基于規則多面體鑲嵌剖切法的建筑表皮設計

王 暉,王蓉蓉

（浙江大學建筑學系,浙江杭州310058）

基于規則多面體鑲嵌剖切法的建筑表皮設計

王 暉,王蓉蓉

（浙江大學建筑學系,浙江杭州310058）

由正多面體、正棱柱、阿基米德多面體等規則多面體相互組合形成的空間鑲嵌模式共28種,以這些鑲嵌模式為基礎,運用剖切法可以得到新的平面鑲嵌圖形.以正八面體和立方八面體的組合鑲嵌模式為例,探討該方法在建筑表皮設計中的應用,主要包括相關幾何原理、截面周期性的控制、復雜性與模件化的平衡以及取模件的思路等.研究表明,對規則多面體組合進行剖切能夠獲得系統性和多樣化的圖形模式,利于以少數的模件進行復雜性設計.

建筑表皮；多面體鑲嵌；剖切法；復雜性；模件化

表皮是當代建筑藝術的重要載體,近年來建筑表皮的復雜性和精細化設計得到越來越多的重視［1-2］.當代數字技術為復雜性表皮設計提供了有力的支撐,以幾何原理為基礎運用算法工具,極大提升了當代建筑師控制復雜形態的能力［3］.從發展趨勢來看,既有形態創新性、又有內在邏輯性的復雜性設計更符合當代的審美需求,也更利于施工和建造［4-5］.

從圖形操作的角度來看,常見的獲得復雜性的方式大致有2種.一種是直接采用具有復雜性的特殊模式,例如沃羅諾依（Voronoi）圖形,圖形單元由相鄰點之間連線的垂直平分線構成,點的隨機分布將產生隨機組合圖案；另一種是以簡單模式為基礎進行變形,如疊加、扭轉、加入隨機元素等.在很多情況下,由于建筑師掌握的幾何圖形模式非常有限,無外乎正方形、正六邊形、正三角形等幾種,僅依靠平面圖形推演的方法往往落入俗套,難以獲得推陳出新的效果.

筆者近年來從鑲嵌幾何（Tessellation）的角度出發,對應用于設計領域的圖形模式進行了一些探索［6］.鑲嵌幾何是研究二維平面圖形或者三維空間形體進行無重疊、無縫隙拼接的一種幾何學范疇.從抽象層面來說,建筑設計問題可以看作是填充平面或空間的問題,因此與鑲嵌幾何之間有密切的關聯.許多看似復雜的建筑形態如果從鑲嵌幾何的角度分析,能夠獲得簡潔清晰的解讀.模式圖案（pattern）和鑲嵌在當代建筑中有不少應用實例和理論探索［7］,但目前基于鑲嵌幾何原理的系統化研究尚不多見.本文在既往研究的基礎上,聚焦于建筑表皮的創新設計問題,探討在規則多面體組合鑲嵌的基礎上運用剖切法進行表皮形態設計的一般性方法.

1 規則多面體組合鑲嵌相關原理

本文主要討論規則凸多面體,即各個面都是正多邊形,且各個多面角均相等的凸多面體,包括正多面體（regular polyhedron）和半正多面體（semi-regular polyhedron）.正多面體的幾何特征是所有的面是全等正多邊形,所有的棱長和多面角也相等［8］.正多面體一共有5種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體,其中只有正六面體（立方體）能夠獨立完成鑲嵌.半正多面體的表面由2種及2種以上的正多邊形組成,棱長和各個多面角均相等［9］.半正多面體包括13種阿基米德多面體（Archimedean solids）、無限多種正棱柱（convex prism）及無限多種交錯正棱柱（convex antiprism）.

在這些規則凸多面體中,有13種能夠通過自身或彼此相互組合形成空間鑲嵌（見圖1）,包括3種正多面體、6種阿基米德多面體和4種正棱柱（不包括立方體）.

由這13種規則凸多面體可以組成有限類型的空間鑲嵌.現已知的28種規則凸多面體組合鑲嵌模式（見圖2）是由Grünbaum［10］提出的,是目前所見比較完整的歸納.這28種鑲嵌模式可以分為以下幾類（見圖2）.

