管狀填充性橢圓形溶洞的圍巖應(yīng)力彈性解析分析

饒軍應(yīng)，傅鶴林，劉運(yùn)思，尹泉

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管狀填充性橢圓形溶洞的圍巖應(yīng)力彈性解析分析

饒軍應(yīng)1, 2，傅鶴林1，劉運(yùn)思1，尹泉1

(1. 中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長沙，410075；2. 貴州大學(xué)土木工程學(xué)院，貴州貴陽，550025)

為分析含管狀填充性橢圓溶洞的圍巖應(yīng)力，將實(shí)際工況簡化為計(jì)及橢圓孔洞內(nèi)壓()的雙向受壓無限平面應(yīng)力問題；以平面彈性復(fù)變方法為基礎(chǔ)，把平面橢圓外域保角映射到平面圓外域，利用留數(shù)定理推導(dǎo)簡化力學(xué)模型的2個(gè)復(fù)勢函數(shù)1()和1()的表達(dá)式，得到圍巖任意一點(diǎn)應(yīng)力分量(σ，σ，τ)的解析通式。隨后，導(dǎo)出由孔洞內(nèi)壓產(chǎn)生的孔口附加應(yīng)力場，討論孔口應(yīng)力隨橢圓形狀與圍巖側(cè)壓系數(shù)的變化規(guī)律。研究結(jié)果表明：產(chǎn)生的附加應(yīng)力在孔口與軸、軸相交處分別有最大值、最小值；圓形孔洞無內(nèi)壓時(shí)，孔口應(yīng)力的最大值隨的增大而減小，最小值與無關(guān)。

地下工程；管狀填充性巖溶；橢圓孔洞；圍巖應(yīng)力；孔口應(yīng)力；解析分析

巖溶地質(zhì)區(qū)修建地下工程一直是難點(diǎn)課題，巖溶不僅發(fā)育于淺層巖體，而且在地下水位數(shù)百米以下的深埋地層仍有大量溶洞存在[1]。地下工程施工揭露的巖溶總是被各類介質(zhì)充填，高壓、富水巖溶隧道開挖過程中，涌水事故時(shí)常發(fā)生[2?3]。深埋填充性巖溶中的充填介質(zhì)往往對溶腔壁作用有較大內(nèi)壓，導(dǎo)致溶洞圍巖初始應(yīng)力與無溶洞或有溶洞但無內(nèi)壓時(shí)差異顯著。為此，學(xué)者對含填充性溶洞的地下工程展開了大量相關(guān)研究[4?5]，為了從理論上探明溶洞對圍巖應(yīng)力分布的影響，國內(nèi)外學(xué)者普遍把這類問題簡化為含孔洞的彈性力學(xué)平面問題[6?9]，Howland等[6]基于這種簡化并利用平面彈性復(fù)變方法，求解了具有單圓孔、雙圓孔、單排圓孔和雙排圓孔的平面板應(yīng)力問題，求得孔口的最大、最小應(yīng)力；陳子蔭等[7?9]也采用平面彈性復(fù)變方法，對無限平面巖體中具有單個(gè)、2個(gè)和任意個(gè)圓孔的孔口應(yīng)力進(jìn)行了解析分析。已有研究表明，將洞室對圍巖應(yīng)力的影響問題簡化為帶孔洞的無限平面應(yīng)力問題是可行的，并利用平面彈性復(fù)變方法來求解是行之有效的。對地下洞室圍巖應(yīng)力的解析分析，關(guān)鍵是利用保角變換將復(fù)雜洞室外域映射到單位圓外域，再將Airy應(yīng)力函數(shù)用2個(gè)解析函數(shù)1()和1()表示。為解決這一難題，朱大勇等[10]提出超長項(xiàng)級數(shù)形式的保角映射函數(shù)，并對復(fù)雜的非凸型洞室圍巖應(yīng)力進(jìn)行了解析求解；而祝江鴻[11]把1()和1()中各項(xiàng)積分轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的留數(shù)進(jìn)行求解，并得出了這2個(gè)解析函數(shù)通式；吳家龍[12]則系統(tǒng)介紹了把平面問題轉(zhuǎn)化為在給定的邊界條件下，求解2個(gè)解析函數(shù)的問題。此外，在解答孔口彈塑性問題時(shí)，也可采用復(fù)變函數(shù)方法來計(jì)算平面橢圓孔口塑性區(qū)半徑，并可用于巖溶隧道 中[13]。但上述研究成果在分析溶洞(或地下洞室)孔口及圍巖應(yīng)力時(shí)，均僅把溶洞簡化成空腔模型，未考慮溶洞內(nèi)填充介質(zhì)對溶腔壁的壓力。在分析含填充性溶洞的深埋隧道圍巖應(yīng)力時(shí)，由充填介質(zhì)產(chǎn)生的溶洞內(nèi)壓是不容忽視的，這對深埋巖溶隧道施工安全尤為重要。本文作者以平面彈性復(fù)變方法為基礎(chǔ)，分析管狀填充性橢圓溶洞的圍巖及孔口應(yīng)力情況，力求為預(yù)測、防止巖溶隧道開挖時(shí)突水、突泥、坍塌等地質(zhì)災(zāi)害提供理論基礎(chǔ)。

