基于響應面模型的廣義空間切削穩定性研究

黃 華,張樹有,劉曉健,何再興

（1.浙江大學流體傳動及控制國家重點實驗室,浙江杭州310027；2.蘭州理工大學機電工程學院,甘肅蘭州730050）

基于響應面模型的廣義空間切削穩定性研究

黃 華1,2,張樹有1,劉曉健1,何再興1

（1.浙江大學流體傳動及控制國家重點實驗室,浙江杭州310027；2.蘭州理工大學機電工程學院,甘肅蘭州730050）

提出以機床立柱和主軸箱不同位置的組合為對象,采用試驗設計結合響應面模型的方法研究機床在整個加工空間內的切削穩定性分布規律的方法.選擇立柱和主軸箱在移動軌跡上的關鍵位置的組合作為計算樣本點,在ANSYS仿真軟件中對樣本點的機床動力學特性進行分析.計算每個樣本點的最小臨界切削深度,建立反映位置特征與最小臨界切削深度數值的二次多項式響應面模型,模擬在整個空間內的穩定性切削極限深度近似值,對該響應面模型的質量進行評價.以一臺臥式高速加工中心為例,說明了機床立柱位置的變化對切削穩定性有較大影響,為結構和工藝的優化設計提供了理論依據.

切削穩定性；最小臨界切削深度；廣義加工空間；響應面模型（RSM）

切削加工的不穩定性降低了機械加工的精度,輕則導致高性能機床不能充分發揮其功能,重則導致安全事故發生［1］,因此機床的切削穩定性分析對于切削加工的現場應用或者機床結構優化設計具有極其重要的意義［2］.長期以來,切削穩定性的分析都是以機床某一固定姿態的動力學特性為基礎進行［3］,對于一般的鋁合金等輕金屬的高速加工來說,切削穩定性主要取決于刀具系統的動力學特性［4］,但對于鑄鐵或者鋼材等材料的粗加工、半精加工,切削穩定性主要決定于機床結構本身的動力學特性［5］.該特性隨著移動部件位置的變化而不同,因此機床加工位姿的變化對動力學特性有較大的影響.

很多學者研究了機床動靜態性能與加工位置變化的關系,如劉海濤等［6］研究廣義空間的動剛度,但是相比較而言用戶更直接關心的是切削穩定性及極限切削深度.Mohit等［7］研究主軸箱在立柱的頂部、中部、底部位置對切削穩定性的影響,但該機床的立柱是固定的,無法分析立柱的不同位置對切削性能的影響.只研究主軸箱在少數幾個極端位置的性能不能全面地反映機床在整個運動空間的特性,但對每個位置都進行有限元分析或者實驗,工作量較大.盡管有子結構分析［8］、仿真模型重用［9］等算法,該項工作的計算量仍然很大而難以實施.本文應用試驗設計方法,先選取幾個典型的立柱和主軸箱的位置組合,然后采用源于統計學的響應面技術（response surface method,RSM）構造在整個運動空間中的最小臨界切削深度,最后作出立柱位置、主軸箱位置、穩定性極限切深三者的關系曲線.研究移動部件的位置組合導致的各種加工姿態對切削穩定性的影響,以作為選擇切削工藝參數或者機床結構設計改進的依據.

1 廣義加工空間切削穩定性建模

在圖1所示的切削穩定性葉瓣圖中,ap為軸向切削深度,n為主軸轉速,水平線表示最小臨界切削深度,水平線以下是無條件穩定區,葉瓣內的區域是不穩定切削區,直線和兩相鄰葉瓣包圍的區域是有條件穩定切削區.在以最小臨界切削深度以下的深度進行加工時,選擇任意轉速都不會發生顫振.在一般較硬材料的粗加工、半精加工過程中,選擇的轉速較低,在圖1中對應的“有條件穩定切削區”比較狹窄,所以一般選擇在最小臨界切削深度以下進行加工.該深度隨著立柱、主軸箱等位置的組合而不同.

