基于PFC3D單軸壓縮下含2條裂隙試樣力學行為的數值分析

范祥，曹平

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基于PFC3D單軸壓縮下含2條裂隙試樣力學行為的數值分析

范祥1, 2，曹平1

(1. 中南大學資源與安全工程學院，湖南長沙，410083；2. 長安大學公路學院，陜西西安，710064)

基于離散元數值分析軟件PFC3D中的顆粒接觸黏結模型，以校核試驗數據的方式獲得數值模型的細觀參數，進一步建立含有2條裂隙的數值計算模型，分別設定巖橋傾角為15°，30°，45°，60°，75°和90°。研究巖橋傾角對裂隙試樣的峰值強度、起裂應力、峰值強度時刻軸向應變、彈性模量和破壞模式的影響。研究結果表明：巖橋傾角對含2條裂隙試樣彈性模量的變化影響極小，但對峰值強度和起裂應力具有較大影響；隨巖橋傾角的變化，裂隙試樣單軸抗壓強度與起裂應力有相似的變化關系，巖橋傾角影響裂隙試樣在峰值應力時的應變。另外，巖橋傾角影響單軸荷載下裂紋的擴展方式，60°巖橋最容易貫通，15°和90°巖橋最難貫通。

數值模擬；PFC3D；裂隙；巖橋；裂紋擴展

巖體中各種裂隙的存在導致了巖石材料各向異性和強度性質的弱化，而裂隙巖體的強度對交通隧道、采礦硐室和巷道等巖體工程具有較大影響。因此，裂隙巖體力學性質一直是巖石力學界關注的焦點問題。對于裂隙巖體力學行為的研究，通常是人為制作含有裂隙的類巖試樣，通過室內試驗設備加載，測試其強度與變形特征，以及采用高速攝像設備觀察裂紋擴展路徑。石膏、水泥與細砂混合物是常用的類巖材料，陳新等[1?2]以石膏制作含有多條裂隙的類巖試樣，研究單軸荷載下節理傾角、連通率對巖體強度和變形特征的影響，以及單軸荷載所致裂隙巖體的破碎規律。黎立云等[3]采用高強度白水泥和石膏作為類巖材料制作有序多裂紋試樣，著重研究了宏觀力學參數受裂紋密度的影響。蒲成志等[4?5]以水泥和細砂為類巖材料，研究了2條預制裂隙試樣在單軸荷載下，裂隙傾角與巖橋傾角組合對裂紋擴展以及巖體破壞規律的影響。試驗方法能夠直接得到試樣強度和變形參數，以及觀察到裂紋擴展路徑，但是試樣可重復性差且制作耗費時間，有時數據離散性偏大。數值模擬是重現裂隙巖體受壓裂紋擴展、強度變化的一種好方法。基于不同理論的多種數值分析軟件已應用于裂隙巖體力學行為的模擬，Lee等[6]運用3種不同材料，制作含有預制裂紋的類巖試樣，研究了單軸壓縮荷載效應下裂紋的起裂、擴展與合并，再運用PFC2D建立數值試驗模型，數值模擬結果與試驗結果顯示出了良好的吻合。Kulatilake等[7]以斷裂張量描述了給定方向節理幾何參數(節理密度、方向、大小分布和節理組數)的方向效應，再運用PFC3D校核試驗數據，數值模擬和試驗結果顯示節理巖塊的抗壓強度隨斷裂張量增加呈非線性下降，節理幾何參數控制著巖塊的破壞模式。蒲成志等[5, 8]運用有限差分軟件FLAC3D，在試驗數據的基礎上，建立應變軟化模型，探索裂隙傾角與分布密度對巖體強度弱化的影響，所發現的規律可為預測裂隙圍巖強度的變化提供參考。唐春安等[9?11]運用RFPA2D研究了巖石非均質性對裂紋擴展及峰值強度的影響，發現非均質度越差，材料的破壞峰值強度越低，且非均質巖體裂紋呈彌散分布。在荷載作用下，裂隙巖體裂紋擴展方式直接影響裂隙巖體的破壞模式，因此，研究者一直關注著裂紋的萌生和擴展方式，試驗者通常會采用高速攝像機拍攝加載過程中裂紋的擴展過程。Wong等[12]在對含有2條裂隙，且裂隙傾角和巖橋傾角變化的試樣加載過程中，觀察到3種裂紋合并方式：剪切型，翼型拉伸型和拉剪混合型，Kulatilake等[7]也發現裂隙巖體有此3種破壞模式。蒲成志等[4]在分析2條預制裂隙試樣壓縮破壞時，發現有的試樣由單一裂隙尖端起裂、擴展導致破壞，有的試樣由2條裂隙搭接、貫通導致破壞，第2種破壞方式顯得更為復雜。Wong等[13]在對單軸荷載下石膏和大理巖含有2條預制裂隙試樣分析后，提出了9種裂紋擴展、合并模式，并指出裂紋的擴展方式與裂隙傾角、巖橋傾角及2條裂隙間長度有關。Fan等[14]基于試驗數據，建立了不同傾角的多裂隙顆粒流模型，用數值模擬方法再現了試驗中觀察到的破壞模式。本文作者基于PFC3D中接觸黏結模型，以校核試驗數據的方式，建立裂隙巖體數值計算模型，從數值模擬角度分析巖橋傾角對裂隙巖體強度與變形性質的影響，以及單軸壓縮效應下裂紋的萌生、擴展過程。