1 簡化模型

1.1 基本假設(shè)

為重點(diǎn)考察溶腔及其內(nèi)壓對其圍巖應(yīng)力分布的影響，本文研究基于以下幾點(diǎn)假設(shè)：

1) 圍巖為彈性體，其泊松比為；

2) 溶洞呈管狀，其埋深與管狀長度均較橫截面尺寸大得多；

3) 溶洞橫截面形狀為橢圓形。

1.2 計(jì)算模型簡介

基于假設(shè)2)，取管狀溶洞的某一橫截面為研究對象。令橢圓形溶腔的長、短半軸分別為和，其中長軸與水平方向的夾角為，橢圓內(nèi)區(qū)域?yàn)椋瑱E圓曲線為，橢圓外區(qū)域?yàn)椋畛湫匀芏吹膰鷰r應(yīng)力計(jì)算模型如圖1所示。由于溶洞埋深比其尺寸大得多，故忽略重力梯度影響，簡化為雙向受壓模型；設(shè)其上下邊界的面力(垂直原巖應(yīng)力)為，則左右邊界面力(水平原巖應(yīng)力)為，橢圓內(nèi)邊界受均勻壓力作用；其中，圍巖的側(cè)壓系數(shù)(1?)，，和均為實(shí)常數(shù)。

圖1 橢圓填充性溶洞的雙向受壓力學(xué)模型

2 平面彈性解析分析一般公式

當(dāng)溶洞所處埋深比洞徑大得多時(shí)，可不考慮重力梯度的影響，把重力作用化為無限遠(yuǎn)處作用有主應(yīng)力1和2的外載來求解[9]。

現(xiàn)將平面橢圓外域(見圖1)保角映射到平面的單位圓外域(如圖2所示)，平面的單位圓內(nèi)域?yàn)椋瑔挝粓A曲線為，單位圓外域?yàn)椋Ｆ溆成淇杀硎緸閇12]

圖2 保角映射后平面的力學(xué)模型

Fig. 2 Mechanics model from plane to plane with a conformal mapping function

經(jīng)保角映射后，平面具有單孔的圍巖任意一點(diǎn)應(yīng)力彈性平面解可用平面的復(fù)勢函數(shù)1()和1()表示為[7, 12]

(3)

式(3)中復(fù)勢函數(shù)1()和1()為平面單位圓內(nèi)的解析函數(shù)，可按式(4)對其進(jìn)行求解。

而式(4)中的0()和0()也為平面單位圓外域的解析函數(shù)，并可從下式求得：

(5)

式(5)中的為平面在上的取值，可表示為

(6)

3 含內(nèi)壓孔無限平面雙向受壓應(yīng)力

3.1 復(fù)勢函數(shù)1()和1()求解

若1和2分別為垂直和水平方向的主應(yīng)力，且主應(yīng)力2與軸的夾角為，則由邊界條件可得：1=?，2=?，再由平衡條件容易得到：

結(jié)合式(8)和式(9)，可求得，和如下式所示：

(10)

由圖1中邊界條件可知：孔洞邊界處面力矢量的2個(gè)分量可分別表示為

(12)

又因?yàn)榭锥磧?nèi)壁所受外力為平衡力系，即整個(gè)孔邊的面力主矢量。因此，由式(6)有

(13)

