機電集成電磁蝸桿傳動在系統參數激勵下的穩定性分析

關雪梅　郝秀紅

燕山大學，秦皇島，066004

機電集成電磁蝸桿傳動在系統參數激勵下的穩定性分析

關雪梅郝秀紅

燕山大學，秦皇島，066004

考慮到機電集成電磁蝸桿傳動系統的參數振動由外界的激勵產生，通過系統內參數的周期性改變間接地實現，推導出描述參數振動的數學模型為周期變系數的常微分方程；通過對系統轉動慣量波動進行分析可知系統是穩定的；利用系統參數剛度矩陣和小參數導出系統微分方程，將其正則化得到系統微分方程的通解，進而得到判斷因子，從而確定系統的動力穩定狀態，并用具體算例進行了驗證。

機電集成；電磁蝸桿傳動；轉動慣量；嚙合剛度；穩定性分析

0　引言

隨著現代科學技術的不斷發展，多學科之間的交叉與滲透越來越深入，實現機、電與控制有機結合的廣義復合傳動機構已成為機械科學領域的國際性前沿課題[1-2]。本文給出了一種機電集成電磁蝸桿傳動機構，該機構是電磁驅動技術與傳統蝸桿傳動技術相結合的一種新型傳動形式，是一種有源、無接觸的廣義復合運動，它集蝸桿傳動和電動機功能于一體，進一步增強了蝸輪蝸桿傳動的功能，具有實際應用價值，可廣泛應用于航空航天、軍事、車輛等要求結構緊湊的領域。

機電集成電磁蝸桿傳動機構的驅動特點是蝸桿產生的環面旋轉磁場驅動以多個永磁體為輪齒的蝸輪轉動，從而帶動支撐蝸輪的輸出軸轉動而實現低速大扭矩的動力輸出。參數振動由外界的激勵產生，但激勵不是以外力形式施加于系統，而是通過系統內參數的周期性改變間接地實現。由于參數具有時變性，所以參數振動系統為非自治系統。描述參數振動的數學模型為周期變系數的常微分方程，對參數振動的研究歸結于對時變系統常微分方程組零解穩定性的研究。

1　轉動慣量波動分析

機電集成電磁蝸桿傳動系統結構如圖1所示，該機構由中心環形蝸桿及裝有永磁齒的蝸輪組成。中心環面蝸桿上均勻分布著螺旋槽，槽內安放電磁線圈。當線圈內通以三相交流電時產生交變磁場，磁場力驅動蝸輪轉動，輸出轉矩。傳動系統中，蝸輪圍繞其支撐軸旋轉，由于存在安裝、制造誤差，蝸輪質心不可能恰好位于支撐軸軸心位置，這導致了蝸輪回轉中心會發生周期性波動，從而使得其轉動慣量產生周期性波動，波動幅值ΔMp與蝸輪質量以及蝸輪偏心距有關。波動頻率ωr與蝸輪回轉速度有關。圖1中，φv代表蝸桿的齒冠角。

圖1　電磁蝸桿傳動系統結構示意圖

設蝸輪轉動慣量呈正弦規律波動，則當ΔM=ΔMpcosωrt時，系統無阻尼自由振動微分方程為[3-4]

(1)

式中，K為系統剛度矩陣；M為質量矩陣；x為位移矩陣。

由于轉動慣量波動幅值很小，故可將式(1)正則化后寫為

(2)

MN=diag(MN1,1,MN2,2,…,MNi,i,…,MN3m+1,3m+1)

ΔMN=cosωrt·

diag(ΔMN1,1,ΔMN2,2,…,ΔMNi,i,…,ΔMN3m+1,3m+1)

由ΔMN的形式可知，前三項旋轉模態所對應的元素不為零，其他位置元素為零，即蝸輪轉動慣量的波動對蝸輪及蝸桿模態沒有影響[5-6]，即

(3)

對式(3)進行簡化、變形和展開處理可得

(4)

設

(5)

對式(4)進一步化簡可得

(6)

式(6)為比較典型的擬周期馬蒂厄方程，式(6)的通式可寫為

(7)

