考慮批量分割的虛擬單元調度研究

韓文民，吳滿成，王 潔，張信兵

（江蘇科技大學 經濟管理學院，鎮江 212003）

0 引言

虛擬制造單元[1]根據生產任務的相似性，將制造資源視為共享資源，既能保持成組技術加工柔性特點，又能保持流水線的生產性能。通過共享設備，虛擬單元能夠提供比成組單元更少的生產時間，在一個虛擬單元中，設備被靈活的分配至各零件或零件族進行加工，但由于設備物理位置并不固定，因此，設備的這種邏輯重組能夠極大的降低生產成本和零件的加工時間。

目前關于虛擬單元調度的研究中，從虛擬單元調度建模角度講，K.Mertins[2]以最小資源能力能力占用時間、最小成本及設備準備時間為目標構建混合整數模型，以控制虛擬制造單元生產能力分配；Erhan Kesen[3]針對不同加工路徑的多任務調度問題構建了一個能夠為各設備分配任務的模型；Saadettin Erhan Kesen， Sanchoy K.Das和Zulal Gungor[4]在動態環境下構建了多目標混合整數規劃模型以解決多路徑的虛擬單元作業調度問題，采用代數模型系統求解；Luis Pinto Ferreira，Enrique Ares Gomez，Gustavo Pelaez Lourido和Benny Thahjono[5]基于虛擬單元的概念，研究汽車制造業擁有四個閉環結構的裝配線的離散項目，并用Arena進行仿真。從虛擬單元調度目標角度講，Hamed等人[6]以設備的調整時間和產品完工時間為目標解決單元的復雜調度問題；白俊杰，龔毅光，王寧生和唐敦兵[7]以完工時間最小為調度目標，研究了柔性制造單元的兩階段調度問題；Amit[8]以合理分配產品和設備至已有單元，提高設備利用率為目標，針對不同單元內產品組合變化采取不同策略性方法。從虛擬單元調度算法角度講，Saravanan M.和Nooral Haq,A.[9]采取分散搜索算法求解最小化完工時間調度，實驗發現該方法對求解單元內調度問題具有可行性；M.B.Aryanezhada，Jamal Aliabadi和Reza Tavakkoli-Moghaddam[10]采用遺傳算法求解了裝配性制造單元最小化裝配周期和單元間移動距離的調度問題；王雷[11]以總加工時間最小為目標，以魯棒性較好的粒子群算法解決了敏捷制造系統自組織多級協調控制結構模型。這些研究都很好的證明，在采取虛擬單元調度方式后，企業的生產效率能夠得到較為明顯的改善。

但是，在傳統的調度問題中，都是假設每項作業不可分，且各項作業的任意加工都必須在一臺設備上加工完畢后方能進入下一臺設備進行加工，而在實際生產中，如果一項作業包含多個相似操作，企業可以將其操作分成多個加工子批，將其在設備上不斷重復生產，以降低設備重置成本，提升生產效率。因此，有必要考慮虛擬單元調度中的批量分割問題。

目前在關于批量分割的研究中，Rahime[12]以啟發式規則解決了作業車間中多產品并行時的批量分割問題；Saricicek[13]研究了并行機批量分割問題，并用禁忌搜索算法予以求解；Taofeng Ye[14]將問題分為三類，研究了作業車間中轉移方式對最有批量的確定問題；Defersha[15]研究了單元生產中考慮批量分割的設計問題；Ahkioon[16]通過構建非線性整數規劃模型，研究了考慮批量分割后單元生產系統的重構問題。在當前在車間調度、并行機調度與單元調度的研究中發現，采用批量分割能改善企業運營效率。