1）13種由規則凸多面體組合形成的空間鑲嵌模式（圖2中的1～13）.

2）10種基于平面鑲嵌,僅由正棱柱組成的鑲嵌模式（圖2中的14～23）.

3）5種通過上述模式的變形所得到的鑲嵌模式（圖2中的24～28）.

上述規則多面體組合鑲嵌（以下稱為“組合體”）具有簡單的組合規律,比較容易提取出包含最少數量多面體的基本單元.基本單元通過平移對稱操作（即復制后平移）能夠獲得整個組合體.例如圖2中模式（2）的基本單元為1個立方八面體和1個正八面體,模式（20）的基本單元是3個立方體、2個正三棱柱和1個正六棱柱等.組合體的各個基本單元之間存在一一對應的頂點,平移后這些頂點處所匯集的棱線能夠完全重合.可以將這些頂點稱為性質全等的點,它們有助于把握組合體的周期性.

圖1 13種能夠完成鑲嵌的規則凸多面體Fig.1 Thirteen convex uniform polyhedrons which can complete honeycombs

圖2 28種規則凸多面體鑲嵌模式Fig.2 28 convex uniform honeycombs

2 剖切法研究

將三維的空間鑲嵌用于二維的圖形設計時,需要進行降低維度的操作,其中比較有效的是用剖切法獲得一系列的截面,從中選擇合適的類型.由于上述組合體本身具有簡單的規律性,隨著剖切角度的不同,截面呈現出一定的周期性或者復雜性,這在設計上有獨特的應用價值.

以圖2中第（2）種鑲嵌模式（正八面體＋立方八面體）為例,對剖切的方法進行探討.具體操作可以使用參數化方法,在目前建筑設計中常用的Rhinoceros平臺上用Grasshopper插件進行剖切（見圖3）.對于輸入的組合體,只要在Grasshopper程序中調整剖切位置的控制參數,就能夠迅速生成一系列可供選擇的截面.

圖3 剖切出截面的Grasshopper參數化界面Fig.3 Grasshopper parameterized interface of sectioning

2.1 截面周期性的控制

組合體中頂點的分布是高度有序的,因此從理論上來說,任何足夠大的截面必然經過多面體單元上性質全等的頂點,從而產生周期性重復.根據周期長短,可以將截面分為短周期截面與長周期截面.短周期截面的重復性高,周期性最短的截面是正多邊形組合鑲嵌的基本模式,一般是由平行于多面體某個面的截面得到（見圖4（a））；當截面不平行于多面體的任何一個面,但周期性地經過性質全等的頂點時,得到較長周期的截面（見圖4（b））.長周期截面在一定范圍內重復性低甚至沒有重復性,因此圖形具有相對復雜性.由于可能的截面形態是非常多樣的,在設計中往往希望對截面周期性有一定的預判,避免低效的試錯過程.

根據頂點分布的有序性,可以通過組合體表面上那些性質全等的頂點來確定截面位置和角度,從而控制截面圖形的周期性——筆者將該方法稱為“表面定距法”.具體方法如下：首先選定組合體形體轉折位置的某個表面頂點作為原點,在前視圖中選取與原點性質全等的表面頂點（與原點的連線不經過其他性質全等的頂點）,連線長度為L1；用同樣的方法,選取側視圖上另一表面頂點,連線長度為L2.用這3個點形成的平面去剖切組合體,L1和L2是所得截面圖形在2個方向（未必相互垂直）的周期長度,即L1和L2所形成的平行四邊形構成了截面的一個圖形單元.該單元能夠通過平移對稱操作獲得整個截面（見圖5）.

圖4 截面周期性的比較Fig.4 Comparisons of sections'periodicity

“表面定距法”比較直觀,便于操作,適合目前主流建筑建模軟件的多視圖窗口界面.對于圖2中各種組合體的剖切,都可以通過L1和L2的長度（即頂點距離）的選擇來控制截面在2個方向上的周期性.

