各向同性材料的強度校核在Matlab中的實現

李昕，沈斌（同濟大學 中德學院，上海 201804）

各向同性材料的強度校核在Matlab中的實現

李昕，沈斌
（同濟大學 中德學院，上海 201804）

在汽車設計生產中，為了能高效及時的分析車身材料的特性及其之間相互影響的關系，需要開發一款利用Matlab評估材料特性的軟件。論文介紹了由各向同性材料制成的具有不同截面的桿件在受到多個線性疊加外部靜載荷時強度校核的方法以及應力集中現象對強度的影響；其次簡述了該強度校核過程在Matlab中實現的算法思路以及主要的算法流程；最后對軟件計算結果和實際工程應用中的計算結果進行比較和誤差分析，保證計算結果的可靠性。該算法的實現保證了汽車在實現輕量化生產的同時并沒有損失其必要的安全性。

各向同性；強度校核；Matlab編程

0　引言

在汽車設計生產過程中，為了保證汽車安全性能和舒適度，需要對車身材料的性能，結構及其之間相互影響的關系進行研究分析。因此有必要開發一款利用計算機對材料性能以及各性能之間的關系進行有效評估的軟件系統。這款軟件系統是基于Matlab的編程語言開發實現的，同時材料強度是評定材料性能時最重要的標準之一，在汽車車身制造中各向同性材料也占有重要的位置。因此本文著重研究了各向同性材料的強度校核在Matlab中的實現。

本文實現了利用Matlab對不同截面的桿件或梁在線性疊加的靜載荷下的強度計算，并分析了應力集中現象對強度的影響，最后將Matlab計算出來的結果和實際計算結果進行了比較和誤差分析。

1　理論基礎

1.1單一載荷下的應力計算

強度是指某種材料或者由某種材料制成的構件抵抗斷裂或永久變形的能力。桿件最常見的四種基本變形為：拉壓，剪切，彎曲，扭轉。桿件受拉壓和彎曲所產生的應力為正應力，受剪切和扭轉所產生的應力為剪切應力。

桿件受到拉壓應力的大小等于其單位橫截面積上所受的軸向力的大小。受到切應力大小等于其單位剪切面積上所受剪切力的大小。桿件上某位置的最大彎曲應力為此位置引起形變的彎矩Mb與此截面的抗彎截面模量W的比值。桿上某位置的扭轉應力等于該位置所受扭矩Mt與該截面的抗扭截面模量Wp的比值。表1中列出了桿件分別受到四種基本變形后產生的應力計算公式。

表1　單一載荷下桿件應力計算公式Tab.1 Stress calculation formula ofrods underthe single loads

1.2截面形狀及相關幾何量

根據表1中的公式，要計算桿件在外力作用下產生應力的大小，不僅需要外部載荷，還要計算截面面積，抗彎和抗扭截面模量。這些根據桿件截面形狀及尺寸推導得出的量稱為與截面相關的幾何量。要確定這些幾何量的大小，就要先確定待研究的截面形狀。根據在汽車中常見桿件和梁的截面形狀分析，確定六種截面為主要研究對象，即橢圓，長方形，I型，T型，Z型和U型截面。其他截面均可由此六種形狀推導得出。抗彎截面模量W和抗扭截面模量Wp是兩個分別用于計算截面上產生的最大彎曲應力和扭轉應力的幾何量。它們可以分別通過計算軸慣性矩I或極慣性矩Ip與在橫截面上離中性軸最遠的點和中性軸間的距離amax的比值得出：

1.3載荷形式

桿件所受的彎矩是計算彎曲應力時一個重要的物理量。它與梁的類型以及所受彎曲載荷的形式有關。本文中主要研究常見的簡支梁和懸臂梁。對每種梁又分別研究了五種外部載荷類型，見表2。根據每種梁在不同載荷下的受力分析可以求出其關于梁長x的彎矩方程，此彎矩方程的極值，即為梁所受的最大彎矩的位置及大小，由此可求出所產生的最大彎曲應力。

表2　引起簡支梁和懸臂梁發生彎曲變形的五種載荷形式Tab.2 Five load forms that cause the bending deformation of simply supported beam and cantilever

1.4胡克定律和強度理論

根據胡克定律，當材料處于線彈性變形范圍內時，其變形所產生的應力σ，τ與應變ε，γ成線性比例關系，比例系數為彈性模量E或剪切模量G：

要校核桿件的強度還需合適的強度理論作為基礎，常用的強度理論有最大拉應力，最大切應力以及形狀改變比能理論。最大拉應力理論認為材料發生脆性斷裂的主要原因是最大拉應力σ1達到極限值σb，它用于校核脆性材料發生斷裂破壞時的強度。其強度條件：

式中：S—安全系數；［σ］—許用拉應力。最大切應力理論用于校核塑性材料發生塑性流動破壞或者滑移斷裂時的強度。理論上認為無論構件處于何種應力狀態，構件危險點的最大切應力τmax達到了材料在單向拉伸屈服時的極限剪應力τ0，是發生塑性流動的主要原因。由于：