本文將結合虛擬單元生產方式特點，構建允許批量分割與不允許批量分割的多目標混合整數規劃模型，通過結合批量分割的遺傳算法求解，以證明在虛擬單元調度中考慮批量分割能幫助企業生產取得更好的效果。本文的構建思路如下：第一節將介紹批量分割，以及在虛擬單元調度中，采取批量分割時應當考慮的影響因素；第二節將介紹不考慮批量分割的虛擬單元調度模型與相關假設；第三節將介紹考慮批量分割的虛擬單元調度模型與相關假設；第四節將介紹考慮批量分割的遺傳算法及在虛擬單元調度中的求解過程；第五節將根據算例驗證在虛擬單元調度中實施批量分割后，能否得到生產效果的改善；第六節是本文小結。

1 虛擬單元調度中的生產批量分割

1.1 批量分割

生產批量確定能夠決定系統表現[17]，因此批量大小的確定對生產計劃十分重要。批量分割指將生產中的大批量分割為子批量，從而使同一作業的各工序在具有相同加工能力的設備上重疊以重復生產。在批量分割的加工方式中，前一設備完成子批量的生產后，該子批無需等待其他子批生產結束即可進入下一設備繼續生產，從而能有效降低系統在制品庫存與最早完工時間，也能夠降低設備布置成本。雖然采取這樣的生產方式會增加作業的加工流程時間，但由于該方式允許工序重疊，所以能夠更快速的滿足生產交貨期。批量分割有橫向分割與縱向分割的分割方式。橫向分割指同一作業的不同子批在連續加工的設備中同時加工，產生工序重疊的加工現象，縱向分割指同一作業各工序在具有相同加工能力的相似設備或同一類設備中的加工現象。雖然子批的生產重疊能夠滿足交貨期，但子批數量的增加會影響的增加系統運輸成本，并影響到相關設備的分配。因此，批量分割生產方式需要解決設備的分配問題，合理確定子批大小并確定設備的加工順序與子批種類，以使虛擬制造單元內設備的負荷均衡，獲得虛擬單元生產方式的最大利潤。以A(B)（AN*，B N*）表示設備類型為A的第B臺設備，圖1所示為批量分割示意圖，圖2所示為縱向分割批量分割方式工藝路線圖，其中，圖1設備1(1)，1(2)與1(3)屬于同一設備，設備2與設備3,4屬于具有某種相同加工能力的相似設備，子批1與子批2和3屬于由同種類型設備存在多臺設備引起的批量分割，子批1與子批4，子批2與子批5和子批3與子批6屬于同一產品各工序在連續生產中出現重疊，同時進行，圖2中SD表示開始加工設備，TD表示結束加工設備，虛線表示有多少子批在該設備上加工。

圖1 批量分割示意圖

圖2 縱向分割示意圖

1.2 虛擬單元調度中的批量分割

一般調度中的批量問題包括流水車間與作業車間的批量分割問題，采用批量分割解決車間批量分割問題已被廣泛使用，但是關于單元批量分割的研究較少，尤其是關于采用批量分割對虛擬單元生產方式的企業績效的論證的研究很少。批量分割問題主要解決轉移批量與加工批量問題，其中，企業的生產提前期受轉移批量的影響，資源的利用水平受加工批量決定，所以，在虛擬單元調度中，需要同時考慮加工轉移批量與加工批量。因此，為了構建全局優化的的批量分割模型，需要首先分析影響批量分割的因素。

傳統單元生產中考慮批量時，會從工件相似性、加工工藝相似性、加工作業轉移方式、設備運輸能力與費用、在制品庫存、在制品緩沖、降低設備的調整時間等方面考慮。考慮到虛擬制造單元存在共享資源設備，以及各設備是邏輯成組的生產組織特點，在確定批量分割策略時，需要考慮生產計劃期、交貨期、設備特性及加工作業在產品結構中的位置。

單元構建與調度必須要考慮生產計劃期，它代表單元調整頻率與單元重構節點，不同計劃期可能帶來不同的單元內任務提前期，且單元內任務和時間范圍也不同，因此，在虛擬單元生產方式中，生產提前期是影響系統提前期的重要因素。