1 完整試樣校核與裂隙數值模型的建立

1.1 試驗簡介

本文選取的試驗數據源于文獻[4]。在文獻[4]中，采用水泥、水和細砂，按照體積比為2:1:1制成長×高×厚為150 mm×200 mm×30 mm的完整類巖試樣(見圖1)，經過室內養護后，采用高精度微機控制電液伺服萬能試驗機進行加載試驗，其加載速率為200 N/s，得到的完整類巖試樣物理參數如表1所示。

圖1 試樣尺寸示意圖

表1完整類巖試樣單軸壓縮下物理力學參數[4]

1.2 完整試樣校核

接觸黏結(contact bond)是PFC中顆粒黏結的一種基本方式，接觸黏結不能抵抗彎矩，只能承受法向力和切向力。當法向或切向中任一方向承受的力超過其設定強度時，接觸黏結即被破壞，且剪切強度不依賴于法向力的大小。本文選用接觸黏結方式，接觸黏結模型主要由5個細觀參數控制其力學行為，顆粒接觸彈性模量、顆粒剛度比、顆粒間摩擦因數、接觸黏結法向強度和切向強度。不同的參數影響試樣的不同宏觀物理性質，如顆粒接觸彈性模量與試樣彈性模量和峰值強度直接相關、接觸黏結強度直接影響試樣的宏觀強度，相關說明參考PFC3D使用手冊[15]。

事實上，單軸壓縮下試樣厚度(沿方向)一定程度減少對試樣宏觀參數的影響不會太大，當試樣厚度減少1/3時，其單軸抗壓強度和彈性模量降低一般在10%以內。考慮到數值計算時間與計算機性能，為了建立更加精細的數值分析模型，本文設定數值分析模型厚度為試驗試樣厚度的2/3，其余兩邊尺寸保持相同。根據表2中的參數，建立了含有96 833個球形顆粒和481 084個接觸黏結的數值分析模型(見圖2(a))。圖2(a)中顆粒就是組成數值模型的基本單元。由于本模型中顆粒較多，接觸力分布比較密集，難于分辨。圖2(b)所示為經過放大后截取部分試樣顆粒之間的接觸力分布，線條的粗細表示接觸力的大小。

表2 數值模型采用的細觀參數

(a) 數值模型；(b) 接觸力分布圖

根據不同細觀參數的作用，經過多次調整模型中細觀參數值，發現當采用表2中的細觀參數時，得到的完整試樣宏觀參數(見表3)與試驗結果(見表1)吻合良好。單軸抗壓強度和彈性模量之間的相對誤差均在1%以內，因此，采用表2中的細觀參數建立完整試樣數值模型。

表3 數值模型宏觀參數

1.3 裂隙模型的建立

基于軟件手冊的表述，這里所說節理即為裂隙。文獻[4]中，設定2條在方向上貫通的裂隙，為裂隙傾角，為巖橋傾角，單條裂隙長度為20 mm，巖橋長度為40 mm。在此基礎上，為了研究巖橋傾角對裂紋擴展的影響，本文確定裂隙傾角為45°，巖橋傾角分別為15°，30°，45°，60°，75°和90°。PFC3D數值分析模型中節理平面由傾向、傾角限定其方向，并可通過控制其在，和方向的長度來生成有限長度節理。通過降低與節理面相接觸顆粒的細觀參數值，來弱化節理的力學性質。通常，與節理面相接觸的顆粒黏結強度設定為0，其摩擦因數也小于其他顆粒摩擦因數，顆粒剛度也應小于其他顆粒剛度。