式(13)中的取值同式(5)中的一致，顯然或。因此，可解得如下式所示：

(14)

再將式(13)代入式(5)中第1式便得到0()的表達(dá)式為

(15)

注意到式(15)存在形如式(16)，(17)和(18)的3個(gè)積分待求解：

(17)

(18)

由于為單位圓外域任意一點(diǎn)，而1=0為式(16)的一級極點(diǎn)，除該極點(diǎn)外，式(16)的被積函數(shù)是圓域內(nèi)的解析函數(shù)的邊界值。因此，根據(jù)留數(shù)定理可求得式(16)為被積函數(shù)在一級極點(diǎn)處的留數(shù)，即

同理，可求得積分式(17)為

(20)

因此，將式(19)，(20)和(21)代入式(15)即可求得0()為

(22)

再由式(22)兩邊同時(shí)對求一階導(dǎo)數(shù)，有

對于0()的求解，將式(14)和(23)代入式(5)中的第2式，發(fā)現(xiàn)除含有形如式(17)和(18)兩類積分需求解外，還有形如下式的積分待求：

(24)

因此，將式(14)和式(23)代入式(5)中的第2式后，結(jié)合已求得的式(20)，(21)和(25)的積分值，可解得0()如下式所示：

再將式(22)和式(26)分別代入式(4)中的第1式和第2式，整理后有

式(27)和式(28)即為含均勻內(nèi)壓橢圓孔圍巖應(yīng)力的復(fù)勢函數(shù)1()和1()的表達(dá)式。

3.2 復(fù)合函數(shù)()和()求解

前文已經(jīng)解得2個(gè)復(fù)勢函數(shù)1()和1()，而由式(2)和(3)可以看出，在求解圍巖內(nèi)任意一點(diǎn)應(yīng)力分量ρ和φ之前，必須先導(dǎo)出復(fù)勢函數(shù)1()的一階導(dǎo)數(shù)。顯然，由式(27)可容易求得其導(dǎo)數(shù)為

(29)

對式(1)求一階導(dǎo)數(shù)后，結(jié)合式(29)及式(3)中的第一式，便可解得()的具體表達(dá)式為

(30)

(31)

接下來求解()的表達(dá)式。首先，將式(28)兩邊求一階導(dǎo)數(shù)，可得到：

然后，求式(1)的一階導(dǎo)數(shù)后，結(jié)合式(32)與式(3)中的第2式，便可得到()的具體表達(dá)式為

(33)

式(30)和式(33)即分別為所需求解的復(fù)合函數(shù)()和()。

3.3 應(yīng)力分量求解

現(xiàn)在把9的實(shí)部與虛部分開，令910i11，則由式(34)可知

(35)

最終，從式(35)可求得受雙向壓縮且含均勻內(nèi)壓橢圓孔洞的圍巖內(nèi)任意一點(diǎn)應(yīng)力分量為

式(36)即為計(jì)及含內(nèi)壓孔洞的雙向受壓圍巖內(nèi)任意一點(diǎn)3個(gè)應(yīng)力分量的表達(dá)式。

4 孔口應(yīng)力討論

在溶洞(孔口)邊上，有=1且邊界條件ρ=?成立。因此，由式(2)的第1式及式(31)可知，孔口的φ將由

給出，再就式(37)所表示的孔口應(yīng)力φ展開討論。

4.1 當(dāng)=0°時(shí)的孔口應(yīng)力

在=0°時(shí)，橢圓溶洞的長軸與軸平行，式(37)可簡化為

(38)

4.2 當(dāng)=0時(shí)的孔口應(yīng)力

在=0時(shí)，即無窮遠(yuǎn)處的邊界面力不存在，該問題退化為無限平面僅在橢圓孔內(nèi)壁受均勻壓力作用，則式(37)可簡化為

式(39)的物理含義為孔洞內(nèi)壓對孔口的附加應(yīng)力場，它隨和的變化曲線如圖3所示。從圖3可見：當(dāng)在[0, π]時(shí)，該附加應(yīng)力曲線存在如下規(guī)律。