圖1 切削穩定性葉瓣圖Fig.1 Cutting stability lobes diagraph

1.1 廣義加工空間切削穩定性定義

由切削穩定性分析理論［1］可知,銑削系統的動態切削力可以表示為

式中：ap為軸向切削深度,Kt為切向切削力系數, A（t）為隨時間變化的動態銑削力方向矩陣,Δt為動態切屑的厚度；A（t）為銑削方向力系數,對于特定的工件和刀具材料,它只與刀齒的切入、切出角及切削力系數有關.在頻域中求解式（1）的特征方程,并令機床刀尖點的傳遞函數為

式中：X、F分別為刀尖點的動態位移和切削力.根據文獻［3］可知,銑削系統的最小臨界切削深度aplim與機床的動力學參數之間存在如下關系：

式中：Re和Im分別為刀尖點傳遞函數的實部和虛部,Kt為切向切削力系數,Kr為徑向切削力系數與切向切削力系數的比值,N為刀具齒數,k為穩定性圖中的葉瓣數.在多模態系統中存在：

式中：Re（ω）r為系統第r階模態的頻響函數實部,根據振動力學可知,

式（4）表明,最小臨界切削深度與切削參數、刀具參數和機床的結構參數相關.為了研究結構參數對最小臨界切削深度的影響,將切削參數和刀具參數視為常數,則最小臨界切削深度僅與剛度kr、固有頻率ωnr有關.

令

其中C＝－1／（NKrKt）.因為剛度kr和ωnr是機床的空間位置的函數,令立柱在水平位置的坐標為x,主軸箱在立柱上的位置坐標為y,則

即

根據式（5）,求出機床在各個不同位置的剛度和頻率函數,即可求出在該位置的穩定性切削極限深度.式（5）表達了機床最小臨界切削深度在廣義加工空間中的變化規律,涵蓋了動剛度與固有頻率這一動態特性指標,稱為廣義空間最小臨界切削深度函數.

1.2 切削穩定性分析流程

研究立柱和主軸箱綜合影響的機床切削穩定性流程,如圖2所示.首先根據機床的使用條件,選擇某一關鍵工序,確定工藝參數、切削力系數等參數,以便后續計算穩定性切削極限深度時調用.將CAD模型經適當簡化以后導入Ansys中,根據樣機的模態實驗對相關的結合面參數進行校正,得到精細的有限元模型.根據試驗設計理論建立設計樣本點,即確定立柱和主軸箱等移動部件在不同位置的組合.為了減少計算工作量,選取幾個特殊位置作為樣本,采用有限元子結構法計算模態特性.在獲得模態參數以后,代入極限穩定性切深公式計算切深.根據多組位置參數和切深參數的組合建立響應面模型,從而獲得在整個加工空間內機床的最小臨界切削深度,并進一步可以判斷該切削深度是否滿足生產率的要求.如果不能滿足,則需要通過修改工藝參數或者調整機床結構來實現目標.

2 結構模態實驗分析及模型校正

建立精確的有限元模型是獲得可靠樣本點的前提條件,樣本點決定了響應面的質量.對作為研究對象的加工中心進行模態實驗分析,以作為有限元模型校正的依據.以相同振型的頻率誤差最小作為目標函數,調整結合面的相關參數,從而得到準確的有限元模型.

圖2 基于響應面的機床切削穩定性分析流程Fig.2 Flow chart of cutting stability analysis based on RSM

2.1 導軌-滑塊結合部處理

本文分析的臥式加工中心結構簡圖如圖3所示,主要由床身、立柱、底座、主軸箱、工作臺、滑臺等零部件組成.床身和底座通過螺栓組固定聯接,主軸箱與立柱、立柱與底座、滑臺與床身通過導軌滑動連接.