當ε=0時，為確保線性保守系統的周期解等于π或2π，必須有δ=n2(n=0,1,…)，分別對應于線性無關的特解sinnt和cosnt，除n=0時的周期解為常數值以外，n為偶數時周期為π，n為奇數時周期為2π。利用林滋泰德-龐加萊攝動法，將式(7)的解x(t)和參數δ都展開成ε的冪級數，經過求解可得[7]

(8)

進一步計算可得n取不同值時δ的表達式。

由以上討論可得到如下結論：當ωr≈ωi時,δ≈4，在δ>4+11ε2/48+…,δ<4-7ε2/48+…范圍內系統是穩定的。當ωr≈2ωi時，δ≈1，在δ>1+ε/2-ε2/32+…,δ<1-ε/2-ε2/32+…范圍內系統是穩定的。

當ωr≈2ωi/3時，n≈3，此時的穩定邊界線近似為一條線，所以系統始終是穩定的，系統穩定圖見圖2。

圖2　系統穩定圖

由上文分析可知，當n逐漸增大時，轉動慣量參數激勵對系統影響的穩定區域越來越大，轉動慣量參數激勵頻率越低，系統越穩定。當n≥3時，系統穩定邊界線近似是一條直線，此時系統總是穩定的。當n>7(ωr<75 rad/s)時，系統總是處于穩定的狀態。

ΔMp是轉子轉動慣量波動幅值，其大小決定了小參數ε的大小。所以考察小參數ε對于系統穩定性的影響，即可以反映慣量波動幅值ΔMp的影響，由圖2可知當小參數ε增大時，不穩定區域將會增大，系統穩定性變差,當小參數ε減小時，不穩定區域將會減小，系統穩定性變好。

根據以上理論分析，下面計算當轉子轉動慣量激勵頻率ωr≈2ω1時系統的穩定性。當ωr為300 rad/s、600 rad/s、1120 rad/s，ΔMNi,i/MNi,i=0.1時，系統3階旋轉模態固有圓頻率分別為295 rad/s、518.5 rad/s、1125.3 rad/s。將上面數據代入式(5)得參數值如表1所示。將表1的數據代入相應公式可得當ωr為300 rad/s、600 rad/s、1120 rad/s時，系統穩定狀態值在不同固有圓頻率范圍內的取值，見表2。

表1　算例系統方程的參數δ和ε

表2　算例系統穩定性參數δi,j和εi,j

由表1和表2各參數可知，當ωr=2ω1時系統各頻率對應的狀態點均處于穩定區域內。系統的穩定圖見圖3，可以看出此時系統是穩定的。

2　嚙合剛度波動的穩定性分析

(a)ωr=300 rad/s

(b)ωr=600 rad/s

(c)ωr=1120 rad/s圖3　轉子慣量波動激勵下機械系統穩定圖

電磁蝸桿傳動系統中蝸輪運轉時與蝸桿間的嚙合齒對數呈周期性變化，蝸輪其他方向的支撐剛度不發生變化，同時由于安放電磁線圈的蝸桿被約束，不發生轉動，因此除蝸輪扭轉振動外，本文不考慮蝸桿及蝸輪其他方向的振動情況，且假設蝸桿與蝸輪間的包角為90°，蝸輪與蝸桿間嚙合輪齒對數的變化如圖4所示[8]，其中，k為嚙合剛度，θ為包角。

圖4　蝸輪與蝸桿間嚙合輪齒對數的變化圖

由圖4可知，蝸輪與蝸桿嚙合剛度呈方波形式變化，嚙合剛度函數可表示為如下的方波形式:

(9)

當蝸輪旋轉角-5°<θp≤5°時，蝸輪扭轉振動運動微分方程為

(10)

式中，Mp為系統主質量矩陣。

將式(10)整理可得

(11)

式(11)的通解為

u1=Asinω1t+Bcosω1t

(12)

當蝸輪旋轉角5°≤θp≤40°或-40°≤θp≤-5°時，蝸輪扭轉振動運動微分方程為

(13)

將式(13)整理可得

(14)

式中，γ為蝸輪與蝸桿接觸點的導程角。

式(14)的通解為

u2=Csinω2t+Dcosω2t

(15)

積分常數A、B、C、D滿足解的連續性及正規解條件：

(16)

將式(12)和式(15)代入式(16)可得

(17)

從A、B、C、D的非零解條件導出σ應滿足的本征方程如下：

σ2-2aσ+1=0

(18)

