恒成立問題的解題對策

查正開

在數學學習和解題中我們經常會碰到在給定條件下某些結論恒成立的問題，我們怎樣來處理解決呢？函數在給定區間上某結論成立問題，其表現形式通常有：（1）在給定區間上某關系恒成立；（2）某函數的定義域為全體實數R；（3）某不等式的解為一切實數；（4）某表達式的值恒大于a等.

恒成立問題，涉及到二次函數、指對數函數、三角函數等函數的圖象與性質，滲透著分類討論、換元化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養思維的深刻性、靈活性和創造性等方面起到了積極的作用，因此已成為全國各地高考的一個熱點.為此，筆者通過幾個例題來探求研究這類恒成立問題的“基本套路”，供讀者參考，

一、恒成立問題的解題策略

1.構造函數

在解決恒成立問題時，一種最重要和最基本的思想方法就是建構一個合適的函數，然后利用相關函數的圖象和性質解決問題，同時注意在一個含多個變量的數學問題中，需要確定合適的主變量，從而揭示函數關系本質，使問題清晰明了、容易人手，一般來說，已知范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數.