該加工中心存在三對導軌-滑塊結合面,相比較而言,立柱與床身之間的導軌-滑塊結合面對動力學性能的影響較大,需要對該結合面的參數進行分析.在Ansys有限元建模中,根據力學原理用彈簧-阻尼單元combine14模擬結合面,為了獲得彈簧-阻尼單元的剛度、阻尼系數,本文根據赫茲接觸理論計算彈簧系統的剛度,根據剛度查表獲得阻尼系數［10］,以此為初值在一定范圍內進行調整,根據實驗結果校正有限元模型.

圖3 臥式加工中心CAD模型Fig.3 CAD model of horizontal MC

導軌-滑塊內力的分布如圖4所示.當垂向力Fy作用在滑塊上時,單個滾珠的彈性力分別為F1、F2、F3和F4,其中F1＝F2,F3＝F4.

根據圖4中的靜力平衡條件和文獻［11］可知,有如下關系：

式中：m為—單列滾道的接觸滾珠數,F0為由預載荷引起的單個滾珠的法向力,Fz為導軌-滑塊預載荷,γ為滾珠與滾道面之間的接觸角.當已知m、γ、Fy和F0時,可由式（6）、（7）求得F1和F3.根據赫茲接觸理論可知,兩彈性體由于彈性變形引起的相對位移量［12］為

圖4 直線滾動導軌的受力分析Fig.4 force analysis of linear rolling guide

式中：p為作用于兩彈性體接觸點的法向壓力,E1、E2為兩接觸體材料的彈性模量,μ1、μ2為兩接觸體材料的泊松比,Σρ為兩接觸體接觸點處4個主曲率之和.

對于直線滾動導軌而言,滾珠與滾道面接觸處的4個主曲率分別取為

式中：db為單個滾珠直徑,f為密合度（滾道曲率半徑與滾珠直徑之比）,從而可以求得∑ρ＝ρ11＋ρ12＋ρ21＋ρ22.

由式（6）、（7）計算得到導軌滾道內單個滾珠所受的法向力,代入式（8）可得滾珠的變形.單個滾珠受力與變形的關系如圖5所示.

由滾珠法向彈性接觸變形產生的法向彈性位移量為

由式（6）、（7）和（10）可以分別得到單個滾珠的法向力以及法向變形,再根據圖4所示的滾珠在導軌內的受力幾何關系,由剛度計算公式可得

式中：Klat、Knor分別為側向和法向剛度.由此求得單個滾珠產生的彈簧剛度,再根據每個導軌-滑塊副內滾珠的個數得到整個導軌-滑塊副在x和y方向的彈簧剛度kx、ky,在得到剛度的基礎上通過查表獲得阻尼系數.

圖5 單個滾珠的受力變形圖Fig.5 Deformation of single ball

在仿真分析中,對機床底部地腳螺栓的所有自由度施加固定約束,整體采用Solid四面體單元,結合面處的網格進行局部細化以提高模型精確度.對螺栓結合面采用固定接觸,導軌-滑塊的結合面參數由分析確定,有限元模型和相關的計算參數如圖6和表1所示.立柱加主軸箱的質量為2 465 kg,滑塊的長×寬×高為65.9 mm×59 mm×22 mm,導軌的寬×高為20 mm×15.5 mm,滾珠直徑d0為7.938 mm,每列接觸滾珠數為12,接觸角α為45°,標準預載荷PP為4.65 k N.

圖6 加工中心有限元模型(主軸箱在頂部)Fig.6 Finite element model of MC

表1 機床主要零部件的材料屬性和導軌參數Tab.1 Material properties and guide parameters of machine tool main parts

通過理論計算得到ky＝2.2×105N／m3,kz＝5.5×105N／m3,阻尼值分別為cy＝5×105N·s／m3,cz＝4.2×105N·s／m3.該參數作為有限元的彈簧-阻尼單元初值輸入.

2.2 結構模態實驗分析

某機床企業有一臺高速臥式加工中心,采用動柱式結構,該機床的X／Y／Z行程分別為1 500／1 000／650 mm,最高主軸轉速為12 000 r／min.對機床進行模態分析和動剛度實驗以獲得系統動力學特性.如圖7所示為機床模型及模態實驗的實物照片,表2描述了實驗得到的模態頻率和振型.

