考慮復雜應變歷史的鋼材修正雙曲面滯回模型

王 彤,謝 旭,唐站站,沈 赤2

（1.浙江大學建筑工程學院,浙江杭州310058；2.株式會社長大海外事業部,日本茨城305-0812）

考慮復雜應變歷史的鋼材修正雙曲面滯回模型

王 彤1,謝 旭1,唐站站1,沈 赤2

（1.浙江大學建筑工程學院,浙江杭州310058；2.株式會社長大海外事業部,日本茨城305-0812）

針對兼顧精度和計算效率的鋼材彈塑性滯回本構模型——修正雙曲面模型在復雜應變歷史條件下,由于彈-塑性過渡時塑性模量無窮大導致的應力計算結果不合理的缺陷,通過改進應力-應變路徑的判別準則,對既有修正雙曲面模型進行再修正,分別給出單軸應力狀態和三維應力狀態下的改進方法.通過與鋼材單軸拉壓試驗結果的對比以及一系列相關算例的對比分析,證明了采用經改進后的雙曲面滯回模型能夠精確地模擬鋼材在復雜應變歷史條件下的滯回特性,從材料和結構構件2個層面驗證了該改進方法的準確性和適用性.結果表明,對既有修正雙曲面模型的改進能夠有效地提高模型在復雜應變歷史下的應力計算精度.

修正雙曲面滯回模型；鋼材；循環荷載；鋼橋墩

有限元技術的發展為研究鋼結構彈塑性地震反應計算提供了一種有效的方法,但是有限元方法的計算精度取決于采用的材料非線性滯回模型是否合理.目前,循環荷載下鋼材的滯回本構模型一般采用基于von Mises屈服準則的等向強化或隨動強化模型.研究表明,這兩種計算模型的精度不理想.例如,高圣斌等［1-2］采用不同滯回模型計算鋼橋墩的滯回性能,并與試驗結果進行對比,結果表明,等向強化模型一般傾向于過高預測結構的滯回耗能能力,而隨動強化模型相反；Miyoshi等［3-4］分別對鋼拱肋和組合梁柱節點在循環荷載下滯回性能進行有限元分析和試驗研究,也得到了相似的結論.地震災害表明,在強震作用下鋼橋墩等構件發生塑性損傷是不可避免的［5］,因此鋼材滯回模型在塑性域的計算精度對鋼橋結構的地震響應計算的影響十分重要.

為了改進鋼材滯回模型的計算精度,不少學者對Morz［6］提出的多曲面模型進行修正,例如Dafalias等［7-8］提出用屈服面及邊界曲面表示強化系數的雙曲面模型,Shen等［9-11］對Dafalias-Popov雙曲面模型進行以下改進：考慮了彈性域的縮小及邊界面的移動、應力歷史對屈服平臺的影響以及邊界面的大小變化、傾斜等影響,通過修改形狀參數的表達式和引入記憶面、虛擬邊界面實現控制應力-應變曲線走向的目的.Goto等［2］在雙曲面模型的基礎上提出三曲面模型,該模型雖然精度有所提高,但存在計算參數多、計算過程復雜的不足.近年來,國內學者開展了鋼材的滯回模型研究,例如許紅勝等［12-14］在前人理論和試驗研究的基礎上提出各自的鋼材塑性本構模型,為建立高精度的計算模型積累了不少經驗.

在已有的鋼材滯回模型中,修正雙曲面模型是一種兼顧精度和計算量的模型［15-16］.在既有的修正雙曲面模型中,當材料由彈性進入塑性（非屈服平臺）時,計算得到的塑性模量為無窮大.當加載過程中存在卸載-加載小幅循環的復雜應變歷史時,材料塑性模量被高估,將導致不自然的履歷響應.為了消除既有修正雙曲面模型的上述缺陷,本文對Shen等［9-11］提出的修正雙曲面模型進行改進.

1 修正雙曲面模型

為了便于說明本文所作的修正內容,對Shen等［9-11］提出的既有修正雙曲面模型進行簡要的介紹.

1.1 單軸應力狀態的雙曲面滯回模型

如圖1所示為鋼材在單軸應力狀態下的應力-塑性應變滯回曲線.應力由原點O彈性加載至屈服點A后,經過塑性平臺AB后進入塑性強化階段BC.反方向加載段塑性區域Q1D的塑性模量EP由下式得到：

圖1 單軸應力(σ)-塑性應變(εp)滯回曲線Fig.1 Uniaxial cyclic stressσ-plastic strainεp curve

其中,e、f為材料常數.