用主應力表達的最大切應力理論的強度條件為：

式中：σ1，σ3—構件危險點的最大和最小主應力；σ—材料屈服極限。形狀改變比能理論認為：塑性材料發生屈服的主要原因，是構件危險點的最大形狀改變比能達到了一個極限值。該理論用主應力表達的強度條件為：

式中：σ1，σ2，σ3—構件危險點的主應力。將這三個強度理論分別用應力轉換公式轉換為用拉壓應力，彎曲應力和扭轉應力表達的平面應力狀態下的強度條件公式如下：

式中：σzd—構件危險點的最大拉或壓應力；σb—構件危險點的最大彎曲應力；τt—構件危險點的最大扭轉應力。通過計算桿件受到線性疊加的合成載荷下所產生最大拉壓應力，彎曲應力及扭轉應力，判斷其可能的失效形式后通過相應的強度理論，可以對桿件的強度利用公式（8）～（10）進行校核。

1.5應力集中現象

在實際工程中所使用的桿件往往是經過開槽，挖孔，做軸肩后的桿件。這會使桿件的橫截面積尺寸發生局部突變。根據實驗可得，在尺寸發生突變的橫截面應力分布是不均勻的。從圖1可以看出，應力在孔和凹槽的邊緣發生急劇升高，這種由于尺寸變化引起局部應力增大的現象叫做應力集中現象。

應力集中系數αk可以反映出桿件在靜態外載荷作用下應力集中的程度，它是應力集中處的最大應力 σmax與凈截面上的平均應力σn的比值：

圖1　圓孔和凹槽處的應力集中現象Fig.1 Stress concentration at the hole and the groove

應力集中系數與構件的材料無關，而與切槽的深度，孔的大小以及變截面的過渡圓弧大小有關。表1中所羅列的應力計算公式均用于計算等直桿在靜載荷作用下凈截面上的平均應力大小，在進行強度校核時，還需要考慮到應力集中現象，求得應力集中處的最大應力，再通過強度理論求得用于與許用應力進行比較的比較應力。常見幾種構件的應力集中系數，可以在相關的工程手冊中查詢。

2　強度計算在Matlab中的實現

2.1計算總流程

利用Matlab實現強度計算時，首先要根據構件所受外部載荷的種類及大小分別計算出最大拉壓，彎曲和扭轉應力。但此應力僅是構件凈截面上所受的最大平均應力。因此還必須要考慮到實際工程的應力集中現象。各應力分別乘以相應的應力集中系數，即可獲得應力集中現象下的截面最大應力。將計算得出的最大應力帶入合適的強度條件公式中，即可得出比較應力。如果比較應力沒有超過材料的許用應力，即可說桿件在這種外部載荷下滿足強度條件，強度足夠。計算總流程見圖2。

2.2最大合成應力的計算

為了求出構件凈截面的最大平均應力，要首先分別求出構件危險截面的所受外部載荷的大小。想要求出凈截面上最大拉壓應力的大小，可根據胡克定律將可以引起拉壓應力的外部載荷（拉/壓力）線性疊加，求出合成載荷，然后根據表1中的應力計算公式計算構件的合成應力的大小。用同樣的方法對構件所受的扭矩進行疊加然后利用表1中的公式，也可以求得合成扭轉應力的大小。

但要計算構件所受的最大彎矩要先在程序中確認梁的種類，其次要分析引起彎曲應力的外部載荷。這些外部載荷可以根據胡克定律分解為單一的外部載荷，每種單一外部載荷都有對應的關于梁長x的撓度和彎矩方程，將這些單獨的彎矩方程線性疊加之后便得到了一個關于梁長的總彎矩方程。利用 Matlab程序語言求出這個方程在梁長范圍內的極值，即為梁所受最大合成彎矩，然后利用彎曲應力計算公式，可以求出凈截面在受多個線性疊加外載荷時產生的最大彎曲應力的大小。計算合成彎曲應力的算法流程如圖3所示。

圖2　在Matlab中實現強度計算的總流程圖Fig.2 Master Flowchart of the strength calculation with Matlab

圖3　計算合成彎曲應力的算法流程圖Fig.3 Algorithmic Flowchart of the calculation of resultant bending stress

2.3應力集中系數的計算

應力集中系數一般可以根據構件尺寸，應力集中類型和受載荷形式在應力集中系數曲線上讀出。但在Matlab中這種方式效率低下并且不易于代碼的實現。觀察常見的應力集中系數曲線可以發現，這些曲線可以歸納為關于構件尺寸和危險截面尺寸的方程。利用這些方程，就可以在Matlab中計算出近似的應力集中系數。

文獻［4］中給出了通過實驗和數值分析方法進行驗證得出的應力集中系數近似方程。通過近似方程計算得出的應力集中系數和圖表讀取的應力集中系數有大約10%的誤差，但這樣的誤差精度對于我們強度校核的影響是很小的，于是在Matlab實現過程中，使用了近似方程進行應力集中系數的計算。