從表2可以看出,機床的前6階模態中大部分都有立柱參與；低階模態的動柔度較高,因此立柱是本機床的薄弱環節,立柱對機床的動力學性能有較大影響.在后續的切削穩定性分析中,不能忽略立柱位置變化對整機性能的影響.

2.3 有限元模型修正

相比較而言,固有頻率受結合部的剛度影響更大.為了使有限元模型更逼近實際結構的性能,本文通過調整彈簧剛度k來修正有限元模型.由于預載荷大小難于精確控制或者各個滾珠受力不均勻等原因,彈簧剛度可以視作在一定范圍內的變量進行調整.比較仿真結果和實驗結果的前6階模態可知,除第5階振型外,其余5階振型均相同,因為振型相同的模態才有可比性,以相同振型的前5階計算頻率與實測頻率之差的平方和最小為目標函數,以彈簧剛度為設計變量進行優化計算,數學模型如下.

圖7 模態實驗照片和各測點編號示意圖Fig.7 Photos of modal test and measuring point number

表2 機床模態實驗結果Tab.2 Results of machine tool modal experiment

式中：Wi為權重系數,fsi、fei分別為第i階模態的仿真頻率和實驗頻率.因為低階頻率的影響較大,分別為前5階頻率賦予權重0.3、0.25、0.18、0.14、0.1,0.03,ky、kz分別為y和z方向的剛度系數.本文采用動力學模型修正的方法,主要步驟如下.

1）建立機床的動力學模型,確定邊界條件和結合面初值,進行模態分析.

2）結果文件提?。ü逃蓄l率）.

3）依次改變彈簧阻尼單元各方向的剛度.

4）重新進行求解計算.

5）應用式（11）進行計算.

6）重復步驟2）～5）,直至式（11）的計算結果滿足閾值.

設閾值為0.001,經多次迭代,當ky＝3.5×105N／m3、kz＝4.6×105N／m3時,各階模態的仿真頻率和對應的實驗頻率誤差控制在3%以下,如表3所示.此時查表獲得阻尼系數分別為cy＝1.2×105N·s／m3,cz＝6.1×105N·s／m3.

從參數優化前、后的結果來看,理論分析給出的結合面參數與模態實驗最終優化得到的參數存在差別,主要原因如下.1）誤差控制在3%以下,若降低誤差要求,則兩者差別會減小.2）相比較而言,y方向的剛度和阻尼值差別較大,z方向差別較小,是因為第2階模態“立柱整體左右擺動”實驗和仿真頻率值差別較大,而該階模態主要決定于y方向的剛度和阻尼系數.為了降低實驗和仿真的差值,將y方向的系數作了較大調整.最后,理論計算和實驗優化后的值基本都在同一個數量級上,在工程上是可以接受的.

表3 機床整機模態仿真和實驗結果比較Tab.3 Comparison of machine tool simulation and experimental results

3 基于試驗設計的切削穩定性響應面構建

以修正后的有限元模型為基礎進行計算,在主軸箱和立柱各自的行程中取3個特殊位置：主軸箱位于立柱的頂部、中部、底部；因為該加工中心的結構左、右對稱,立柱位于左部和右部的對應位置時結構性能大體一致,因此取立柱在右邊的位置進行分析.令立柱分別位于原點（整個行程的中心位置）、中部（原點與右端部的中間位置）、右端部.立柱和主軸箱的位置組合一共有3×3＝9種組合,以此為樣本點進行試驗設計.

3.1 切削穩定性響應面的構造

響應面法是一種采用試驗設計理論對指定的設計點集合進行試驗,得到目標函數和約束函數的響應面模型,來預測非試驗點的響應值的方法.一般響應面模型采用二階模型,對于n個變量的情況,二次多項式響應面模型為

式中：T＝（t1,t2,…,tn）,ti（i＝1,2,…,n）為設計變量,k0、ki、kii、kij為未知系數,系數個數L＝（n＋1）（n＋2）／2.

