混合AKNS-CLL方程的N-孤子解

潘紅飛，夏鐵成

（上海大學理學院，上海 200444）

混合AKNS-CLL方程的N-孤子解

潘紅飛，夏鐵成

（上海大學理學院，上海 200444）

由Hirota方法推導出混合AKNS-CLL方程的雙線性導數方程和N-孤子解，并比較混合AKNS-CLL方程、AKNS方程和CLL方程的單孤子解|q|和|r|的圖像，可以發現混合AKNS-CLL方程的特征形狀不同于經典AKNS和CLL方程解.最后，通過約化，得到混合非線性Schr¨odinger方程的N-孤子解.

混合AKNS-CLL方程；混合非線性Schr¨odinger方程；N-孤子解；Hirota方法

非線性Schr¨odinger方程是非線性波理論研究所關注的一個問題.這一類方程的物理背景來源于非線性光學、非線性水波和等離子物理學等［1-4］.許多Schr¨odinger方程的精確解可以通過Hirota雙線性法、反散射變換法、Jacobi橢圓法、tanh函數法等方法獲得［5-8］，Schr¨odinger方程的多分量和超可積情形也是當前研究的熱點［9-11］.

本工作考慮如下混合AKNS-CLL方程：

式中，q=q（x，t），r=r（x，t）是關于x和t的復函數，a，b∈C.當a=1，b=0和a=0，b=1時，方程（1）分別對應于二階等譜AKNS方程［12-13］和帶導數的非線性Schr¨odinger方程［14-15］.當r=q?時，令t為-it，x為ix，則方程（1）約化為混合非線性Schr¨odinger方程（combined nonlinear Schr¨odinger equation，CNSE），即

1　雙線性形式和N-孤子解

令

并利用恒等式

則方程（1）轉化為雙線性導數方程：

式中，D是Hirota雙線性算子，定義為

為求出混合AKNS-CLL方程（1）的N-孤子解，將f，g，s，h按參數ε展成級數，則有

將式（6）代入方程（5），并比較ε的同次冪系數，可得

由式（7）和（8）可知，g（1）和h（1）有如下線性指數函數形式的解：

由式（3），可推得當ε=1時方程（1）的單孤子解為

特別地，當（a，b）=（1，0）時，式（12）為二階等譜AKNS方程的單孤子解［13］；當（a，b）=（0，1）時，式（15）為帶導數的非線性Schr¨odinger方程的單孤子解［16］.作為對比，本工作給出由式（12）決定的|q|和|r|在4種情形時的圖像（見圖1）.通過選擇不同的參數k1，l1，可以發現混合AKNS-CLL方程有類似于尖孤子解（peakon soliton）的性態（見圖1（d）），這種現象是單一AKNS方程或CLL方程所不具有的一類特性.AKNS-CLL方程與AKNS方程、CLL方程存在本質的區別.

圖1　方程（1）的單孤子解Fig.1 One soliton solutions of Eq.（1）

將式（13）代入式（9）和（10），可得

將式（13）和（14）代入式（7）和（8）的第二式，有

將式（13）～（15）代入式（9）和（10）的第二式，又可得到

根據式（7）～（10），可取

所以，有

因此，令ε=1，即可求得方程（1）的雙孤子解（見式（3））.特別地，當（a，b）=（1，0）時，可引出二階等譜AKNS方程的雙孤子解［13］；當（a，b）=（0，1）時，可求得帶導數非線性Schr¨odinger方程的雙孤子解［16］.

一般地，方程（1）的關于f，g，h和s的N-孤子解（N=1，2，···）為

式中，

A1（μ），A2（μ）表示當μj（j=1，2，···，2N）取所有可能的0或1時，還需分別滿足

2　約化

作為應用，考慮混合非線性Schr¨odinger方程（式（2）），并通過方程（1）的約化給出雙線性導數方程和N-孤子解.取s=f?，h=g?，并令t為-it，x為ix，則方程（4）約化為式（2）的雙線性導數方程，即

式中，

致謝感謝上海大學數學系陳登遠教授的有益指導.

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N-soliton solutions of combined AKNS-CLL equation

PAN Hong-fei，XIA Tie-cheng
（College of Sciences，Shanghai University，Shanghai 200444，China）

The bilinear form and N-soliton solutions are derived for a combined AKNSCLL equation using the Hirota approach.These solutions are novel in general.The one-soliton solutions of the combined AKNS-CLL equation，AKNS equation and CLL equation were drawn.Also，the combined AKNS-CLL equation is given a different characteristic from the classical AKNS and CLL equations.The bilinear form and N-soliton solutions of combined nonlinear Schr¨odinger equation are obtained by reduction.

combined AKNS-CLL equation；combined nonlinear Schr¨odinger equation；N-soliton solutions；Hirota approach

O 175.2

A

1007-2861（2015）06-0709-08

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.04.002

2014-06-23

國家自然科學基金資助項目（11271008）

夏鐵成（1960—），男，教授，博士生導師，研究方向為孤子與可積系統.E-mail：xiatc@shu.edu.cn