圖3所示為含有2條節理的數值模型的正視圖，圖3中深色顆粒即是與節理平面相接觸的顆粒，這些顆粒的細觀參數如表4所示，2條節理之間的連線即是巖橋。

表4 節理顆粒細觀參數

圖3 裂隙布置示意圖

2 數值模擬結果分析

2.1 裂隙試樣強度與完整試樣強度比較

為了清晰判斷裂隙巖體強度、變形與完整試樣的區別，同時，為了便于對比，將完整試樣和裂隙試樣的峰值強度與彈性模量進行了歸一化處理。圖4中，E和E分別為完整試樣和裂隙試樣的彈性模量，σ和σ分別為完整試樣和裂隙試樣的峰值強度。由圖4可知：相對于完整試樣的彈性模量，2條裂隙導致試樣的彈性模量下降很小，E的下降量占完整試樣彈性模量的5%左右，而且隨著巖橋傾角的增加，裂隙試樣彈性模量變化很小。事實上，裂隙對彈性模量有一定影響，裂隙越多，導致試樣更易壓縮，更加容易產生形變。本文中因裂隙數量較少，因此，彈性模量下降較小。當裂隙試樣中裂隙傾角保持不變時，巖橋傾角的改變導致各裂隙試樣峰值強度相對于完整試樣峰值強度的下降并不大，強度下降10%~20%，當=90°時，下降量最小；當=60°時，下降量最大，這也間接說明巖橋傾角為60°對裂隙試樣強度的影響最大。造成此種情況的原因是單軸荷載下巖橋貫通方式不同。

1—Ej/Ei; 2—σj/σi

2.2 巖橋傾角對裂隙試樣強度、變形的影響

起裂應力是試樣在承受單軸荷載時，裂紋開始產生時的軸向應力。圖5所示為裂隙試樣單軸抗壓強度和起裂應力隨巖橋傾角變化的趨勢。從圖5可見：當巖橋傾角在15°~90°范圍內變化時，峰值抗壓強度先降低后增加，當巖橋傾角為60°時，裂隙試樣的峰值抗壓強度最低，當巖橋傾角為90°時，峰值抗壓強度最高。因為當傾角為60°時，2條裂隙非常容易沿巖橋貫通而破壞，當巖橋傾角為90°時，巖橋處最難形成貫通裂紋。由圖5還可知：起裂應力與單軸抗壓強度隨巖橋傾角變化有近似相同的變化趨勢，當=60°時，起裂應力最低，但當=15°時，起裂應力最高，而且比=90°裂隙試樣的起裂應力要高。這是因為巖橋傾角不同，導致單軸荷載下裂隙試樣裂隙尖端的應力分布和大小不同，導致顆粒接觸黏結破壞時的軸向應力不同。因此，巖橋傾角會影響裂隙試樣的峰值抗壓強度和起裂應力。

1—單軸抗壓強度；2—起裂應力

已有的研究成果發現：巖體受單軸荷載時的起裂應力與其峰值強度存在一定的比例關系，但是該比值沒有確定，有的學者認為該比值為0.3~0.5[16?17]，有的認為該比值為0.7~0.8[18]。采用不同方法，不同學者發現的比值有較大差別。事實上，該比值與試樣中裂隙的布置有很大關系，裂隙條數、傾角和長度都會影響該比值。本文中，通過數值模擬試驗得出的比值如圖6所示，文中的裂隙模型只含有2條裂隙，且是閉合裂隙，在荷載作用下，裂紋表面具有一定的摩擦力。從圖6可知：裂紋起裂應力與其峰值強度的比值為0.6~0.7，在裂隙傾角保持45°不變的情況下，盡管巖橋傾角從15°~90°變化，該比值變化較小，也間接說明巖橋傾角對該值沒有明顯影響。從圖5可知：起裂應力與峰值強度隨巖橋傾角有相似的變化規律，所以該比值隨巖橋傾角變化較小。

圖6 不同巖橋傾角裂隙試樣起裂應力與峰值強度比

圖7所示為裂隙試樣的變形參數彈性模量、泊松比隨巖橋傾角的變化趨勢。對比圖7和圖5可知：巖橋傾角對試樣峰值強度有明顯的影響。但從圖7發現：隨巖橋傾角的增加，裂隙巖體的彈性模量變化非常小，基本上穩定在2.2 GPa附近，這說明2條裂隙間巖橋傾角對裂隙試樣彈性模量幾乎沒有影響。泊松比是試樣橫向應變與縱向應變比值的絕對值。隨巖橋傾角增加，裂隙試樣泊松比卻發生了與峰值強度不一樣的變化，泊松比隨巖橋傾角增加而有所降低。