由于多項目并行的生產系統中，同一生產批次中可能存在不同交貨期的加工零件，批量策略不能僅考慮生產加工的相似性，需要考慮交貨期的影響，以滿足不同產品的交貨期要求。

由于虛擬單元生產方式的設備具有邏輯重組的組織特點，因此可以調用閑置的設備加工，當單元出現負荷不均衡狀態時，可以將部分任務分配至其他單元，也可利用本單元內具有相似加工功能的其他設備，因此，設備特性應當也成為批量分割的考慮因素。

由于虛擬制造單元根據任務相似性，通過物流系統連接合適資源組織生產，因此，生產批量的確定不僅需要考慮作業的生產加工時間與設備的裝備時間，也需要考慮各作業在加工中的位置，上層作業數量決定下層作業數量，作業的加工位置影響其批量，因此，也需要考慮作業在產品結構中的位置。

2 未考慮批量分割的虛擬單元調度模型構建與假設

2.1 問題描述

假設未考慮批量分割的虛擬單元調度中存在m種類型與n項作業，每種類型設備包含多臺設備。以s(i)表示屬于設備類型i的某臺設備，假設s(i)在車間中被分散布局，每臺設備能力相同，且不存在平行加工。以Oj,h表示作業j的第h項操作，以hj表示加工作業數，這里，每項作業的加工作業數不一定相等且每項作業各有其加工路徑與生產設備。在生產過程中，如果Oj,h在需要設備類型為i的設備加工，那么該類型設備中的所有需要加工的設備可能出現生產沖突。所以，調度中需要考慮設備分配和工序調度，且這里假設每臺設備一次最多只能加工一項作業，且已知作業在各設備間的移動距離、加工作業的生產批量、所需加工時間與加工優先級。模型不考慮批量分割情況，即當s(i)加工Oj,h時，作業j的所有零部件必須全部在設備s(i)上加工至完畢，不允許加工中斷。模型不考慮提前加工、設備故障及生產延遲，并假設當t=0時，所有作業等待加工。

2.2 參數設置與模型構建

在相應的模型構建中，以Cmax表示最早完工時間，以j（j=1,…,n）表示作業數，i與k（i,k=1,…,m）表示設備類型，h（h=1,…hj）表示加工工序數，l表示每臺設備的加工順序，Nj表示作業j的加工批量，Pj,h表示作業j加工第h道工序的單位生產時間，Ds(i),s(k)表示每項作業從s(i)至s(k)的單位運輸距離，M表示足夠大的數，W1表示最早完工時間權重，W2表示總運輸距離。

模型以最早完工時間和總運輸距離加權和最小為目標，構建如下混合多目標整數規劃模型：

約束條件如下：

在約束條件中，以tj,h表示oj,h開始加工時間，Tms(i),1表加工第l道工序的設備s(i)的開始加工時間。約束(2)表示最早完工時間必須超過所有工序的完成時間；約束(3)表示所有工序必須在上一道工序結束后方能加工；約束(4)表示工序約束，即每道工序不可提前加工；約束(5)、(6)屬于二選一約束，表示當Xs(i),j,h,1=1時，s(i)對應的加工工序l必須與作業j第h項操作同時加工；約束(7)表示每臺設備最多只能加工一道工序；約束(8)表示每項作業的操作只能由i類型設備中的一臺設備加工；約束(9)表示如果選擇某臺設備加工一項作業的某道工序，則該道工序不受該設備加工順序的約束；約束(10)和約束(11)為二進制約束，約束(10)表示如果Oj,h在s(i)上加工，那么Ys(i),j,h=1，否則，Ys(i),j,h=0，約束(11)表示如果Oj,h在s(i)上加工第l道工序，那么Xs(i),j,h,1=1，否則，Xs(i),j,h,1=1=0；約束(12)和約束(13)表示非負約束。

