成層地層中多階瑞雷面波的頻散特性

李堂磊

【摘要】本文建立具有代表性的三層地層模型，并通過數值計算得出不同地層參數下，瑞雷波各階模態的相速度頻散曲線，來討論多階模態瑞雷波在成層土中頻散曲線的特征。

【關鍵字】瑞雷波、頻散曲線

1概述

利用三層介質中瑞雷波的傳播特性，根據橫波速度的變化與各層在半空間條件下的瑞雷波速度的大小情況來分析研究，利用矩陣傳遞方法[2]可以得到沿介面傳播的所有導波的頻散方程的形式，并采用二分法進行數值求根即得到各階模態的頻散曲線，來分析橫波速度隨深度的增加而遞增或遞減、含軟弱夾層、硬夾層等4種情況的瑞雷面波的頻散特性。模型建立如下表：

2橫波速度隨地層深度增大而增大（減小）的三層地層

2.1 橫波隨地層深度增大而增大

模型1其頻散曲線圖存在多個導波模式，各導波模式曲線隨頻率的增加單調遞減，各導波模式之間是互不相交的。基階模態相速度的零頻極限為只有最底層（即第三層）介質時的瑞雷波速度2743m/s，高頻極限接近只有第一層介質時的瑞雷波速度1910 m/s。各高階模式都存在截止頻率， 截止頻率處的相速度為最底層介質的橫波速度3600 m/s， 頻率趨于無窮大的時候各高階模態頻散曲線的相速度趨近第一層的橫波波速2400 m/s。

當地層厚度變化時，相比在相同頻率范圍內，高階模態的階數減少，各個模態的間距變大，頻散曲線的形態保持不變。同樣當第一厚度變小時，其相速度曲線模態的個數也相應的減小。如圖2、3所示三種不同厚度情況下，模型1的基階和第二模態相速度曲線對比圖。

圖1模型1相速度頻散曲線圖 圖2

圖3 圖4模型2相速度頻散曲線圖

厚度變化后，基階模態相速度極限值和高頻極限值都保持不變，在中低頻范圍內如圖在0～300HZ左右，隨著厚度的減小，相同頻率下相速度增大；三者的第二模態的起始頻率隨厚度減小而增大，但起始相速度不變，都為第三層橫波速，但起始的頻率值變大，高頻極限相速度保持不變。

2.2橫波隨地層深度增大而減小

通過計算發現模型2地層參數下，瑞雷波只存在一個導波模式。從圖4中可以看出此導波的零頻極限是第三層瑞雷波速度1380m/s，隨著頻率的增大，相速度也隨著增大。但頻率增大到約400HZ以后，相速度趨于穩定其值相當于第一層地層中的瑞雷波速度1522 m/s。

3 含有低速軟弱層的三層地層

為了模擬實際地層中的軟弱夾層結構，選取兩個三層的固體介質模型3、4。

模型3參數下取其中部分模式頻散曲線如圖5所示。其基階模式相速度的零頻極限為只有底層（第三層）介質的瑞雷波速 （3116m / s），而高頻極限為低速層（第二層）介質的橫波速度 （1200m / s）。各頻散曲線在一定頻率之間的高階導波模式都會出現一段水平段，并且產生了各模式曲線似乎出現了水平交叉現象，但實際上是互不相交。由此可見在類似該地層的模型中，當頻率增大到一定值時即出現水平段的相速度時，瑞雷波能量主要集中在第一層介質中，這時瑞雷波速度就近似等于第一層介質的瑞雷波速度 。

圖6所示模型4在低頻30HZ附近內出現局部的極小值，而在中低頻80HZ附近出現局部的極大值。模型下各階相速度頻散曲線未出現水平段，這是由于在模型4的情況下，當相速度達到第三層介質的橫波速度 （1800 m/s）之后，就不再有相速度為實數的導波模式，由于在頻散曲線的計算過程中只取實數解，因此不出現類似模型3的水平段。

圖5模型3相速度頻散曲線圖 圖6模型4相速度頻散曲線圖

4 含高速硬夾層的三層地層

對于中間層為高速層的地層，根據第一、三層的參數關系，建立模型5、6。

圖7為模型5的多階相速度頻散曲線圖，曲線的變化規律與橫波速度隨地層增大而增大的三層地層模型相類似。基階的零頻極限是第三層瑞雷波波速2723m/s，高頻極限趨于第一層地層中的瑞雷波速度2269 m/s。各個高模式的起始相速度為3000m/s，高頻極限相速度時2500m/s。

圖7模型5相速度頻散曲線圖 圖8三種厚度情況下模型6相速度頻散曲線圖

圖8為模型6在厚度為h1=8m、h2=4m的頻散曲線圖，如圖中曲線1所示，曲線2、3分別表示厚度變化后的頻散曲線。通過三種厚度條件下相速度的計算得出，在該種模型參數下只存在單個導波模式。頻散曲線在零頻極限處的相速度趨近1910m/s，即第三層瑞雷波速度，高頻極限表層瑞雷波速度2269m/s，相速度曲線在100HZ附近還出現了一個局部極大值。當h2小時，相速度曲線幅值減小如曲線2所示；h1減小時，相速度曲線幅值增大其峰值位置向高頻方向移動，當h1減小到一定程度即相速度的峰值增大到等與第三層橫波速度后，將不在增大而是出現了曲線被截斷的現象即泄漏模式，如曲線3所示。

5結論

通過對三層介質模型中瑞雷波頻散曲線進行了數值計算以及頻散曲線的分析表明，在地層中傳播的瑞雷波隨著地層參數的變化，會出現單個模態和多模態的頻散曲線，并且當層與層之間的參數到達一定的關系時，頻散曲線會出現泄漏模式。影響瑞雷波相速度曲線形態的因素有：各層厚度，橫波、縱波、密度、各層在半空間狀態下的瑞雷波速度等，其中橫波波速的影響最大。

參考文獻：

[1]揚學林等.考慮高階模態時SASW法的反演.浙江大學學報（自然科學版），1996，（2）：.

[2]楊天春等.瑞利波泄漏模式與“之”字形正演模擬.煤炭學報，2005，30（2）.

[3]凡友華等.計算層狀介質中軸對稱柱面瑞利面波頻散函數的δ矩陣法.物探與化探，1991，15 （4）.