1—彈性模量；2—泊松比

2.3 應力?應變曲線分析

在本次數值模擬計算中，當實時應力為峰值應力的80%時，即停止計算。因而，得出的不同巖橋傾角試樣的應力?應變曲線如圖8所示，在相同的加載速率條件下，不同巖橋傾角試樣達到峰值強度時的應變不同。對比圖8與圖5發現：隨巖橋傾角的變化，峰值時刻應變的變化規律與峰值應力變化有相似之處。當巖橋傾角為60°時，裂隙試樣的應變最小；當巖橋傾角為90°時，裂隙試樣應變最大。除巖橋傾角為75°試樣的峰值應力高于巖橋傾角為15°試樣的峰值應力，但其峰值應力時的應變卻小于15°試樣峰值應力時的應變。而且，當采用數值模擬試驗時，各試樣在達到峰值強度前，有著近似線性的應力?應變關系。這與通常室內試驗得到的裂隙試樣應力?應變曲線不同，主要是因為室內試驗存在著較多的影響因素，如端部效應、裂紋不均勻擴展、裂隙表面有效摩擦力、試樣制作材料不均一性等。

傾角/(°)：1—15；2—30；3—45；4—60；5—75；6—90

3 裂隙試樣破壞方式分析

3.1 15°巖橋傾角試樣

由前面分析可知：顆粒之間是通過接觸黏結形成完整試樣，接觸黏結具有一定的強度，該強度表現為切向黏結強度和法向黏結強度。當破壞力超過其中任一強度時，該接觸黏結就會被破壞。當接觸黏結在切向方向發生剪切破壞時，或在法向方向發生拉伸破壞時，在黏結破壞處標記，見圖9(b)。標記密集處，說明此處應力較大，容易形成破壞裂紋。

圖9所示為15°巖橋裂隙試樣在單軸荷載下的破壞過程。圖9(a)所示為其應力?應變曲線，并在曲線上分別標記出了裂紋起裂、軸向應力為峰值應力90%、峰值應力和殘余應力為峰值應力80%時的應力點，圖9(b)所示為相對應軸向應力時的裂紋擴展圖。首先，裂紋形成發生在裂隙的兩端，這驗證了裂隙尖端會形成應力集中效應。當第1條裂紋萌生時，標記出現在裂隙尖端，說明此處處于拉應力狀態，會形成拉伸裂紋(見圖9(b)中Ⅰ)，但此時裂紋尚未擴展，隨著加載繼續，裂紋與裂隙呈一定傾角方向擴展，裂隙尖端出現明顯的拉伸裂紋(見圖9(b)中Ⅱ)，但在裂隙尖端也存在剪應力，此時，試樣并未完全破壞，還有一定的應力儲備。隨后，在靠近巖橋兩裂隙尖端的裂紋向裂隙傾角方向擴展，最終在拉剪復合應力作用下形成了環形裂紋(見圖9(b)中Ⅲ)。因為環形裂紋的出現，貫通巖橋的裂紋就沒有出現，這也就是15°巖橋試樣峰值強度較高的原因。當環形裂紋貫通后，終將形成一個“核”。此情形已在試驗中部分試樣破壞過程得到驗證，如文獻[4]所說的魚眼狀核，以及文獻[13]中也觀察到此情形。當達到峰值應力后，如繼續加載，裂隙周圍材料會被壓碎，形成較大的破壞裂紋(見圖9(b)中Ⅳ)。

(a) 15°巖橋試樣應力?應變曲線；(b) 15°巖橋試樣破壞圖

3.2 60°巖橋傾角試樣

圖10所示為60°巖橋試樣應力?應變曲線和破壞示意圖。對比圖10(a)與10(b)可知：裂隙試樣在開裂前已經產生了一定的形變，但是在裂紋萌生之前，試樣內顆粒之間的接觸黏結都尚未破壞。隨著軸向荷載的增加，第1條裂紋產生(見圖10(b)中Ⅰ)，此時的軸向應力約為峰值應力的68%，應力集中出現在裂紋尖端，只是在裂隙尖端有些接觸黏結因拉伸而破壞，裂隙尖端出現了少量的拉伸裂紋。隨著裂隙尖端處顆粒間的接觸黏結繼續失效，當軸向應力為峰值應力的90%時，遠離巖橋端上面一條裂隙形成剪切裂紋，但下面一條裂隙遠離巖橋端形成拉伸裂紋，巖橋兩端主要為拉應力，并有貫通的趨勢(見圖10(b)中Ⅱ)。當達到峰值應力時，巖橋貫通，沿裂隙傾向方向，試樣對角出現應力集中現象(見圖10(b)中Ⅲ)。如果繼續施加荷載，最終會形成沿裂隙、巖橋傾向的貫通裂紋，試樣在沿裂隙方向的對角也容易出現應力集中現象，相比另外2個對角的應力稍大，但是相對于裂隙周圍的應力偏小(見圖10(b)中Ⅳ)。因為60°巖橋試樣容易沿巖橋形成貫通裂紋而破壞，所以60°巖橋試樣的峰值應力較小。巖橋為30°和45°試樣的破壞方式與巖橋60°試樣的破壞方式相似。