1) 關(guān)于π/2對稱，在[0, π/2]隨單調(diào)遞減，而在[π/2, π]隨單調(diào)遞增；

2) 單調(diào)遞增和遞減區(qū)間的曲線斜率均隨著的增加而增大；

3)在[0, 1]時(shí)，附加應(yīng)力均存在極大值和極小值，各極大值隨的增大而增大，各極小值隨的增大而減小。

由式(39)也可求得孔口的最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力表達(dá)式分別為：

: 1—0; 2—0.2; 3—0.4; 4—0.6; 5—0.8; 6—1.0

圖3 內(nèi)壓的孔口附加應(yīng)力隨和的變化曲線

Fig. 3 Additional orifice stress changed withandproduced by internal pressure

4.3 當(dāng)=0°且=0時(shí)的孔口應(yīng)力

在=0°且=0時(shí)，即橢圓形溶洞退化為圓形，所需求解的問題退化為在無限平面遠(yuǎn)邊界處雙向壓縮、圓孔內(nèi)壁受均勻壓力作用的問題。整理式(37)可得

此時(shí)，孔口處φ的最大值在±π/2(即橢圓孔與軸相交)處，其最大值為

而φ的最小值在0, π(即橢圓孔與軸相交)處，其最小值為

該結(jié)果還可用于探討內(nèi)壓圓孔對周邊介質(zhì)的應(yīng)力分布影響，如隧道鉆爆法施工時(shí)炮眼的合理分布研究；也可用于分析深埋圓形洞室開挖，洞壁支護(hù)力為時(shí)，圍巖的應(yīng)力狀態(tài)。

4.4 當(dāng)=0°且=0時(shí)的孔口應(yīng)力

當(dāng)=0°且=0時(shí)，即溶洞為非填充型空腔，不存在內(nèi)壓。經(jīng)整理后，式(37)可化為

(40)

現(xiàn)對式(40)中的取值進(jìn)行討論。

1)=0時(shí)，該問題退化為對無限巖體中圓形地下洞室開挖后，暫未施作支護(hù)結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型。此時(shí)，式(40)可進(jìn)一步整理為

式(41)所示為僅受雙向壓縮時(shí)的圓形孔口處的正應(yīng)力表達(dá)式，繪制σ隨和的變化曲線如圖4所示。當(dāng)在[0, π]時(shí)，這些曲線有如下規(guī)律。

①關(guān)于π/2對稱，在[0, π/2]隨單調(diào)遞增，而在[π/2, π]隨單調(diào)遞減；

②單調(diào)遞增和遞減區(qū)間的曲線斜率均隨著的增加而減小；

③在[0, 1]時(shí)，φ均存在極大值和極小值，各極大值隨的增大而減小，各極小值與無關(guān)(恒為?4)。

λ: 1—0; 2—0.2; 3—0.4; 4—0.6; 5—0.8; 6—1.0

由式(41)也可求得圓形孔口僅受雙向壓縮時(shí)最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力分別為：

顯然，從表達(dá)式可以看出：此時(shí)最大正應(yīng)力隨側(cè)壓系數(shù)增加而減小，而最小正應(yīng)力與側(cè)壓系數(shù)無關(guān)。

2) 當(dāng)0＜＜1時(shí)，則研究對象退化為在無限巖體中橢圓形地下洞室開挖后，暫未施作支護(hù)結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型，在力學(xué)上則表示含橢圓孔口的無限平面僅受雙向壓縮時(shí)的孔口應(yīng)力問題。

由式(40)可得，在橢圓孔與軸相交(即±π/2)處，有

(42)

繪制式(42)所表示的橢圓孔與軸相交處σ隨和的變化曲線如圖5所示。從圖5可以看出：在0＜＜1時(shí)：1()隨著的增加而減小，=0時(shí)1()有最大值，=1時(shí)1()有最小值；1()的最大值與最小值分別為

在橢圓孔與軸相交(即0,π)處，有

4.5 當(dāng)=0且=1時(shí)的孔口應(yīng)力

當(dāng)=0，且=1(即→0)時(shí)，非填充性的橢圓溶洞退化成方向的長度為2的一條貫穿裂紋，同樣可以按第3節(jié)的步驟求解裂紋兩尖端的應(yīng)力表達(dá)式。