設由試驗設計確定的樣本點組成的設計變量矩陣為T,系數組成的矩陣為K,通過有限元分析和式（4）計算得到結果向量F.令式（4）計算的結果和響應面的逼近值之間的誤差組成的向量為ε,則有

根據式（12）取極值的必要條件可以進一步求得

將T和F代入式（13）,即可求得系數矩陣K.

響應面模型對樣本數據擬合度可用均方根誤差相對值（RMSE）和決定系數R2兩個標準檢驗,表達式分別為

3.2 切削穩定性的正交實驗

本文的實驗設計比較簡單,共2因子3水平,因此采用全因子實驗,即L9（23）共9組實驗數據.以立柱在水平位置的中心點為原點,以立柱位置與原點的距離和水平行程的比值為變量,定義立柱的位置變量的集合如下：

X＝（立柱位置與原點距離／行程）＝｛原點,中部,端部｝＝｛0,0.5,1｝.

同理定義主軸箱在立柱上的中點位置為原點,位置變量的集合為

Y＝（主軸箱位置與原點距離／行程）＝｛底部,中部,頂部｝＝｛0,0.5,1｝.

9組實驗的集合為

如（X,Y）＝（0.5,1）表示立柱在水平位置的中點,主軸箱在頂部.

采用子結構有限元計算方法［8］,將立柱和主軸箱分別設為子結構,根據計算獲得立柱位于原點,主軸箱位于頂部和底部時,機床的動力學性能如表4所示.同理,獲得立柱分別在左端部和右端中部、主軸箱在不同位置時機床的動力學性能,如表5、6所示.

表4 立柱位于原點,主軸箱在不同位置時機床的動力學性能Tab.4 Dynamics of column in origin positions and spindle box in different position

表5 立柱位于左端部,主軸箱在不同位置時機床的動力學性能Tab.5 Dynamics of column in left end point and spindle box in different position

表6 立柱位于右端中部,主軸箱在不同位置時機床的動力學性能Tab.6 Dynamics of column in right center point and spindle box in different position

由表4～6可以看出,主軸箱在立柱上的位置對機床的動力學性能的影響較大.當立柱位置固定時,主軸箱在頂部、中部、底部位置的固有頻率依次提高,動剛度依次增大,但變化的幅度逐步減?。划斨鬏S箱位置固定時,立柱的不同位置對整機的動力學性能整體來說較小,相對來說立柱越靠近端部,對整體的性能影響越大；模態的階次越高,受到的影響越大；立柱、主軸箱的位置變化對動剛度的影響比對固有頻率的影響大.設本文所使用的刀具參數和切削力系數如下：切削方式為順銑、干切削,刀具直徑D為20 mm,齒數N＝3,螺旋角β＝45°,每齒進給量Fz＝0.1 mm,徑向切深ae＝8 mm,銑削力系數Kt＝540 N／mm2,Kr＝0.33.

將切削參數代入公式C＝－1／（NKrKt）,可得C＝－1.87×10－3（m2／N）.

一般來說,機床的最小臨界切削深度主要取決于剛度最小的某階模態［2］,在本文中即第5階模態,對應振型是立柱和工作臺的反相位振動.根據該階模態的參數計算最小臨界切削深度,將各項參數代入式（4）,獲得各個不同位置的計算結果如表7所示.

表7 機床在不同位置時的最小臨界切削深度Tab.7 Minimum critical cutting depth in different position mm

3.3 切深穩定性響應面模型質量的檢驗

根據表7的數據,整理為變量矩陣T和結果矩陣F,即

代入式（13）,可得系數矩陣：

K＝

［0.118 2,－0.318 5,－0.771 0,0.009,－0.216 6］,常數項為1.39.

響應面方程為

根據響應面的質量檢驗公式,分別代入式（14）計算可得

響應面的誤差及其與原模型的相似度是滿足要求的.根據該模型,求得穩定切削極限深度與立柱和主軸箱位置的關系,如圖8、9所示.圖中,s為立柱的位置與行程之比.