表3是文獻［4］中給出的其中一個近似方程。它用于計算方形桿和圓形桿在具有切槽和軸肩時分別受拉壓、彎曲和扭轉時的應力集中系數。

表3　圓形桿和對稱方形桿應力集中系數計算近似方程Tab.3 Approximate equation for calculating the stress concentration factor of round and symmetrical square rods

3　計算結果驗證及誤差分析

為保證Matlab計算結果的正確性，要確保每個子程序計算結果正確。在整個程序中，其他子程序均可通過簡單的公式帶入來驗證計算結果的準確性，但是在計算最大彎矩時用到了 Matlab中的方程極值計算函數fminbnd（f（x），a，b），為了確定這個函數可以準確的計算出合成彎矩方程的極值，我們進行了如下的驗證。

如圖4所示，一個懸臂梁同時受到了單力、均布和遞減載荷的作用發生彎曲，產生彎曲應力。現將其分解為分別單獨受到這三種載荷的三個相同的懸臂梁，可得到如下的三個單獨彎矩圖。

圖4　受到線性疊加載荷的懸臂梁線性分解為三個受單一載荷的懸臂梁Fig.4 Linear decomposition of cantilever by linear superposition load in three cantilevers by single loads

根據這三個彎矩圖可以看出，懸臂梁受到最大彎矩位置在梁首，即x=0處，最大彎矩的大小為分解后三個梁首所受彎矩之和，即：

將相同的數據帶入Matlab程序中，可得到：

xk=4.5085e-05

Bkmax=2.3333e+03

比較兩個計算結果可以看出，Matlab可以準確計算出合成總彎矩方程的極值Bkmax。xk為極值出現的位置，由于Matlab程序本身的計算精度這個值產生了微小的誤差，可忽略不計。

其次在用Matlab求應力集中系數時采用了近似方程，而非傳統的讀取應力集中系數曲線，因此兩個結果間存在誤差。經大量數據測試，利用近似方程求出的應力集中系數普遍超過曲線中讀取結果的10%左右。這說明，當Matlab計算出的構件強度滿足強度條件時，在實際工程中這個構件一定滿足強度要求不會發生失效。因此，計算應力集中系數而產生的誤差使強度得到了更為保守安全的校核結果，是可接受的誤差。

4　結論

本文利用胡克定律和強度理論，實現了利用Matlab編程計算具有不同截面的各向同性材料制成的桿件在靜態的復合外部載荷下的強度計算。對計算結果進行誤差分，確保在適度誤差下桿件在實際工程中也不會發生失效，從而保證校核結果的可靠性。通過在Matlab中實現各向同性材料的強度計算，可以在汽車產品設計的早期階段就對相關構件進行強度校核，保證汽車在足夠的強度和安全性能下達到輕量化生產的目標。

［1］宋子康，蔡文安.材料力學［M］.上海同濟大學出版社，1997.

［2］同濟大學航空航天與力學學院基礎力學教學研究部.材料力學［M］.上海同濟大學出版社，2011.

［3］Gross，D.；Hauger，W.；Schr?der，J.；Wall，W.A.：Technische Mechanik 1.Statik.10.Auflg.Berlin，Heidelberg：Springer-Verlag，2011.

［4］Haibach，E.：Betriebsfestigkeit-Verfahren und Daten zur Bauteilberechnung.3.Auflg.Berlin，Heidelberg：Springer-Verlag，2006.

Strength Calculation of Isotropic Materials with Matlab

LI Xin，SHEN Bin
（Sino-German Kollege，Tongji University Shanghai，Shanghai 201804，China）

In order to realize the efficient and fast analysis of the properties of various materials in carrosserie，it is of realistic significance to take use of Matlab to assess the material properties.This article describes the methods of strength calculation，when the rods with different cross-sections，which are made of isotropic materials，are subjected to multiple linear superposition of external static load.Besides，the effects of stress concentration are also discussed in this article.What's more，the main ideas of the algorithm，which are used to implement the strength calculation of isotropic materials with Matlab，are presented after the theoretical basis.Finally，to ensure the reliability of the results，the results from Software and practical calculation are compared and the errors are analyzed.The implementation of this algorithm proves that the security of vehicles can be ensured during the realization of lightweight production.

isotropic；strength calculation；Matlab programming

TQ9

Adoi：10.3969/j.issn.1002-6673.2015.05.026

1002-6673（2015）05-068-04

2015-07-14

李昕（1989-），陜西人，碩士研究生。研究方向：機械制造及其自動化；沈斌（1955-），上海人，現任同濟大學中德學院機械信息技術基金教研室教授、主任、中國自動化學會制造技術專業委員會委員、中國機電一體化應用技術協會理事。研究領域：制造系統與自動化技術、網絡化設計與制造及其相關技術、CAD/CAPP/CAM及PDM集成技術、智能制造技術。