3 考慮批量分割的虛擬單元調度模型構建與假設

3.1 問題描述

假設有n項作業和m種設備，每種類型設備包含多臺設備。每項作業需要不同類型設備加工，每種類型設備包含多種加工工能相似的設備，因此，有多臺設備可供任意作業的加工選擇。結合虛擬單元設備共享和邏輯重組的特點，本文以最早完工時間和總運輸距離加權和最小為目標，構建多目標混合整數規劃模型。在考慮批量分割的虛擬單元調度中，由于每種類型的設備包含多個加工路徑，所以，每項作業的加工子批都盡可能會選擇能提供最短路徑或最小成本的加工路徑，而這種選擇會加大最小完工時間，因此，在考慮批量分割的虛擬單元調度中，最小完工時間和總運輸距離相互矛盾。此外，在虛擬單元中考慮批量分割時，由于任意一項作業的加工批量被分割為多個子批，這會導致加工操作數的增加。所以，在考慮批量分割的模型構建中，應當考慮需要選取某種類型設備中的哪臺設備，以及該臺設備需要加工任意作業的子批量和這些加工何時開始操作。

3.2 模型假設與構建

模型需要考慮以下情況：1）不存在返工情況，即每項作業只能被同一臺設備加工一次；2）在加工初始時刻t=0時，每一項作業都等待被加工；3）調度開始前，已知每項作業的加工時間、批量大小以及加工優先級；4）已知每種類型設備之間的運輸距離；5）每臺設備在一個時間點只能加工一項作業；6）當一項作業開始加工某一工序時，其他工序不允許被加工。

在相應的模型構建中，以j和u表示作業數，i、k和o表示設備種類，以s(i)表示第i類設備中的單一設備s，Nj表示作業j的批量大小，Pi,j表示第i類設備生產作業j的加工時間，Ds(i),s(k)表示從每項作業從設備s(i)到s(j)的運輸距離，Vj,s(i),s(k)表示作業j從設備s(i)到設備s(k)的轉移批量，B表示子批（b=1,2,…,B），Fj,b表示作業j的加工子批，W1表示最小完工時間Cmax的權重，W2表示最小運輸距離的權重。同時，以(j,i)表示作業j在設備i上加工，以(j,i)→(j,k)表示j在i上的加工優先于j在k上的加工。基于上述假設與參數設置，考慮最小化最早加工時間和最小運輸距離的多目標整數規劃模型構建如下：

在約束條件的構建中，以tj,s(i),s(k)表示作業j從設備s(i)到設備s(k)后的開始加工時間，Q表示足夠大的數。設置約束條件如下：

其中，式(14)表示目標函數為最早完工時間與運輸距離最小化；式(15)表示每項作業加工約束關系，即后項作業必須在前向作業完成后方開始加工；式(16)表示最早完工時間必須在系統完工時間內；式(17)表示批量等于前一臺設備加工的作業數；式(18)表示每臺設備加工的作業數需等于該設備產出的作業數；式(19)表示作業j的加工子批數等于其加工批量；式(20)前一臺設備加工的作業需在后一臺設備的空閑段加工；式(21)表示需在不同時間段加工不同作業；式(22)表示如果s(i)作業j優先于s'(t)的作業在s(k)上加工即為1，否則為0；式(23)表示設備s(k)上加工的作業j先于作業u抵達，即為1，否則為0；式(24)表示非負約束。

4 基于遺傳算法的考慮批量分割的虛擬單元調度模型求解

4.1 遺傳算法介紹

遺傳算法（GA）是一種被廣泛應用于解決組合優化問題的元啟發式算法。該算法通過產生隨機初始種群開始計算，這些初始種群中包含的所有個體被稱為染色體或可行解。遺傳算法通過前期確定的迭代次數，以交叉、變異等模仿生物界進化論的思想增強可行解的質量。遺傳算法的目的是在每一代的最后都保持最優解。

