對稱緊小波框架濾波器的構造

常苗

(榆林學院能源工程學院,陜西榆林719000)

對稱緊小波框架濾波器的構造

常苗

(榆林學院能源工程學院,陜西榆林719000)

針對在伸縮因子為5時對稱緊小波框架的構造,在伸縮因子為5時得到了9個框架生成元,對于生成元的構造,需引入過樣條多項式濾波器和中間變量,尺度因子為5時,低通濾波器長度的選取為5L和5L+2。利用完全重構條件,構造低通濾波器,借助于低通濾波器構造的形式,在不同的低通濾波器長度下,分別構造高通濾波器。

緊小波框架;低通濾波器;高通濾波器

緊框架濾波器是正交濾波器的一個普遍化,當伸縮因子是2時可以通過構造得到光滑和對稱的小波框架,但是正交對稱性卻不能得到。近年來,尺度因子為4的6-邊緊框架濾波器和對稱的低通濾波器應用文獻[1-2]中的Grobner基方法構造,而文獻[3]討論的情況更為復雜,它討論了具有任意整數尺度因子的緊框架和正交小波的構造方法。對于任意的雙正交框架的構造在文獻[4-5]中給出。但是該文討論的矩陣構造法并不能由已得到的濾波器構造低通濾波器。為此,文中研究了伸縮因子為5時的對稱緊小波框架的構造。

1 概念與條件

文中介紹關于伸縮因子M=5的緊框架濾波器的定義和性質,N-1個實值小波{ψi(5m·-n)i= 1,2,…,N-1}和任意的函數f(t)∈L2(R)有關系式[6]

時構成了框架,稱A和B為該框架的框架界。內積定義如下:

當A=B時稱之為緊框架,一般地,一個小波系統構成了一個加細函數φ(t)和N-1個伸縮因子為M= 5的小波,一個小波系統是由伴隨加細函數φ(t)的N-1個伸縮因子為M=5的小波,一個小波系統是

由伴隨加細函數φ(t)的N-1個伸縮因子為M=5的小波定義下列函數空間[7-8]:

和

這里t∈R,同時加細函數和小波函數滿足如下的多分辨等式:

一個函數f∈L2(R)可以被展開成如下的小波和加細函數的組合[9]:

這里φ0,k(t)=φ(t-k),ψi,j,k(t)=ψi(5j-k)。文中所討論的濾波器都是有限長度的,(FIR)加細函數φ(·)和小波函數都是有限支撐的。

2 對h0長度的限制

文獻[10]證明了伸縮因子為2的3波段緊框架,滿足PR條件后,低通濾波器h0的長度應具備條件[11]:

這里K0為濾波器H0(z)中z=-1時的值,而Ki為濾波器Hi(z),i=1,2中z=1的值,在文獻[12]中,對稱情況下的最小長度為

在條件(10)中就可以直接得到M=5時h0的最小長度:

緊框架濾波器的一個優點是可以得到更高階的v2的光滑性,在正交情況下,對于給定的K0有比較低階的光滑性,在文獻[13]中已經證明正交小波和緊框架具有移位穩定性。定義v2為

文獻[14]中的計算已給出,當∑nh0(n)=2時,得到

這里λmax是由(c2i-j)-N≤i,j≤N所構成的矩陣的最大特征值,其中c(z)=Q0(z)Q0(z-1),而H0(z)=(1+ z-1)k(1+z-1+z-2+z-3+z-4)K0Q0(z),k∈{0,1}低通濾波器的構造和性質在下面的內容中給出。

3 濾波器的構造

文中討論10個對稱(或反對稱)的濾波器的構造,首先介紹偶數長度的低通濾波器h0的構造。

3.1 低通濾波器的構造

伸縮因子M=5的緊框架濾波器中低通濾波器必須滿足如下條件[15-16]:

這里Kmin=min(K1,K2,,KN-1),第1個條件保證了高階多項式的重構成立并且包含K0-1,第2個和第3個條件保證了每一個高通濾波器在z=1時都有最小的Kmin值,它是小波函數具有消失矩的一個充分條件,濾波器具有偶數長度,并且有如下一般形式:

這里的Q0(z)是長度為2Kmin-1的對稱多項式,且因子(1+z-1)k保證了濾波器是偶數長度的,在文獻[17]中,Herrmann給出了一種構造方法,在此基礎上,文獻[18]中Han給出了復的正交對稱的小波框架的構造方法。文中首先考慮k=1的情況,其中與之相對應的K0∈2N,構造變量x使得濾波器是對稱的:

這里的多項式A(x)與多項式Q0(z)相對應,長度為Kmin,在等式(9)中由z=1,可得到P(x)必須滿足條件[19]:

結合等式(10)和等式(11)得到

那么多項式A(x)就為

因此A(x)的階數為Kmin-1,上面的表達式可以簡寫為

因此,由截斷的泰勒級數,又可以得到A(x)為

換句話說,在只取第一個Kmin項,A(x)為泰勒多項式,從x映射到z,得到相應的多項式Q0(z),注意到,在A(x)的表達式中,引用到的B(x)不需要很清楚地找到,當k=0(K0∈2N+1)時,由A(x)可以得到級數為Kmin-1的泰勒多項式:

這里K0=2K+1,多項式A(x)和Q0(z)的關系為

在知道h0的基礎上,與文獻[20-21]中的方法類似,通過h0計算{h4,h5,h9},在等式(2)中,利用H0(z)的多項式展開式,在h0=5L時,計算對稱的濾波器[22],有

注意到式(15)得到的H0(z)是對稱的濾波器,那么濾波器(h4,h5,h9)如下:

類似地,當h0的長度為5L+2時,H0(z)可以被寫作:

那么剩余的濾波器{h4,h5,h9}與等式(16)～(18)類似,可以通過計算得出,濾波器{h1,h2,h3,h6,h7, h8}利用如上解法得出,將h0=5L及h0=5L+2分別討論。

3.2 h0的長度為5L時高通濾波器(h1,h2,h3,h6, h7,h8)的求解

假定低通濾波器h0的長度為h0=5L,L∈Z,令濾波器h2為

這里的a,b,c是整數多項式,這就決定了h2是對稱的濾波器,進一步假定剩余的濾波器為

接下來需要計算多項式a,b和c,假定式(3)～式(6)的PR條件成立,有

注意到等式(4)中對于?z,等式左邊恒等于0,結合等式(25),(26),(27)得到

用另外的形式寫為

上面式(26)～(28)與式(22)～(25)相結合,得到

由上面的計算可得a,b,c的值,那么相應地得到了高通濾波器,同時保證了它們是對稱(或反對稱)的。

3.3 h0的長度為5L+2時高通濾波器{h1,h2,h3, h6,h7,h8}的求解

在h0=5L+2時,對稱濾波器也可寫作a(z), b(z),c(z)的組合,但是與式(19)的書寫形式有所不同,H2(z)可寫作:

與3.2的計算過程類似,現計算出a(z),b(z), c(z)為

高通濾波器H2(z)由式(34)得出,那么其余濾波器按照3.3部分的計算,相應為

通過具體構造緊小波框架的生成元來構造對稱緊小波框架。

4 結 語

研究了伸縮因子為5時構造對稱緊小波框架。它是將伸縮因子具體化,這樣構造出來的小波框架也就具體化了。在伸縮因子為4時得到對稱的小波生成元的個數為7個,在伸縮因子為5時得到了9個生成元。文中對于生成元的構造、低通濾波器的構造方法需引入過樣條多項式濾波器,利用完全重構條件進行構造,這個構造方法簡單易行,同時也可以得到光滑的小波函數,但是高通濾波器卻不能通過類似的方法構造,引入中間變量,使得對稱性得以滿足,在不同的低通濾波器長度下分別構造高通濾波器。

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(責任編輯:楊 勇)

Construction of the Filte of Symm etry Tight W avelet Fram e

CHANG Miao
(College of Energy Engineering,Yulin University,Yulin 719000,China)

In this paper,we study the construction of the symmetry tight wavelet frame when the scaling factor is 5. When the scaling factor is5,nine framework generators are obtained.For the construction of the generator,we introduce a spline polynomial filter and intermediate variables.When the scale factor is5,the length of low-pass filtermay be 5L and 5L+2.Using the perfect reconstruction condition,a low pass filter is constructed under the low-pass filter structure form.Under the different lengths of the low-pass filter,high-pass filters are constructed,respectively.

tightwavelet frame,low-pass filter,high-pass filter

O 174.2

A

1671-7147(2015)03-0374-05

2014-11-05;

2015-01-06。

常 苗(1985—),女,陜西榆林人,講師,理學碩士。主要從事小波分析及其應用研究。

Email:changmiao00@126.com