圖5 “表面定距法”示意圖Fig.5 Schematic of determining distance on surface

2.2 截面復雜性與模件化

長周期截面更復雜,而短周期截面更規則.在設計應用上,前者具有復雜性美學效果,但構件類型更多,對制作安裝工藝的要求較高；后者的構件類型少,制作簡單,利于模件化生產和安裝,但圖形比較平庸常見.具體的截面選擇需要針對不同的設計目標,在復雜性與模件化之間獲得一定的平衡.

表1列出了模式（2）按照“表面定距法”所獲得的不同周期的截面.隨著周期長度的增加,圖形的視覺效果逐漸從規律變得復雜,可以進行平移對稱的基本單元中所包含的網格類型、節點類型和桿件類型相應增加.

表1 截面視覺效果與構件類型的比較Tab.1 Comparisons of sections'visual effects and component types

3 在建筑表皮形態設計中的應用

運用上述組合體的剖切方法,在參數化設計工具的輔助下可以迅速生成一系列可供選擇的截面圖形.這些圖形與常見的正多邊形組合圖案相比具有一定的新穎性,在建筑表皮的創新設計以及裝飾設計中具有廣泛的應用價值.

3.1 基本應用類型

根據表皮構造方法的不同,可以將應用方式分為2種基本類型.1）基于傳統的“濕作業”,以面為基本單元在基層上的直接拼貼,如鋪地、瓷磚等；2）以現代“干式施工”為基礎的框格加面板的方式,一般是將工廠預制的金屬構件進行現場拼裝.前者主要依賴于新型面磚的開發,構造比較簡單；后者是目前采用較多的施工方式,在設計和形態上有更大的靈活性.

3.2 增加復雜性

在截面圖形模式的基礎上,采用適當的設計手法能夠進一步增加形態復雜性和表現力.以表1中比較規則的圖形Ⅱ為例,通過改變面片的虛實、色彩或材質等屬性,構件類型只增加兩三種,但表現力獲得很大提升.以圖6（a）為原型,圖6（b）為增加2種面片后采用規則分布的效果,圖6（c）為增加3種面片后采用隨機分布的效果.與直接采用復雜圖案相比,這種復雜性效果所用的模件類型少,在統一中有變化,往往受到設計師的青睞.

增加復雜性的設計手法既適用于面磚類型的構造,也適用于框格類型的構造.尤其是后者如果僅作為裝飾或遮陽表皮而不需封閉時,白色部分可以作鏤空處理,在光影效果的作用下,能夠進一步強化建筑立面的層次,在不同時段帶來不同的視覺感受.

圖6 基于相同構形的不同復雜性表現Fig.6 Different complexity based on same grid

3.3 模件選取與形態拓展

模件的選取是建筑表皮設計中非常重要的工作,講究技巧性.合適的模件不僅能夠簡化施工步驟,提高效率,降低造價,而且能夠引導設計思路,拓展出新的形態構成.模件的選取可以從以下3個角度入手進行探索.

一種是著眼于桿件.以圖6為例,桿件的長度共有8種,節點類型有6種.當表現圖形的原本形態或者制作表皮背后的支撐框格（龍骨）時,可以直接以桿件為模件.模件的連接有以下2種常見的方式.1）使用連接件（見圖7（a））,優點是表面平整,對桿件（扁材、圓棒等）的適應性強,尤其多用于框格龍骨.缺點是構件類型和連接點較多,用于表層時外觀效果必須考慮連接件的影響.2）桿件端頭放大后進行栓接或鉚接（見圖7（b））,優點是不需要另加連接件,形態簡潔；缺點是桿件加工相對復雜,同時由于構件厚度的疊加,相鄰構件不在同一個面上.

圖7 著眼于桿件的模件與連接方式Fig.7 Modules focused on rods and joints

第二種是著眼于節點（見圖8）.以桿件為模件時構件類型和連接點較多,以節點（即線的交點）為中心取模件能夠使類型大為簡化.這種情況往往會選擇蝶形模件.圖8中將模件類型減少到3種：2種蝶形構件和1種桿件,共同構成鏤空的表皮,也可以將桿件改為蝶形構件以形成封閉表皮.