5 結(jié)論

1) 基于平面彈性復(fù)變方法，將含填充性橢圓溶洞的圍巖應(yīng)力問題，簡化為求解計(jì)及橢圓孔洞內(nèi)壓的雙向受壓無限平面應(yīng)力問題；推導(dǎo)了含填充性橢圓溶洞圍巖應(yīng)力的復(fù)勢函數(shù)1()和1()的表達(dá)式，并求得了其圍巖任意一點(diǎn)應(yīng)力分量(σ，σ和ρφ)的解析通式；并重點(diǎn)討論了橢圓孔洞、橢圓孔洞退化為圓形孔洞和孔洞有無內(nèi)壓時(shí)的孔口應(yīng)力情況。

2) 橢圓孔洞的軸比改變時(shí)，孔洞內(nèi)壓產(chǎn)生的孔口附加應(yīng)力的極大值與極小值位置不發(fā)生改變，即孔洞與軸的交點(diǎn)處有極大值，與軸的交點(diǎn)處有極小值；該附加應(yīng)力的極大值隨單調(diào)遞增，而極小值隨單調(diào)遞減。

3) 當(dāng)橢圓孔洞退化為圓形，且孔洞無內(nèi)壓時(shí)，圓形孔口應(yīng)力的極大值隨側(cè)壓系數(shù)單調(diào)遞減，而最小值與無關(guān)(恒為?4)。

4) 考慮了橢圓孔口的內(nèi)壓對圍巖應(yīng)力的附加影響，更接近于填充性巖溶的實(shí)際力學(xué)狀態(tài)；結(jié)果可用于探討內(nèi)壓圓孔對周邊介質(zhì)的應(yīng)力分布影響，以及分析無限巖體中橢圓形、圓形洞室開挖時(shí)圍巖的應(yīng)力狀態(tài)。

5) 本文僅討論了單個(gè)橢圓形和圓形孔口含內(nèi)壓時(shí)的平面彈性應(yīng)力狀態(tài)，對其他含內(nèi)壓的任意數(shù)量及任意形狀的孔口彈性應(yīng)力或彈塑性應(yīng)力問題，有待進(jìn)一步探討。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張倬元, 蔣良文. 倒虹吸形成深飽水帶大型充填溶洞的典型實(shí)例: 圓梁山隧道毛壩向斜深飽水帶特大型充填溶洞的形成及充填物成災(zāi)機(jī)制分析[J]. 工程地質(zhì)學(xué)報(bào), 2010, 18(4): 455?469. ZHANG Zhuoyuan, JIANG Liangwen. A typical case history of infilled karstic caves formed by reverse siphonic circulation in deep phreatic zone: Preliminary analysis of the formation mechanism of infilled huge caves exposed by Yuanliangshan tunneling in deep phreatic zone of Maoba syncline[J]. Journal of Engineering Geology, 2010, 18(4): 455?469.

[2] 莫陽春. 高水壓充填型巖溶隧道穩(wěn)定性研究[D]. 成都: 西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院, 2009: 18?55. MO Yangchun. Stability research on high water pressure filled karst caves tunnel[D]. Chengdu: Southwest Jiaotong University. School of Civil Engineering, 2009: 18?55.

[3] 呂建兵, 傅鶴林. 填充性巖溶軟基加固方案的模糊綜合評價(jià)與工程應(yīng)用[J]. 巖土力學(xué), 2005, 26(增刊1): 244–248. Lü Jianbing, FU Helin. Fuzzy comprehensive evaluation of reinforcement plan for filling karst soft soil foundation and engineering application[J]. Rock and Soil Mechanics. 2005, 26(z): 244–248.

[4] 劉新榮, 張旭東, 黃明, 等. 深埋隧道填充型溶腔潰水機(jī)制及風(fēng)險(xiǎn)識別[J]. 重慶大學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 35(2): 28?34. LIU Xinrong, ZHANG Xudong, HUANG Ming, et al. Feature and risk identification of super karst water burst in deeply buried karst tunnel[J]. Journal of Chongqing University, 2012, 35(2): 28?34.

[5] 呂建兵, 傅鶴林. 隧道填充性巖溶軟基彈塑性固結(jié)沉降機(jī)理研究[J]. 路基工程, 2011(5): 36?39. Lü Jianbing, FU Helin. Study on the mechanism of elastoplastic consolidation settlement of filling karst soft foundation of tunnel[J]. Subgrade Engineering, 2011(5): 36?39.