為了預測應力-應變滯回曲線的走向,修正雙曲面模型引入了虛擬邊界面和記憶面.如圖1所示,曲線DEF段對應的邊界面為ZZ′,而記憶面XmX′m為經過歷史應力最大點C點,并與C點對應的邊界XX′平行的面.記憶面的作用是記錄加載點在加載歷史上偏離邊界面中線OxO′x的最大距離,其中OxO′x為邊界XX′和YY′的中心線,記憶面XmX′m和YmY′m在拉、壓兩側關于OxO′x對稱.

記卸載點D點到記憶面YmY′m的距離為δv；加載曲線DEF對應的虛擬邊界面ZvZ′v由邊界面ZZ′向加載方向平移δv得到.在預測DE段曲線走向時,塑性模量EP按下式計算：

當加載點達到記憶面（即圖1的E點）后,塑性模量EP按式（1）計算,曲線走向為DEF,即曲線不能越過實際的邊界ZZ′.

式中：α、a、b、c、ζ為常數；κ0和κ0分別為彈性域和邊界面初始半徑；為邊界面的極限半徑,即材料極限強度σu；ρ＝0.5.

修正雙曲面模型考慮了應力歷史對屈服平臺的影響,循環荷載下平臺終點的判斷準則為

式中：Wp為塑性功,即應力-塑性應變曲線圍成的面積；和W分別為單調加載時屈服平臺的長度和對應的塑性功；M為常數.另外,修正雙曲面模型認為式（1）中的邊界斜率隨加載歷史的塑性功Wp的增大而逐漸減小：

1.2 三維應力狀態的雙曲面滯回模型

如圖2所示,在三維應力空間中,基于von Mises屈服準則的屈服面和邊界面為垂直于π平面的圓柱面.圖中,αij與βij分別為屈服面和邊界面的中心,κ與分別為屈服面和邊界面的半徑,屈服面和邊界面的方程分別為

式中：Sij為偏量應力張量.與單軸應力狀態下的計算模型相同,κ與均隨等效累積塑性應變曲面的半徑ρ而變化,即按式（4）、（5）計算.

三維應力狀態下塑性模量EP的計算方法與單軸應力狀態相同,但δ及δv須在三維應力空間中定義.首先定義加載點A在邊界面（或記憶面）的共樂點為,如圖2所示,A與共樂點A在各自曲面上的法向量相同,即

圖2 三維應力狀態下虛擬邊界面和記憶面Fig.2 Virtual bounding surface and memory surface under multiaxial stress state

在三維應力空間中,虛擬邊界面和記憶面中心與邊界面相同.記憶面的含義與單軸應力狀態時相同,半徑定義為

若圖2中加載至A點時卸載,A點尚未到達記憶面,A與其共樂點基于歐式范數的距離為δm,則下一段加載路徑對應的虛擬邊界面向外擴張為δv,

通過式（3）得到塑性模量EP后,三維應力狀態下的彈塑性應力-應變增量關系可以表示為

2 考慮復雜應變歷史的模型修正

在動力荷載作用下結構經歷復雜的卸載-加載變化過程.當應變履歷為小幅循環時,在以下兩種情形下由式（3）得到的塑性模量EP顯著偏高.

1）鋼材應力由塑性狀態卸載至彈性域內,再重新加載至屈服,即應力-塑性應變曲線沿圖3的路徑A-B-C-B變化.

2）鋼材應力由塑性狀態卸載后又小幅反向加載至塑性域,再卸載后沿同向再加載至屈服,即應力-塑性應變曲線沿圖4的路徑A-B-C-D-E-B變化.

在上述兩種情形下,當再次加載進入塑性時,采用既有修正雙曲面模型計算得到的EP為無窮大,這與實際情況有明顯的差別.本文對上述兩種情形下的塑性模量EP計算方法提出如下改進措施.

2.1 單軸應力狀態下的修正

2.1.1 第一種情形 圖3的應變變化路徑為第一種情形.鋼材由塑性狀態B點卸載至彈性域內的C點后,當再次加載至屈服時,F點、B點分別為反向加載和同向加載對應的屈服點.在既有修正雙曲面模型中,無論同向或反向加載,B點或F點處塑性模量EP均為無窮大；但實際情況并非如此,同向加載時B點EP無窮大是不合理的,而反向加載時EP無窮大符合實際.首先須對屈服點的應變變化路徑進行判別,以分別確定EP.

圖3 第一種情形的單軸應力-塑性應變關系Fig.3 Uniaxial stress-plastic strain relation of case 1

再次加載的方向可以用B點或F點處屈服面的法向量n判別,

式中：α0為彈性域中心的應力.

