淺析最小二乘法在醫藥制造工業成本的應用

張心巖

摘 要：隨著社會需求及技術的不斷進步，藥品生產的規模也隨之不斷加大。掌握藥品生產成本規律，對藥品擴大規模具有積極作用和指導意義。本文從最小二乘法的原理出發，建立生產成本的回歸模型，通過實例對藥品生產的單耗及總成本進行預測及分析。并得出加權最小二乘法因為消除了異方差的影響，其模型擬合度高于普通最小二乘法。

關鍵詞：最小二乘法；生產成本；回歸模型；預測

在當今藥品生產領域上，隨著社會需求及其技術的不斷進步，其生產規模也在逐步加大。能否準確把握藥品生產成本規律，進而對其成本費用進行控制和預測，對實際生產實現效益最大化有著重要的指導意義。

根據長期實踐生產經驗和產量成本數據，我們可以得出，隨著產量的增長，其單位成本費用會按照一定的比例不斷下降，最終趨于平穩，這叫做熟練曲線。影響熟練曲線的因素很多，如：原材料的消耗，能源消耗，人工費用等等。因此，在建立生產成本費用按生產量變化的非線性數學回歸模型：。其中：y為生產量x的成本費用，x為生產量，A，b為模型的回歸參數。

1、最小二乘法基本原理

在我們研究兩個變量（x，y）之間的相互關系時，通常可以得到一系列成對的數據（x1，y1.x2，y2... xm，ym）；將這些數據描繪在x -y直角坐標系中，若發現這些點在一條直線附近，可以令這條直線方程（式1-1）（a0、a1是任意實數）

為建立這直線方程就要確定a0和a1，應用《最小二乘法原理》，將實測值Yi與利用（式1-1）計算值（Yj=a0+a1X）的離差（Yi-Yj）的平方和最小為“優化判據”。

令：（式1-2）

當最小時，可用函數 對a0、a1求偏導數，令這兩個偏導數等于零。

（式1-3）

（式1-4）

得到的兩個關于a0、a1為未知數的兩個方程組，解這兩個方程組得出：

（式1-5）

（式1-6）

這時把a0、a1代入（式1-1）中， 此時的（式1-1）就是回歸的一元線性方程。在回歸過程中，回歸的關聯式不可能全部通過每個回歸數據點（x1，y1. x2，y2...xm，ym），為了判斷關聯式的好壞，可借助相關系數“R”，統計量“F”，剩余標準偏差“S”進行判斷；“R”越趨近于 1 越好；“F”的絕對值越大越好；“S”越趨近于 0 越好。

2、實例分析（應用spss1.8進行回歸分析）

表1 某種藥品生產數據（單位：噸）

產品產量 主要原材料單耗 輔助原材料單耗 能源單耗 單位總成本

1 95.7 28.4 28.1 131.7

2 86.3 22.6 19.3 107.7

3 77.5 18.5 16.5 94.7

4 80.8 20.1 15.8 97.5

5 82.2 20.0 15.7 102.7

6 74.1 20.7 15.9 91.1

7 71.5 19.3 13.9 86.0

8 68.0 20.1 14.7 85.9

9 66.3 17.9 12.5 79.5

10 66.7 17.6 11.1 80.8

從上表可以看出，主要原材料、輔助原材料和能源的單耗都隨著產量的增長而減少，并趨于穩定，它們和產量之間呈現負指數關系。

我們以主要原材料單耗為例，將非線性問題轉化為線性問題。

設自變量x為產品產量，因變量y為相應的主要原材料單耗。，對此函數進行變換，可得回歸公式，lny=lnA+blnx。通過計算可得，lnA= 4.571，b= -0.156，檢驗得F=66.584>F（0.05）（1，8）=5.32，R=0.945>R（0.05）（8）=0.632，線性關系顯著。可得主要原材料單耗回歸公式：。同理，可得其余兩項單耗與產量的回歸公式。（見表2）

在進行總成本預測時，我們采用了普通最小二乘法（OLS）和加權最小二乘法（WLS），這二種方法分別得到回歸模型為：

普通最小二乘法（OLS）

Y=1.012X1+0.887X2+0.758X3-12.653

加權最小二乘法（WLS）

Y=0.863X1+0.574X2+1.328X3-4.604

其中：Y為總成本，X1為主要原材料單耗，X2為輔助原材料單耗，X3為能源單耗

比較二者擬合結果是差異見表3

OLS擬合值 OLS誤差 WLS擬合值 WLS誤差

130.7 -1.0 131.6 -0.1

109.4 1.7 108.5 0.8

94.7 0.0 94.8 0.1

98.9 1.4 97.6 0.1

100.2 -2.5 98.7 -4.0

92.7 1.6 92.3 1.2

87.4 1.4 86.6 0.6

85.1 -0.8 85.1 -0.8

79.8 0.3 79.5 0.0

78.9 -1.9 77.8 -3.0

一般來說，在實際生產過程中，生產所需原材料由于批次、質量、價格不同，還有一些誤差因素的存在，使得藥品總成本存在異方差性，從表3也可以看出，WLS方法誤差有7個控制在±1，而OLS僅為3個。因而使用WLS方法比OLS方法能夠得到更為準確的預測效果。

通過表2的預測值，應用OLS和WLS所得的預測模型，可得產量為11噸時，單位總成本為79.3（OLS）和78.7（WLS）。

這兩種預測方法可以推廣到諸如藥品銷售費用的預測，產品價格定位預測等等，同樣具有非常積極的意義。

參考文獻：

[1]計量經濟學，李子奈、潘文卿著，第3版，高等教育出版社，2014年

[2]經濟預測與決策，吳仁群著，第1版，中國人民大學出版社，2011年