從圖8、9可以看出：立柱的不同位置對于機床的最小臨界切削深度有影響,而且主軸箱的位置越高或者立柱的位置越靠近端部時影響越明顯,前者的影響比后者大；當主軸箱位于底部和中部時,立柱位置的影響不明顯；當主軸箱位于頂部并且立柱位于端部時,機床的最小臨界切削深度比其他位置有大幅度降低.僅考慮主軸箱在不同位置時的切削穩定性是不完整的,忽略立柱位置影響獲得的最小臨界切削深度是有誤差的.根據該切削深度來選擇切削參數極有可能導致切削不穩定的產生,必須全面考慮主軸箱和立柱在不同位置組合情況下的切削穩定性以獲得最佳切削參數.

圖8 最小臨界切削深度與立柱和主軸箱位置的關系Fig.8 Relation between minimum critical cutting depth and column and spindle box position

4 結 論

（1）本文提出廣義空間切削穩定性的概念,利用響應面模型模擬出機床的穩定性最小臨界切削深度在廣義加工空間中的變化規律,涵蓋了立柱的位置和主軸箱的位置在加工空間的隨機組合,克服了傳統的忽略機床加工位姿對動力學特性影響的不足.

（2）以模擬導軌-滑塊結合部的彈簧阻尼單元剛度系數為對象,通過比較模態實驗結果和有限元模型仿真結果,以相同振型的頻率誤差最小作為目標函數,調整結合面的相關參數,從而得到準確的有限元模型,為穩定性的計算提供了保證.

（3）對一臺臥式加工中心進行廣義切削穩定性分析,獲得了機床在整個加工空間內最小臨界切削深度的變化規律.切削穩定性深度函數的三維圖形顯示：在主軸箱位置固定的情況下,立柱越靠近行程的端部,機床的最小臨界穩定性切削深度越低,而且主軸箱的位置越高該變化趨勢越明顯；當主軸箱位于底部和中部時,立柱位置的變化對切深的影響不大；當主軸箱位于頂部并且立柱位于端部時,機床的最小臨界切削深度比其他位置有大幅度降低.

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Research on cutting stability of generalized manufacturing space based on response surface mode

HUANG Hua1,2,ZHANG Shu-you1,LIU Xiao-jian1,HE Zai-xing1
（1.State Key Laboratory of Fluid Power Transmission and Control,Zhejiang University,Hangzhou 310027,China；2.School of Mechanical and Electrical Engineering,Lanzhou University of Science and Technology,Lanzhou 730050,China）

A method of combining the response surface mode（RSM）and experimental design was presented based on the combination of different positions in the moving trajectory of the machine tool spindle box and the column in order to analyze the cutting stability in the whole processing spatial distribution.A combination at key position was selected as samples,and the dynamics property of the samples was calculated via ANSYS.The limit critical cutting depth of each sample was calculated,and the quadratic polynomial RSM reflecting the relation between position and stability of limit critical cutting depth was established.The limit critical cutting depth in the entire space approximation was calculated,and the quality of RSM was further evaluated.The great influence of position changes of moving parts on the stability of cutting was shown with a high speed horizontal machining center（MC）as an example,providing some theoretical support for optimization of machining process and structure design.

cutting stability；limit critical cutting depth；generalized workspace；response surface model（RSM）

張樹有,男,教授,博導.E-mail：zsy＠zju.edu.cn

TG 502；TP 391

A

1008- 973X（2015）07- 1215- 09

10.3785／j.issn.1008-973X.2015.07.003

2014- 10- 16. 浙江大學學報(工學版)網址：www.journals.zju.edu.cn／eng

國家自然科學基金資助項目（51275458）；浙江省博士后科研資助項目（BSH1401013）；國家科技重大專項課資助項目（2015ZX04014021）.

黃華（1978－）,男,博士后,副教授,從事產品數字化設計、復雜裝備設計與仿真分析的研究.ORCID：0000-0002-4945-5888.

E-mail：huanghua＠zju.edu.cn