第三種是著眼于單元面（見圖9）.把構成網格的基本單元作為一個面片來處理,可以將模件減少為一種.該類面片經常采用鏤空形態來表現網格,一般用于建筑的裝飾性表層或室內隔斷.面片的制作可以采用成熟的數控加工技術（CNC）.本例為了改善原有的網格形態,將鏤空的多邊形部分轉化為封閉的nurbs曲線.該過程可以采用參數化設計方法.在Rhinoceros平臺的Grasshopper插件中,用Explode模塊提取多邊形的頂點,以這些頂點為控制點,用Nurbs模塊生成封閉的nurbs曲線.在Nurbs模塊中,可以調節曲線的degree（度數）,以控制曲線的圓滑程度（見圖10）.經過柔化的圖形呈現出比較有機的形態,是對原有網格的拓展.

圖8 著眼于節點的模件Fig.8 Modules focused on node

圖9 著眼于單元面的模件與有機表現Fig.9 Modules focused on cell surface and organic effect

4 結 論

（1）由3種正多面體、6種阿基米德多面體和4種正棱柱相互組合,形成的空間鑲嵌模式（組合體）共有28種.以此為基礎,運用剖切法可以獲得大量新的截面圖形.由于組合體本身的規律性,這些截面具有周期性和一定的復雜性,可以用于建筑表皮形態的創新設計.

圖10 生成nurbs曲線的Grasshopper參數化界面Fig.10 Grasshopper parameterized interface of nurbs curving

（2）針對組合體運用“表面定距法”選擇截面角度,能夠主動地控制截面形態的周期性.長周期截面的復雜性高、構件類型多,短周期截面與之相反.在實踐上,可以根據需要在周期性與復雜性之間取得平衡.對于短周期截面,可以采用加入隨機要素方法增加復雜性.

（3）基于截面的周期性,可以從桿件、節點和單元面3種角度入手選定模件,用較少類型的模件實現復雜性效果,并且可以通過對模件的處理使形態得到進一步拓展.

（4）剖切法蘊含了用高維度（3維）操作來解決低維度（2維）問題的思想,與一般的平面推演操作相比具有系統化的優點.本文僅以一種組合體為例,在參數化工具的輔助下得到了多種截面形態.考慮到組合體形態有28種,該方法能夠獲得極豐富的平面鑲嵌圖形,在建筑表皮形態設計與裝飾設計等方面具有較高的應用價值.

本文主要研究了單個截面的剖切問題.用多個截面對組合體進行剖切能夠形成具有一定厚度的結構體,在結構形態創新設計方面頗有潛力.這方面有待今后繼續探討.

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Architectural surface design based on sectioning convex uniform honeycombs

WANG Hui,WANG Rong-rong
（Department of Architecture,Zhejiang University,Hangzhou 310058,China）

There are 28 kinds of honeycombs composed of regular polyhedrons,convex prisms and Archimedean solids.Novel planar tessellations can be found by using section-method based on these honeycombs.The honeycomb made up of octahedron and rectified cube was taken as an example and applications of section-method in the architectural surface design were discussed.Main contents included relevant geometry principles,controlling of sections'periodicity,balance of complexity and modulization,method of module selection.Results show that section-method based on convex uniform honeycombs can achieve systematic and diversified planar patterns,and be beneficial to express complexity with a few modules.

architectural surface；convex uniform honeycomb；section-method；complexity；modulization

10.3785／j.issn.1008-973X.2015.07.011

TU 20

A

1008- 973X（2015）07- 1276- 06

2014- 10- 17. 浙江大學學報(工學版)網址：www.journals.zju.edu.cn／eng

國家自然科學基金資助項目（51378452）；浙江省自然科學基金資助項目（LY12E08018）.

王暉（1975－）,男,副教授,從事建筑設計及理論研究.ORCID：0000-0002-7483-7052.E-mail：wang_hui＠zju.edu.cn