三維復數基礎知識研究

鮑祥平

【摘 要】為了對數學有個深入的認識，并且不斷擴大認知領域，不但完善數學知識，在這里和大家共同研究復數的三維基本知識，為三維復數研究打好基礎，同時敲開超復數大門。

【關鍵詞】三維復數表達式；復數四則運算；復數指數形式；超復數（四元數）；求導

一、四維空間

二維復數可由數對（x，y）表示，同理三維復數可表示成（x，y，z），這里z屬于復數，通常記為實數形式（在三維空間里x，y，z的模相同可視為同一三維復數）由圖 ⑴（x，y，z）=[（x，y）+（z，y）+（x，z）]/2，（x，y，z）=[﹙x，y），z]=x+yi+zj，（當然還可以有其它組合，只取其一。）x+yi為二維復數，zj作為一個數軸與之對應必須具有雙重性質，即代表復平面，又可以視為數軸。為了很好的了解zj軸，先分析四維空間及超復數：四維空間的坐標軸兩兩相互垂直，以兩根軸為一組形成兩個正交的平面（復平面），經過同一原點o并且其中一平面里任意一條經過或不經過原點的直線垂直另一平面。我們把式子Z+jZ1=Z0﹙COSZ0′+jSINZ0′﹚，（Z，Z1，Z0，Z0′都為二維復數）稱為超復數的表達式，與四元數有所不同。在二維復數里，復數Z是以實數R為模進行旋轉對應得到復數Z，而超復數是以復數Z為基準進行旋轉得到超復數Z+jZ1=Z0﹙COSZ0′+jSINZ0′﹚=（Z?+Z1?）?Z/（Z?+Z1?）?+j（Z?+Z1?）?Z1/（Z?+Z1?）?。因Z與Z1正交，且過一平面上的一點（原點）只能作一條直線與之垂直，所以可以視Z1平面濃縮在zj軸中，那么我們把Zcosβ+jZ1sinβ）中的第一項分成兩項的合Zcosβ=Rcosαcosβ+iRsinαcosβ，第二項jZ1sinβ歸并為一項，它就可以作為一個三維復數Rcosαcosβ+iRsinαcosβ+jR（cosα1+isinα1）sinβ進行研究了，并且有Z+jZ1=Z′cosβ+jZ1′sinβ=Z0﹙COSZ0′+jSINZ0′﹚=[（Z′cosβ）?+（Z1′sinβ）?]?（Z′cosβ）/[（Z′cosβ）?+（Z1′sinβ）?]?+j[（Z′cosβ）?+（Z1′sinβ）?]?（Z1′sinβ）/[（Z′cosβ）?+（Z1′sinβ）?]?。超復數滿足四則運算，分配律，結合律等。

圖 ⑴

二、三維復數三角式

我們把式子Rcosβcosα+iRcosβsinα+jR1sinβ（cosα1+isinα1）=Zcosβ+jZ1sinβ與三維坐標里的點s對應（如圖一），稱其為全面表達式，這個表達式對應著超復數Z+jZ1=Z0﹙COSZ0′+jSINZ0′﹚的三角式。當Z≠Z1時稱異步對應，當Z=Z1，（R=R1）稱同步對應，因此同一三維復數對應著不同的三角函數表達式，并且經過某個數學運算后其結果不一定是同一復數。因此在三維空間里Rcosβcosα+iRcosβsinα+jRsinβ=Rcosβcosα+iRcosβsinα+jRsinβ（cosα1+isinα1）=x+yi+zj表示同一三維復數的不同三角形式，那么在三維空間里式子Rcosβcosα+iRcosβsinα+jR1sinβ（cosα1+isinα1）就不能通用，有必要時轉化成通用運算式進行計算，而表達式Rcosβcosα+iRcosβsinα+jR1sinβ（cosα1+isinα1）一般由Rcosβcosα+iRcosβsinα+jRsinβ（cosα+isinα）做函數變換時用到，如求偏導數，所以不做特別注明時通常運算式用Rcosβcosα+iRcosβsinα+jRsinβ（cosα+isinα）=Rcosβcosα+iRcosβsinα+jRsinβ，以免出現多個不同的結果。

三、指數形式

對于超復數的指數ez1+jz2=ex1+iy1+jz2=ex1cosz2（cosy1+isiny1）+jex1sinz2（cosy1+isiny1），當z2是是實數時，我們把它當做三維復數的指數形式。令f（x+yi+zj）=ex+yi+zj=excosz（cosy+isiny）+jexsinz（cosy+isiny），z為實數。我們把形如ex+yi+zj稱為三維復數的通用指數形式，它是超復數指數式特例。

四、求導

知道了三維復數的四則運算，知道了其指數形式，那么三維復變函數最終可以化為有關x，y，z三個變量的函數式子，可以分別對其變量求導。例如：f（x+yi+zj）=（x+yi+zj）?，f′（x+yi+zj）=fx（x+yi+zj）=fy（x+yi+zj）=fz（x+yi+zj）=[（x+yi）?-（x1+y1i）?]/j（x1+y1i）+j2（x+yi）（x1+y1i）/j（x1+y1i）=2（x+yi+zj），這里j（x1+y1i）=jz，因為三維空間坐標軸Z對應的是復數。

五、四則運算

（x1+y1i+z1j）+（x2+y2i+z2j）=（x1+x2）+i（y1+y2）+j（z1+z2），不做特別說明三維復數加法只做這類運算，減法類似。

做乘法運算這里主要討論Rcosβcosα+iRcosβsinα+jR1sinβ（cosα1+isinα1）中R=R1，α=α1的情形，通常三維復數的代數運算指的就是這一類型。以Rcosβcosα+iRcosβsinα+jRsinβ（cosα1+isinα1）這種表達式進行代數運算不常見，一般作函數變換先考慮同步運算再考慮異步變換，四則運算以同樣方式進行，參考上面求導。[R1cosα1cosβ1+iR1sinα1cosβ1+jR1（cosα1+isinα1）sinβ1][R2cosα2cosβ2+iR2sinα2cosβ2+jR2（cosα2+isinα2）sinβ2]=R1R2cos（α1+α2）cos（β1+β2）+iR1R2sin（α1+α2）cos（β1+β2）+jR1R2[cos（α1+α2）+isin（α1+α2）]sin（β1+β2）==R1R2cos（α1+α2）cos（β1+β2）+iR1R2sin（α1+α2）cos（β1+β2）+jR1R2sin（β1+β2），除法類似。