4.2 染色體編碼

虛擬單元調度實際上是一個關于設備分配、作業調度以及子批量決策的組合調度問題。這樣，可以通過設備機器的分配、設備加工順序以及加工的子批量大小確定可行解。因此，一條染色體編碼可以由4部分構成，分別以v1表示設備分配矢量，以v2表示作業加工順序矢量，以v3表示所加工序列的子批量數，以v4表示子批量大小。假設有2個子批量，有4種設備類型A、B、C與D，每種設備類型包含多臺設備，如表1所示，表2所示為各加工作業加工順序與批量大小。

表1 設備類型與加工設備

表2 作業順序及加工批量

以表3表示設備分配矢量，在設備分配矢量v1中，以v1(r)表示分配給某一項加工的某臺設備，且該臺設備的位置以r表示。在染色體編碼中，染色體長度表示為設備需要加工操作的數目與子批量數目的乘積。例如，在本例中，加工操作數是10，子批量數是2，因此，染色體長度是20。在針對表3列示的設備分配矢量表格中，4號位置表示o2,2，v1(4)則表示o2,2加工的設備。通過表3發現，設備4和設備3可加工o2,2，所以，子批量為2時，分配加工o2,2的是位置在14的設備3。

通過以上置換表示方法能夠清楚的表示出作業的加工順序，但是考慮到加工優先級，通過上述方式產生的初始解可能難以是可行解。Gen（1994）[18]針對車間調度問題提出一種取代置換方法的方法，即指定一項作業中具有相同加工特征的操作，而后根據加工優先級給出一條染色體中各作業的加工順序。Gen的置換取代法可以(oj,h)p應用于虛擬單元調度中，以表示第p個子批中作業j的第h項加工操作，例如，表3的加工可以表示為：

以Vj,p表示第p個子批中生產作業j所需批量。如作業3批量大小為13，那么V3.1=7就表示加工作業3的第一個子批中所需批量為7，V3.2=6表示加工作業3的第二個子批所需批量為6。通過這種染色體編碼方式，可以使每條生成染色體表示能體現作業加工優先級的可行解，也減少了與置換表示方法相比所需的程序解碼時間。程序將隨機生成代表四個部分的染色體，然后通過解碼方式將染色體與虛擬單元調度相結合，通過基因算子進化初始解以尋求最優解。

4.3 解碼

由于作業操作之間通常能夠被插入多余空閑時間，所以，能將一條染色體轉換為無數個調度。解碼的目的是重新排序染色體將其編入調度，為了達到這個目的，設置如下解碼規則。

在特定子批量p加工過程中，同一作業加工操作存在加工順序，加工順序之間就存在設備空閑時間，這里假設bj,h表示oj,h開始加工時間，cj,h表示oj,h加工完成時間，oj,h只能在oj,h-1加工結束后加工。假設設備i的加工開始時間分別是，如果在存在足夠的空白時間，就能在中能夠插入oj,h進行加工，因此，定義bj,h和如下：

該解碼規則能根據加工順序矢量v2將加工分配至對應的設備。當oj,h在設備i上調度時，將從左到右評估已經在設備i上完成調度的加工操作，以尋得能夠開始的最早空閑時間。如果存在這樣的空閑時間，則安排該項操作至這段時間，如果不存在這樣的空閑時間，則將該項操作安排至設備i以最后加工。染色體即按照上述規則進行重新排序。

該項解碼規則和重新排序規則可使一項操作加工尋求最早的設備空閑時間，所以，基于上述規則，在加工順序矢量v2中，列在r前面的操作v不一定能在r前加工。在遺傳算法中，為了保證子代能夠準確繼承父代的作業加工順序信息，有必要根據解碼規則生成的新加工順序對染色體中原作業加工順序進行重新編排。

4.4 交叉

Gen（1994）[19]認為，加工順序矢量v2中的每個等位基因并不能代表某項作業的某個具體操作，只代表該作業的一項操作，因此，交叉很難生成保持父代加工順序信息的子代。為讓子代能夠保留父代的遺傳信息，將染色體編碼部分的Gen的置換取代法轉換成置換表示方法。Gao（2008）[17]指出，當前有許多交叉采用置換表示方法，如順序交叉、局部映射交叉、循環交叉等。本文將對加工順序矢量v2采用順序交叉方式，該交叉步驟如下：