當B點卸載進入彈性域時,記屈服面的法向量為nin；當再次加載超出彈性域時,記屈服面的法向量為nout.若nout＝nin,即加載點位于圖3中的B點,此時式（3）的δin和δv應與AB段一致,計算得到的塑性模量EP應與B點卸載前相同；若nout≠nin,即加載點位于圖3中的F點,此時式（3）中的δin和δv應按修正雙曲面模型的規則（見圖1）更新,按式（3）計算得到的EP為無窮大.如圖3所示,修正后的應力-塑性應變曲線的走向由A-B-C-B-E變為A-B-C-B-D,B點處的塑性模量不再為無窮大.

2.1.2 第二種情形 圖4的應變變化路徑為第2種情形.鋼材由塑性狀態B點反向加載至C點進入另一側塑性域,進一步小幅加載至D點后卸載,至E點再次進入塑性.記B點處卸載進入彈性域時的δin和δv為δin,in和δv,in,記CD段塑性應變的變化量為Δεp,應力的變化量為ΔσCD.在E點加載出彈性域時,δin和δv按修正雙曲面模型的規則（見圖1）更新為δin,out和δv,out,塑性模量EP按式（3）計算；直至自E點起應力的變化量ΔσEF的絕對值超過ΔσCD后（圖4的F點）,式（3）的δin和δv按下式計算：

系數r體現CD段進入塑性的程度：

圖4 第二種情形的單軸應力-塑性應變關系Fig.4 Uniaxial stress-plastic strain relation of case 2

式中：σy為初屈服應力,E為彈性模量,ξ為常數.式（17）的分母即應變變化的限值,僅當0≤r≤1時認為應變變化幅度較小,須按式（16）對δin和δv進行修正,本文取ξ的值為2.如圖4所示,通過式（16）在F點的修正,后段應力-塑性應變曲線FG的走向更加合理.與第一種情形類似,加載方向均可以用加載點在屈服面上的法向量判斷.

2.2 三維應力狀態下的修正

在三維應力狀態下,由彈性域加載至屈服時,加載方向可用加載點處屈服面的法向量nij判斷：

式中：Sij和αij分別為應力偏量和彈性域中心.圖5（a）對應如圖3所示的第一種情形,由A點卸載至彈性域內某點,再加載至B點進入塑性.分別記A、B點處屈服面的法向量為nij,in和nij,out,在三維應力空間中,nij,in和nij,out不一定恰好反向,兩者的夾角θ為

與單軸應力狀態下相同,當θ＝0時,δin和δv與A點卸載前一致,即δin,in和δv,in；當θ＝π時,δin和δv在C點更新為δin,out和δv,out；若0≤θ≤π,δin和δv按下式計算：

在復雜加卸載路徑下,δin和δv隨θ的不同而連續變化.

圖5（b）對應如圖4所示的第2種情形,由A點卸載后反向加載至B點進入塑性,再小幅塑性加載至C點卸載,再加載至D點進入塑性,其間彈性域中心不斷移動,半徑逐漸縮小.記BC段塑性應變的變化量為,等效應力的變化量為,其中基于von Mises準則的等效應力為

圖5 三維應力狀態下π平面上的加載路徑Fig.5 Loading paths onπplane under multiaxial stress state

與單軸應力狀態下相似,在D點進入塑性后,先按式（20）的規則計算δin和δv,塑性模量EP按式（3）計算；直至自D點起等效應力的變化量的絕對值超過,將D點處的δin和δv作為δin,out和δv,out代入式（16）進行計算,但系數r按下式計算：

這種神奇的植物名為“山荷葉”，是山荷葉屬植物，屬內只有日本山荷葉、南方山荷葉和北美山荷葉，數量稀少，難得一見。

僅當0≤r≤1時須按式（16）修正δin和δv.通過式（16）和（20）,可以在三維應力狀態下,對修正雙曲面模型進行考慮不同復雜加卸載路徑的改進.

3 計算精度以及適用性驗證

3.1 精度驗證

為了驗證改進的修正雙曲面模型的準確性和適用性,采用文獻［9］中鋼材試件SS41-C、SS41-I和SM50-D的循環加載試驗結果進行對比驗證.所選試件的加載制度均滿足本文模型修正的前提,即應變小幅循環的復雜應變歷史.其中,試件SS41-C以每個荷載循環0.05%～0.2%的應變增量逐步加載,每步加載后均卸載至彈性域邊緣,再繼續同向加載；試件SS41-I與SM50-D的加載歷史類似,共經過3個荷載循環,最后一個荷載循環的塑性應變增量Δεp較小,滿足0≤r≤1的條件.

