基于零階算法的軌道吊結構優化設計

項　青，尹征南，秦　昊

（1.上海大學上海市應用數學和力學研究所，上海 200072；2.上海市特種設備監督檢驗技術研究院，上海 200333）

基于零階算法的軌道吊結構優化設計

項青1，尹征南1，秦昊2

（1.上海大學上海市應用數學和力學研究所，上海 200072；2.上海市特種設備監督檢驗技術研究院，上海 200333）

工程機械軌道吊結構的超差使用，使得材料利用率較低，造成經濟成本的浪費.從軌道吊倉主梁結構的力學分析出發，將主梁重量的優化問題轉化成力學約束條件下結構設計參數最優值的求解問題.將主梁翼緣板、腹板的幾何尺寸作為輸入參數，以結構強度、剛度、穩定性作為響應參數，建立了基于零階算法的數學優化模型，通過有限元數值計算求得主梁的優化設計結果.計算結果表明，采用新的設計方法可以減輕主梁的重量，提高材料的使用效率.

零階算法；軌道吊結構；優化設計

工程機械中的軌道吊是起重運輸設備之一，主要用于鋼鐵、冶金、建材等行業的大型加工企業.軌道吊對于企業的安全生產具有非常重要的作用.在傳統工業設計中，軌道吊結構常采用較大的安全系數，這就使得設備制造材料的利用率較低，造成不必要的材料浪費.箱形主梁是軌道吊的主要結構之一，占軌道吊結構質量的60%以上.因此，對軌道吊的主梁結構進行優化設計，可以在保證設備運行安全可靠的同時減輕箱形主梁的質量，從而減輕軌道吊結構的質量，提高經濟效率.由于工況復雜、結構本身的幾何特征以及變形的非線性特性，通常采用強度和剛度的被動校核進行安全驗證［1-2］.結構優化設計是通過力學分析將結構的被動安全校核轉變為主動設計結構方案和初選構件的截面尺寸，并從各種可能的設計中尋求較完善或較適宜的方案，以期對工程實際應用提供理論指導［3-4］.

本工作通過分析軌道吊結構中箱形主梁的結構和受力特點，在考慮主梁外載荷自重、慣性力及風載荷的基礎上，建立主梁結構優化設計數學模型，并通過零階算法，將結構剛度、強度和穩定性約束下的主梁自重極值問題轉化成無條件約束下的極值問題，進而得到主梁幾何參數的優化設計結果.所得結果表明本設計方法可以為充分利用結構部件的承載能力、控制結構重量提供參考.

1　軌道吊主梁結構

主梁作為軌道吊的主要承載構件，在工作過程中直接承受工作載荷，因此要求具有較高的強度、較好的穩定性以及盡可能小的自重.箱形雙梁橋架是目前使用較廣泛的主梁結構形式，具有制造簡單、生產工效高、通用性強等優點，但也存在結構自重大、主梁容易下撓、橋架的水平剛度較差等缺點［5-6］.因此，本工作擬對箱形雙梁橋架形式的主梁進行優化設計，在減輕結構自重的同時，滿足使用要求.

主梁的外載荷主要包括自重、慣性力和風載荷［7］.

自重載荷為結構本身重量，即

式中，m為構件質量，g為重力加速度.

慣性力通過采用附加運動的機械加速度來計算，即

式中，a為構件運動加速度.

風載荷p1依據起重機設計手冊提供的數據［8］來計算，即

式中，vs為風速，C為風力系數，A為構件正面迎風面積，?為構件與風向的夾角.因為本工作假定風載荷是沿起重機最不利的水平方向作用的靜力載荷，所以計算時取空曠地區高度10 m處的陣風風速（15.5 m/s）.

2　軌道吊主梁結構的優化設計

2.1優化流程

現代優化設計方法是以最優化理論為基礎，以計算機為手段，根據所追求的性能目標，建立目標函數，并在滿足給定的各種約束條件下，尋求最優的設計方案.目前，常用的數值優化流程［9］如圖1所示.

由圖1可以看出，軌道吊結構的優化設計首先是確定優化設計參數，建立設計模型；然后將模型簡化為有限元模型，并以結構強度、剛度和穩定性為設計約束條件，得到需要的優化結果.

圖1　數值優化流程框圖Fig.1 Flow chart of numerical optimization

2.2力學模型

本工作針對軌道吊主梁結構，以主梁結構整體強度、剛度及穩定性作為約束函數，并采用主梁翼緣板、腹板幾何尺寸參數（如板長、板寬以及相應厚度等）作為設計變量，通過進行多參量優化分析，以期得到優化的主梁構件幾何尺寸.軌道吊箱形主梁模型如圖2所示，其中模型的設計變量可用一組相互獨立的參數來表示：

式中，H為主梁高度，B為主梁寬度，T1和T2分別為上、下翼緣板的厚度，T3和T4分別為左、右腹板的厚度.

圖2　軌道吊箱形主梁模型Fig.2 Model of the main beam for track hanging structure

因為在主梁跨度K固定的情況下，箱形主梁的自重和截面積成正比.因此，箱形主梁的體積（目標函數）為

根據起重機設計手冊中的要求，主梁強度約束條件為最大應力不超過許用應力，即

式中，［σ］為結構許用應力.

主梁穩定性約束條件為優化后的屈曲特征值要小于原特征值，即

式中，λ0為優化前的屈曲特征值.

將目標函數與約束條件聯立，可得如下方程組：

因此，通過求解式（9），可將相應的工程問題轉換為力學約束條件下的最優解問題.