第一步：隨機從父代選取兩個不同的等位基因形成子部分；

第二步：復制加工順序的字串到相同位置生成后代；

第三步：從左到右檢查第二代父代的所有加工以完成子代加工順序中未被分配的位置。如果相應的位置在第一代父代遺傳后已經被分配，則在第二代父代中調至下一代，否則，將第二代父代中相應操作分配至子代對應位置。這里，來自第二代父代的加工操作是后代所需要的。交叉過程如圖3所示。

表3 設備分配矢量表

圖3 加工順序矢量上的順序交叉

4.5 變異

變異的目的是產生和父代略有不同的新解。本文采用基于等位基因的變異操作。對設備分配矢量v1，基于等位基因的變異操作以隨機選取等位基因r（r[1,N]）進行變異，然后根據所選等位基因分配設備進行作業操作。對加工順序矢量v2，基于等位基因的變異操作隨機決定是否需要變異等位基因s（s[2,N]），如果等位基因s需要變異，則交換v2(s-1)和v2(s)。本文中，將對所有新解進行變異操作。

4.6 選擇

在遺傳算法中，選擇操作在放大的樣本空間內進行，這樣無論子代還是父代就擁有相同的生存幾率。在每一代，如果子代有更好的適應度值，則排除整個種群中適應度值最差的染色體，剩下的部分用輪盤賭進行選擇操作，以在每一次進化中提升種群質量。表4所示為遺傳算法偽代碼。

表4 遺傳算法偽代碼

5 算例分析

5.1 算例基礎數據

為驗證模型的有效性，本章以算例說明VCMS調度。假設虛擬單元內設備類型有3類，每種設備包含多臺設備，如表5所示。表6列出虛擬單元內需要加工的作業及各作業對應的加工工序、加工時間與生產批量，共有6項作業。各設備間移動距離矩陣如表7所示。由于模型涉及到權重設定，而權重的確定屬多目標決策問題，為方便計算，這里假設最早完工時間權重W1為0.95，運輸距離權重W2為0.05。

表5 設備類型與對應設備

表6 作業加工順序、加工工時與生產批量

表7 設備移動距離矩陣

5.2 計算結果

用MATLAB7.12進行計算，初始種群設為100，交叉和變異概率為0.4，最大迭代次數為100。得出圖4的調度結果。圖5為不考慮批量分割的調度結果。發現模型2對應的最早完工時間Cmax和總運輸距離分別為272和3756，模型1對應的最早完工時間和總運輸距離分別為360和3106，通過比較圖4和圖5可以發現，當考慮批量分割時設備的利用效率得到改善，因此，討論批量分割在虛擬單元調度中顯得很有必要。

本文主要討論批量分割在虛擬單元調度中的必要性，通過構建不允許批量分割和允許批量分割的兩個混合多目標整數規劃模型，用遺傳算法求解，結果表明在虛擬單元調度中實行批量分割的策略能夠提高生產效率，而討論批量分割的思路也更符合實際生產實際。

圖4 考慮批量分割的虛擬單元調度

圖5 不考慮批量分割的虛擬單元調度

6 結束語

本文意在強調虛擬單元調度中批量分割的重要性。虛擬單元生產方式能夠幫助企業實現設備的靈活配置，加大的降低生產成本和零件的加工時間，但如果一項作業具有多個相似操作，即可將其分成多個批量予以加工以降低設備的重置成本，因此，在虛擬單元調度中考慮批量分割的理念顯得尤為重要。本文分別構建了考慮批量分割與不考慮批量分割的多目標整數規劃模型，并介紹了考慮批量分割的遺傳算法，文章最后通過算例驗證了所提方法的有效性，并在虛擬單元調度中實行批量分割的理念提供了一定的理論依據。

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