從式(18)解出本征值為

下面分幾種情況進行討論：

(1)當|a|>1時，σ1、σ2中肯定有一個根的值大于1，其對應的解是無界的，且系統零解不穩定。

(2)當|a|<1時，σ1、σ2為共軛復根，由于σ1·σ2=1，因此共軛復根的模肯定等于1，方程的基本解是有界的，且系統零解穩定。

(3)當|a|=1時，σ1=σ2=±1為重根，其解是以T或2T為周期的周期解，是介于穩定與不穩定之間的臨界情形。

代入樣機系統參數就可得到剛度呈方波變化的系統微分方程，將其正則化得到如式(11)和式(16)所示的系統微分方程的通解，代入式(18)進而得判斷因子|a|，從而確定系統的動力穩定狀態[9]。

改變蝸輪與蝸桿的包角，蝸輪與蝸桿嚙合過程中嚙合齒對數及嚙合時間會發生變化。假設蝸輪與蝸桿之間的包角為φv。蝸輪上安裝有z個齒，系統設計需要φv>360°/z，這里先假定φv<720°/z，即嚙合過程中是單對齒與雙對齒的嚙合，則傳動過程中嚙合剛度變化情況為

(19)

由上述分析可知，式(11)和式(14)中積分常數A、B、C、D滿足解的連續性及正規解條件，即

(20)

將式(12)和式(15)代入式(20)可得

從A、B、C、D的非零解條件導出σ應滿足的本征方程如下：

σ2-2aσ+1=0

以蝸輪永磁體個數取8為例，改變包角φv大小，此時判斷因子a的變化情況如圖5所示。

(a)z=6

(b)z=8

(c)z=10

(d)z=12圖5　判斷因子a的變化圖

由圖5可知，當蝸輪上安裝有6、8、10、12個磁極，且蝸輪與蝸桿間的包角在π/4到π/2之間變化時，判斷因子a的絕對值小于1，因此系統始終是穩定的。其中，當蝸輪齒數為10時判斷因子a的絕對值較大，接近于1，其他蝸輪齒數分別為6、8、12時判斷因子a的值較小。

判斷因子a的絕對值小于1時，其值越小，系統穩定性越好，相反則系統穩定性越差。根據上述推導的公式及其變化規律，可進行系統穩定性判斷和優化參數的選取。

3　結語

機電集成電磁蝸桿傳動系統內參數的周期性改變是由外界的激勵產生的，描述參數振動的數學模型為周期變系數的常微分方程，對參數振動的研究歸結于對時變系統常微分方程組零解穩定性的研究。通過對系統轉動慣量波動分析可知系統是穩定的；利用系統參數剛度矩陣和小參數導出系統微分方程，將其正則化得到系統微分方程的通解，進而得到判斷因子，從而確定系統的動力穩定狀態，并用具體算例進行了驗證。

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HaoXiuhong,XuLizhong.ThreeDOFInternalResonancesofElectromechanicalIntegratingToroidalDriveSystem[J].ChinaMechanicalEngineering, 2012,23(24):2955-2961.

(編輯王艷麗)

Stability Analysis for Electromechanical Integrated Electromagnetic Worm Drive under Parameter Excitation

Guan XuemeiHao Xiuhong

Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei，066004

The parametric vibration of electromechanical integrated electromagnetic worm drive was caused by external excitation,and indirectly realized through the system internal parameters of periodic changes. The mathematical model describing parameter vibration was an ordinary differential equation of periodic variable coefficient. The system was stable through the rotational inertia fluctuation analysis.The system differential equation was derived by using system parameters of stiffness matrix and a small parameter,and the general solution was obtained by regularization,the determine factors were obtained, the dynamic stability status of the system was confirmed and verified by an example.

electromechanical integration; electromagnetism worm drive; rotational inertia; meshing stiffness; stability analysis

2013-07-25

國家自然科學基金資助項目(51075350)；秦皇島市科技支撐計劃資助項目(2012021A055)

TH113.1DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.05.017

關雪梅，女，1971年生。燕山大學車輛與能源學院高級工程師、博士。研究方向為磁力機械。發表論文6篇。郝秀紅，女，1979年生。燕山大學機械工程學院副教授、博士。