[6] Howland R C J, Knight R C. Stress functions for a plate containing groups of circular holes[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical and Physical Sciences, 1939, 238(2): 357?392.

[7] 陳子蔭. 圍巖力學(xué)分析中的解析方法[M]. 北京: 煤炭工業(yè)出版社, 1994: 24?89. CHEN Ziyin. Analytic method of mechanical analysis for the surrounding rock[M]. Beijing: Coal Industry Publishing House, 1994: 24?89.

[8] 呂愛鐘, 張路青. 地下隧道力學(xué)分析中的復(fù)變函數(shù)方法[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2007: 50?74. Lü Aizhong, ZHANG Luqing. Mechanics analysis with complex variables function in tunnel underground[M]. Beijing: Science Press, 2007: 50?74.

[9] 張路青, 呂愛鐘. 雙孔圓形洞室圍巖應(yīng)力分析的交替法研究[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 1998, 17(5): 534?543. ZHANG Luqing, Lü Aizhong. Study of alternation method for stress analysis on surrounding rocks of two circular holes[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 1998, 17(5): 534?543.

[10] 朱大勇, 錢七虎, 周早生, 等. 復(fù)雜形狀洞室映射函數(shù)的新解法[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 1999, 18(3): 279?282. ZHU Dayong, QIAN Qihu, ZHOU Zaosheng, et al. New method for calculating mapping function of opening with complex shape[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 1999, 18(3): 279?282.

[11] 祝江鴻. 隧洞圍巖應(yīng)力復(fù)變函數(shù)分析法中的解析函數(shù)求解[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2013, 34(4): 345?354. ZHU Jianghong. Analytic functions in stress analysis of the surrounding rock for caverns with the complex variable theory[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2013, 34(4): 345?354.

[12] 吳家龍. 彈性力學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社, 2001: 174?213. WU Jialong. Elasticity[M]. Beijing: Higher Education Press, 2001: 174?213.

[13] 郭佳奇, 喬春生. 橢圓孔口塑性區(qū)及其在巖溶隧道工程中的應(yīng)用[J]. 鐵道學(xué)報(bào), 2013, 35(3): 108?114. GUO Jiaqi, QIAO Chunsheng. Plastic zone around elliptical hole portal and its application in karst tunnel[J]. Journal of the China Railway Society, 2013, 35(3): 108?114.

Stress analysis of rocks surrounding a tubular filled elliptical karst cave with complex function of elastic mechanics

RAO Junying1, 2, FU Helin1, LIU Yunsi1, YIN Quan1

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;2. School of Civil Engineering, Guizhou University, Guiyang 550025, China)

For analyzing the stresses of surrounding rock containing a tubular filled elliptical karst cave, it was simplified to solve the stresses of infinite plane containing an elliptical hole with internal pressure () under bi-axial compressions. According to the complex function of elastic mechanics, the outer region of elliptical hole inplane was mapped to the outer of a unit circle inplane with a conformal mapping function. After that, the complex potential functions of1() and1()were deduced for the simplified model by applying the residue theorem, and the analytic general formula for the component of stresses (σ,σ,τ) were solved. Then, as the elliptical hole was degraded into circular, or the filled karst cave was transformed into unfilled, their stresses were both solved. Moreover, the subsidiary stress field around hole produced by internal pressure was obtained, the variation of opening stress changing with the ellipse shape and the coefficient of horizontal pressure () were discussed. The results show that the subsidiary stress fromgets the maximum value at the point of ellipse intersecting with-axis, while the minimum value is at-axis. As=0 for circular hole, the maximum opening stress is smaller asbecomes greater, but the minimum value has no relationship to.

underground engineering; tubular filled karst cave; elliptical hole; surrounding rock stress; opening stress; analytic analysis

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.07.030

U451

A

1672?7207(2015)07?2605?08

2014?07?05；

2014?10?16

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51008308，50878213)；湖南省研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目(CX2013B078) (Projects(51008308, 50878213) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(CX2013B078) supported by the Hunan Provincial Innovation Foundation for Postgraduate)

饒軍應(yīng)，博士，從事隧道、巖土工程等研究；E-mail: rao-ale@163.com

(編輯 楊幼平)