圖6 試件尺寸Fig.6 Dimension of specimens

表1 試件SS41-C、SS41-I和SM50-D的材料參數Tab.1 Model parameters of specimen SS41-C,SS41-I and SM50-D

基于大型通用有限元軟件ABAQUS提供的用戶子程序接口（user-defined material mechanical behavior,UMAT）Fortran子程序與ABAQUS主程序的數據交流,進而實現改進的修正雙曲面模型在結構分析中的應用.在ABAQUS輸入文件中使用關鍵字“*USER MATERIAL”定義用戶材料屬性.ABAQUS在每個荷載增量步對每個積分點調用UMAT子程序,計算得到材料雅可比矩陣Dep,再進一步形成單元和整體剛度矩陣,用于平衡迭代求解.

如圖7所示為計算對比結果.由圖7（a）可以看出,試件SS41-C在屈服平臺結束后塑性模量EP被既有修正雙曲面模型高估,導致強化階段的應力-應變曲線與試驗結果偏離較大,而改進后的模型計算結果與試驗吻合較好.另外,從圖7（b）、（c）可見,與改進前相比,通過改進后的模型計算得到的試件SS41-I和SM50-D的應力-應變曲線與試驗結果更加接近.

由圖7可以看出,試件SS41-C與SS41-I相比,前者的應力計算結果的改進效果更加明顯,這是由于前者每個荷載循環的塑性應變增量Δεp很小,系數r接近于0,δin和δv經式（16）幾乎完全修正為δin,in和δv,in.試件SS41-I系數r超過了0.5,表明原有模型的計算結果與實際較接近.

圖7 文獻[9]試驗與模型計算結果對比Fig.7 Comparison between model analysis and test results in reference［9］

圖8 單軸循環荷載下的算例Fig.8 Numerical example under uniaxial cyclic loading

如圖8所示為采用3組不同加載方式得到的計算結果,材料參數均采用表1的SM50-D試件.圖8（a）、（b）的2個算例均進行一個荷載循環的加載,在A點小幅卸載至B點后重新加載至循環結束.與圖7的算例不同,由于圖8（a）中A點與邊界的距離較大,EP被高估后將對A點之后的應力-應變曲線走向產生較大影響,當應變為－1.5%時,圖8（a）中改進后模型計算得到的C點應力為353.4 MPa,而改進前C′點應力為437.9 MPa,相對誤差達到23.9%.圖8（b）中A點小幅卸載將對下一階段反向加載的應力-應變曲線走向產生影響,當應變為1.9%時,圖8（b）中改進后模型計算得到的C點應力為240.7 MPa,與既有模型的相對誤差達到10.4%.

如圖8（c）所示為算例3的結果,這是一種較極端的加載方式,即以每個荷載循環塑性應變增量0.05%～0.2%逐步加載,每次加載后均小幅卸載,使應變減小0.02%.由圖8（c）可見,在這種循環加載方式下,改進前、后的模型計算結果差異很大,滯回環形狀完全不同.當應變為－1.8%時,利用圖8（c）中改進后模型計算得到的A點應力為222.6 MPa,而改進前A′點應力為444.9 MPa,相對誤差高達100%.對于整個滯回環,塑性功WP在修正前、后的相對誤差達到10%以上,說明原有的修正雙曲面模型不僅應力計算存在誤差,對鋼材滯回耗能的預測也不夠精確.

3.3 對鋼橋墩循環荷載下滯回性能計算結果的影響

由于目前滿足本文改進所針對的加載方式的三維應力狀態下相關試驗的例子比較缺乏,為了檢驗本文模型改進方法在復雜應力條件下的修正效果,給出獨柱鋼橋墩在單向和雙向小幅加卸載的循環荷載下得到的墩頂水平荷載-位移滯回曲線計算結果.橋墩高3.3 m,截面如圖9（a）所示,為帶加勁肋的方形截面；加勁肋間距為0.4 m,板厚8 mm.計算模型如圖9（b）所示,在墩底使用4節點等參殼單元,其余部分使用彈性梁單元進行模擬.材料參數同表1的試件SM50-D.在鋼橋墩頂部施加常軸力N以及圖中x、y方向正負循環水平荷載Px和Py,其中N取橋墩屈服軸力的0.15倍.水平荷載的加載方式分別為單向或雙向小幅振蕩的循環荷載.如圖10所示為單向循環荷載加載制度,在x方向采用位移控制加載方法.圖中,d為位移,d0為屈服位移,n為循環次數,每次小幅卸載的幅度為0.1d0,位移最終達到5d0.