2.3基于零階算法的優化方法

本工作采用零階算法［10-11］求解上述力學約束條件下的最優解問題.零階算法是在抽樣統計的基礎上，通過擬合設計變量、狀態變量和目標函數的響應函數尋求最優解.

對于式（9）所示的約束極小值問題，設計變量可以取為

目標函數可以取為

式中，εg，εh，εw，εf為小參數.

工程問題一般采用平方擬合方法.式（11）和（12）的擬合公式為

根據式（11）～（13），約束極小值問題可寫為如下形式：

利用求約束條件下極值問題的拉格朗日公式［12-13］，可將式（14）改寫為

式中，xi為設計變量，f0為目標函數的參考值，pk為響應面參數，X為施加設計變量約束的罰函數，G，H，W為狀態變量約束的罰函數.罰函數的形式如下：

式中，i=1，2，···，n，c1，c2，c3，c4為系數，ε為小參數.

通過式（14）～（16），可將約束條件及目標函數轉化為無約束方程，再利用有限元數值計算方法，即可求得無約束極小化目標函數的優化解［14］.

3　結果與討論

通過參數化建模、求解，提取并指定優化變量和響應變量，再利用零階優化方法，進行優化分析，計算求解得到相應的軌道吊主梁結構極值問題的設計變量優化值.相關的計算結果如表1所示.

表1　主梁結構的計算特征量Table 1 Structural characteristic quantity for the main beam

由表1可以看出，主梁在優化前后的等效應力的最大值均出現在支腿約束處，二者僅相差4.96%；主梁在優化前后的最大變形均出現在下翼緣板中間，二者相差5.74%.主梁在優化前后的最大等效應力及位移均滿足設計規范要求.主梁優化后的屈曲特征值變小，表明其整體及局部穩定性比優化前要好，并且高于安全系數.

表2為主梁結構的優化幾何尺寸.可以看出，在滿足強度、剛度和穩定性的約束下，優化構件的幾何參數減輕了結構質量.與優化前的結構進行對比可知，上、下翼緣板厚度、主腹板厚度、主梁高、寬等尺寸均比優化前減小了約8%，而副腹板厚度僅增加了6.6%，最終主梁結構的質量減輕了20.28%.

表2　主梁結構的優化幾何尺寸Table 2 Optimization of the beam geometry

表3給出了構件各參數尺寸與等效應力、位移及屈曲特征值的相關度.相關度表示了結構尺寸對構件強度、剛度和穩定性的影響程度.主梁結構幾何尺寸的相關度如圖3所示.可以看出，主、副腹板厚度對強度影響較大；上、下翼緣板厚度和主、副腹板厚度對剛度影響較大；副腹板厚度、下翼緣板厚度、主腹板厚度對穩定性有較大的影響.在主梁結構強度、剛度和穩定性的綜合要求下，副腹板厚度、主腹板厚度和下翼緣板厚度對主梁重量優化影響較大，而主梁的高和寬對強度、剛度及穩定性的影響較小.

表3　主梁結構幾何尺寸的優化相關度Table 3 Relevance of the geometry optimization for the beam structure　a.u.

圖3　主梁結構幾何尺寸的相關度Fig.3 Geometry relevance of the beam structure

4　結束語

本工作利用零階算法將力學約束條件下的極值問題轉化為無條件約束下的極值問題，并通過優化計算，將軌道吊主梁的相關幾何參數進行了優化，在滿足設計要求的條件下，減輕了主梁約20%的質量.

（1）通過優化計算，在保證結構剛度、強度及穩定性的前提下，主梁結構質量減輕達20.28%，主梁上、下翼緣板厚度，主腹板厚度、主梁高、寬等尺寸比優化前減小了8%左右，副腹板厚僅僅增加了6.6%.

（2）獲得了相關幾何尺寸的優化相關度，并通過相關度分析，得到了構件各尺寸對強度、剛度及穩定性的影響.主、副腹板厚度對強度影響較大；上、下翼緣板厚度、主、副腹板厚度對剛度影響較大；副腹板厚度、下翼緣板厚度、主腹板厚度對穩定性影響較大；主梁的高和寬對強度、剛度及穩定性的影響較小.

（3）通過力學建模、有限元計算和優化設計，可以合理利用結構部件承載能力、控制結構重量.在滿足結構設計合理、安全的前提下，可實現產品精益制造，提高企業經濟效益.

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Optimal design of track hanging structure using a zero-order algorithm

XIANG Qing1，YIN Zheng-nan1，QIN Hao2
（1.Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics，Shanghai University，
Shanghai 200072，China；2.Shanghai City Special-Purpose Equipment Surveillance and Inspection，Shanghai 200333，China）

Use of out of tolerance in hanging rail construction in engineering machinery usually causes inadequate utilization of the material and results in waste.Based on a mechanical analysis of the main beam structure in track hanging，a design optimization problem of weight of the girder structure is transformed to a solution of optimal parameters values under mechanical constraints optimal parameters.Using a girder flange plate and the web geometry value as input parameters，structural strength，stiffness，stability as response parameters，an optimization model is established based on a zero-order algorithm. Optimization results of the main beam are obtained by finite element numerical calculation. The results show that the new design method can reduce weight of the main beam and improve the efficient use of materials.

zero-order algorithm；track hanging structure；optimal design

TH 21

A

1007-2861（2015）06-0742-07

10.3969/j.issn.1007-2861.2015.03.003

2014-04-30

國家自然科學基金資助項目（10972128，11142004）；上海市重點學科建設資助項目（S30106）

尹征南（1975—），男，講師，博士，研究方向為沖擊動力學、材料力學行為.E-mail：znyin@shu.edu.cn