁高之比隨懸臂板寬度與單室頂寬之比的變化曲線如圖6所示。

h/mm: 1—120; 2—180

從圖6可以看出：當懸臂板寬度與單室頂寬之比(可稱為懸臂板相對寬度)很小時(約小于0.1時)，扭轉中心至頂板的相對距離(亦即與梁高之比)隨著懸臂板相對寬度的增大而增大，但當懸臂板相對寬度超過0.1后，扭轉中心至頂板的相對距離隨著懸臂板相對寬度的增大反而減小。圖6還顯示，梁高=120 mm時扭轉中心至頂板的相對距離要比=180 mm時大。

圖7所示為梁高為120 mm和180 mm時3個關鍵點處主扇性坐標隨懸臂板寬度與單室頂寬之比的變化曲線。

h/mm: (a) 120; (b) 180

從圖7可以看出：懸臂板端部即關鍵點1處的主扇性坐標隨懸臂板相對寬度的增大而單調增大，而且伴隨有正負號的改變(由負變正)；關鍵點2和3處的主扇性坐標均隨懸臂板相對寬度的增大而呈現出先增大后減小的變化規律。從圖7還可以看出：若將對應于關鍵點1和3處主扇性坐標相等時(即圖中1和3曲線的交點處)的懸臂板寬度與單室頂寬之比視為一個特征寬度比，顯然，隨著梁高的增大，該特征寬度比有明顯減小的趨勢。

最后考察腹板傾斜角及懸臂板寬度變化對主扇性慣性矩的影響。以圖3所示的箱形截面為基礎，在維持其他尺寸不變的條件下，只改變箱室頂寬使腹板傾斜角變化，作出相應主扇性慣性矩變化曲線如圖8所示；分別取梁高為120 mm和180 mm，在維持箱室寬度和及各板件厚度不變的條件下，只改變懸臂板寬度，作出相應主扇性慣性矩隨懸臂板寬度與單室頂寬之比的變化曲線如圖9所示。

圖8 主扇性慣性矩隨腹板傾斜角變化曲線

h/mm: 1—120; 2—180

從圖8可以看出：隨著腹板傾斜角的增大，主扇性慣性矩呈現出先增大后減小的變化規律，當腹板傾斜角約為13?時，主扇性慣性矩達到最大值。從圖9可以看出：主扇性慣性矩隨著懸臂板相對寬度的增大而單調增大；當懸臂板相對寬度較小時，主扇性慣性矩的增大程度較小，但當懸臂板相對寬度超過0.5后，主扇性慣性矩將隨懸臂板相對寬度的增大而迅速增大，而且，梁高較大時主扇性慣性矩的增大程度尤為顯著。

薄壁箱梁的約束扭轉翹曲正應力在橫截面上的分布規律完全取決于主扇性坐標的分布，主扇性慣性矩則直接影響翹曲正應力。因此，上述關于主扇性坐標及主扇性慣性矩的變化規律對于把握約束扭轉翹曲正應力在橫截面上的變化規律具有重要意義。

值得指出的是，盡管圖7和圖9表明，當懸臂板寬度顯著增大時，在懸臂板端部(即關鍵點1處)的主扇性坐標及截面主扇性慣性矩都會顯著增大，但這是在薄壁箱梁約束扭轉理論中的“剛周邊假設”成立的前提下得到的結果。對于懸臂板寬度相對于箱室寬度很大的箱形截面梁，例如“展翅梁”，長懸臂板在主梁約束扭轉中參與主梁共同工作的程度尚需進一步研究。

4 結論

1) 扭轉中心至頂板中面的距離隨著腹板傾斜角的增大基本呈線性增大關系，該距離與梁高之比隨著梁高的增大而減小。

2) 存在一個臨界懸臂板相對寬度。當懸臂板相對寬度小于該臨界相對寬度時，隨著懸臂板相對寬度的增大，扭轉中心至頂板中面距離與梁高之比也隨之增大；當懸臂板相對寬度大于該臨界相對寬度時，扭轉中心至頂板中面距離與梁高之比則隨著懸臂板相對寬度的增大反而減小。

3) 隨著懸臂板寬度的增大，懸臂板自由端處的主扇性坐標將顯著增大，且一般會改變符號(由負變正)，而斜腹板與頂、底板交點處的主扇性坐標則有先增大后減小的變化規律；當懸臂板寬度與單室頂寬之比等于某一特征寬度比時，懸臂板自由端處的主扇性坐標恰好等于斜腹板與底板交點處的主扇性坐標，該特征寬度比隨著梁高的增大而減小。

4) 主扇性慣性矩隨著懸臂板相對寬度的增大而增大；當懸臂板相對寬度較大時，主扇性慣性矩隨懸臂板相對寬度的增大而迅速增大，梁高較大時主扇性慣性矩的增大程度尤為顯著；主扇性慣性矩隨著腹板傾斜角的增大而呈現出先增大后減小的變化規律。

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Torsional geometrical properties of box section with inclined webs

HU Yuru, LIU Liang, ZHANG Yuanhai

(School of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

According to the calculation procedure for the geometrical properties in the restrained torsion theory of thin-walled box girders, the practical formulas for the twist centre, principal sector coordinate and principal sector moment of inertia of a double-cell box section with inclined webs were derived. Numerical examples validated the correctness of the formulas. Based on the practical formulas derived, the influences of the variations of the web-inclined angle, cantilever plate width and beam depth on the twist centre, principal sector coordinate and principal sector moment of inertia of the double-cell box section with inclined webs were numerically analyzed in detail. The results show that the distance from the twist centre to the middle surface of the top plate increases with the increase of the web-inclined angle; however, the ratio of the distance to the beam depth decreases with the increase of the beam depth. The principal sector coordinate at the tip end of the cantilever plate increases significantly with the increase of the cantilever plate width. The principal sector moment of inertia increases firstly and then decreases with the increase of the web-inclined angle. The principal sector moment of inertia increases rapidly with the increase of the cantilever plate width when the plate width is relatively large; moreover, the increase degree is especially significant for relative large beam depth.

box section with inclined webs; geometrical properties; twist centre; principal sector coordinate; principal sector moment of inertia

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.07.024

U448.213

A

1672?7207(2015)07?2558?06

2014?07?08；

2014?10?28

國家自然科學基金資助項目(51268029, 51468032, 51068018) (Projects(51268029, 51468032, 51068018) supported by the National Natural Science Foundation of China)

張元海，博士，教授，博士生導師，從事薄壁箱梁理論研究；E-mail: zyh17012@163.com

(編輯 楊幼平)