圖9 鋼橋墩截面尺寸和計算模型Fig.9 Steel bridge pier section dimension and analysis model

改進前、后模型計算得出的墩頂水平荷載-位移滯回曲線比較結果如圖11所示.可以看出,在加載位移持續小幅循環的情形下,改進前的滯回環比改進后飽滿、偏大.在前兩個荷載循環,改進前、后模型計算得到的荷載-位移滯回曲線幾乎一致,隨著循環次數和位移峰值的增加,既有修正雙曲面模型中鋼材塑性模量EP被高估的影響逐漸增大,改進前、后荷載-位移曲線的偏差逐漸增大.這些偏差都是由墩底已進入塑性的單元在小幅循環的荷載作用下累積產生的,墩頂位移越大,墩底進入塑性的單元越多,累積的誤差越大.

圖10 單向循環荷載加載制度Fig.10 Loading schemes of unidirectional cyclic loading

圖11 墩頂荷載-位移滯回曲線Fig.11 Load-displacement hysteretic curve on top of pier

圖12 雙向循環荷載加載制度Fig.12 Loading schemes of bidirectional cyclic loading

如圖12所示為雙向循環荷載加載制度,在x、y雙向采用位移控制加載方法.圖中,dx和dy分別為x、y方向的加載位移,在xy平面上進行2個循環的加載,加載位移在x、y兩方向不斷增大,并伴隨著荷載的小幅振蕩.在這種加載方式下,墩頂雙向荷載的變化軌跡如圖13所示.可以看出,在加載初期模型修正前、后的荷載軌跡一致,但隨著荷載小幅振蕩次數的增加,既有修正雙曲面模型在x、y兩方向的墩頂荷載預測結果均趨于偏大,且誤差不斷增大.這說明改進的修正雙曲面模型對鋼橋墩在雙軸彎曲作用下的滯回性能預測精度有一定程度的改善.

圖13 墩頂雙向荷載變化軌跡Fig.13 Locus of bidirectional loading on top of pier

4 結 論

（1）通過與文獻［9］試驗結果的對比,證明修正后的滯回模型有效避免了原有修正雙曲面模型對塑性模量EP高估的問題,能夠精確地反映鋼材在小幅循環的應變歷史下的滯回特性,從材料層面驗證了本文模型修正的準確性和適用性.

（2）在應變小幅變化的循環荷載作用下,滯回模型修正前、后的應力和耗能計算結果均存在顯著差異,本文對修正雙曲面模型的改進是必要的.

（3）本文模型修正能夠改善鋼橋墩單軸和雙軸彎曲作用下的滯回性能計算精度.

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Modified two-surface steel hysteretic model considering complex strain history

WANG Tong1,XIE Xu1,TANG Zhan-zhan1,SHEN Chi2
（1.College of Civil Engineering and Architecture,Zhejiang University,Hangzhou 310058,China；2.International Project Group,Chodai Co.,Ltd.,Ibaraki 305-0812,Japan）

The shortcomings of modified two-surface hysteretic model,which is a steel elasto-plastic hysteretic constitutive model that consider both analysis accuracy and efficiency,were taken as research object.The problem that under complex strain history,sometimes the stress results obtained by the model are irrational since the plastic modulus at the critical point between elastic and plastic stage tends to infinite,was to be avoid.The existing modified two-surface model was remodified by improving its criterion of stress-strain path.The improving method of the analysis model under uniaxial and multiaxial stress state was given.The comparison results with analysis results and uniaxial tensile and compression tests, and a series of example analysis show that the improved model can precisely predict the hysteretic property of steel under complex strain history.The accuracy and applicability of the improving method were validated at material and structural member level.Results show that improvement of existing modified two-surface model can effectively raise the computational precision under complex strain history of the model.

modified two-surface hysteretic model；steel；cyclic loading；steel bridge pier

10.3785／j.issn.1008-973X.2015.07.015

U 443

A

1008- 973X（2015）07- 1305- 08

2014- 11- 20. 浙江大學學報(工學版)網址：www.journals.zju.edu.cn／eng

國家自然科學基金資助項目（51378460）.

王彤（1988－）,男,博士生,從事橋梁和鋼結構抗震研究.ORCID：0000-0002-3004-4894.E-mail：wangtong＠zju.edu.cn

謝旭,男,教授.ORCID：0000-0002-4247-0487.E-mail：xiexu＠zju.edu.cn