(a) 60°巖橋試樣應力?應變曲線；(b) 60°巖橋試樣破壞示意圖

3.3 90°巖橋傾角試樣

圖11所示為90°巖橋試樣應力?應變曲線和破壞示意圖。90°巖橋試樣起裂時，在裂隙尖端出現拉應力集中現象，裂紋萌生也出現在裂紋尖端(見圖11(b)中Ⅰ)，當軸向應力達到峰值強度的90%時，裂紋擴展非常明顯，且與裂隙呈一定傾角擴展，主要是在遠離巖橋的裂隙尖端擴展，且裂紋中既有拉應力形成的裂紋，也有剪應力形成的裂紋(見圖11(b)中Ⅱ)。當軸向應力達到峰值應力時，在2條裂隙遠離巖橋端，分別形成了遠離巖橋的翼型裂紋，翼型裂紋由拉剪復合應力形成，且裂紋有向試樣縱向邊界和裂隙傾角方向擴展的趨勢，但是此時巖橋并未貫通，只是在巖橋兩端形成了拉剪復合應力狀態(見圖11(b)中Ⅲ)。當裂隙試樣殘余強度達到峰值強度的80%時，破壞裂紋非常明顯，翼型裂紋已向邊界貫通，但此時巖橋仍并未完全貫通(見圖11(b)中Ⅳ)。因此，90°巖橋傾角試樣具有較高的峰值應力。75°巖橋試樣與90°巖橋試樣有近似相同的破壞模式。

(a) 90°巖橋試樣應力?應變曲線；(b) 90°巖橋試樣破壞示意圖

4 結論

1)巖橋傾角對含2條裂隙試樣彈性模量的變化極小，但是對峰值強度和起裂應力具有較大影響。隨巖橋傾角變化，裂隙試樣單軸抗壓強度與起裂應力有相似的變化關系。

2) 巖橋傾角影響裂隙試樣在峰值應力時的應變率，除巖橋傾角75°試樣外，峰值應力越大，達到峰值應力時的應變率越大。

3) 巖橋傾角影響裂隙試樣的破壞模式，單軸荷載下，15°傾角巖橋試樣兩端形成環形裂紋，90°傾角巖橋較難貫通，60°傾角巖橋最容易形成貫通裂紋。因此，15°和90°傾角巖橋試樣峰值強度比其他試樣的高，60°傾角巖橋試樣峰值強度最低。

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Numerical analysis of mechanical behavior of rock sample with two flaws under uniaxial compressive loading based on PFC3D

FAN Xiang1, 2, CAO Ping1

(1. School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;2. School of Highway, Chang’an University, Xi’an 710064, China)

Based on the contact-bonded model in Particle Flow Code 3D, a discrete element method software, a numerical model with two flaws was established and the micro-parameters for this model were obtained by calibrating experimental data. The slant angle of rock bridge was set to the degrees from 15° to 90° with an interval of 15°. The effect of rock bridge angle on peak strength, crack initiation stress, elastic modulus, failure mode and strain at the point of peak stress was investigated. The results show that for the numerical rock sample with two flaws, the slant angle of rock bridge has little influence on elastic modulus, but major influence on peak strength and crack initiation stress. As slant angle of rock bridge changes, the changing relation between uniaxial compressive strength and rock bridge angle is similar to that between crack initiation stress and rock bridge angle. Rock bridge angle has some effect on the strain at the point of peak strength and crack propagation, and it is easy to coalesce for 60° rock bridge but hard for 15° and 90° rock bridge.

numerical simulation; PFC3D; flaw; rock bridge; crack propagation

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.07.034

TU52

A

1672?7207(2015)07?2635?08

2014?07?04；

2014?10?02

國家自然科學基金資助項目(51174228)；國家留學基金委資助項目(201206370124) (Project(51174228) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(201206370124) supported by the China Scholarship Council, China)

曹平，教授，博士生導師，從事巖石斷裂力學研究；E-mail: pcao_csu@163.com

(編輯 楊幼平)