數(shù)學(xué)視野下的3D打印課程設(shè)計(jì)

陳揚(yáng)帆

課程設(shè)計(jì)與課程定位

本課程是浙江省溫州中學(xué)面向高一年級(jí)開設(shè)的一門理論與實(shí)踐并重的知識(shí)拓展類課程。課程以3D建模為落腳點(diǎn)，主要介紹如何在3D建模軟件（OpenSCAD）中創(chuàng)建3D模型，以數(shù)學(xué)方法描述物體和它們之間的空間關(guān)系，用數(shù)學(xué)函數(shù)、數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)與計(jì)算機(jī)語言，創(chuàng)建立體三維模型，并用數(shù)學(xué)中的相關(guān)知識(shí)去解釋、分析模型的形成和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，使學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)，提高綜合處理問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。

與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)稍顯不同的是，本課程旨在鋪設(shè)一個(gè)3D建模的平臺(tái)讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)有什么用，如何用數(shù)學(xué)方法解決問題，即培養(yǎng)學(xué)生如何從數(shù)學(xué)視角來觀察身邊的世界。

課程目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生掌握常用SCAD語言以及輔助工具的使用；能繪制中等復(fù)雜程度的3D模型；了解運(yùn)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行3D建模的一般過程，掌握幾種常用函數(shù)模型，并能夠利用模型做簡(jiǎn)單的運(yùn)用；提高學(xué)生推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、語言組織、語言表達(dá)等基本能力；提高其科學(xué)地提出、分析和解決問題的能力。發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，力求對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考并做出判斷。

本課程以學(xué)生上機(jī)操作的方式，分為“初識(shí)3D打印”“3D數(shù)學(xué)博物館”“SCAD基本操作”“SCAD基礎(chǔ)立體模型”“SCAD基本語言”“SCAD綜合應(yīng)用”“認(rèn)識(shí)Google SketchUp”七個(gè)專題共18個(gè)課時(shí)。

課程開展形式以小組為單位，3～4人一組，完成平時(shí)作業(yè)及期末作品。

本課程的結(jié)課作業(yè)為“你眼中的溫州中學(xué)”。具體如下：

①小組為單位，討論決定最終的目標(biāo)模型（可以是溫州中學(xué)的某個(gè)建筑，如英語角、行政樓；也可以是某個(gè)裝飾物；或者自行設(shè)計(jì)一個(gè)校園建筑物）；

②帶上工具（紙、筆、相機(jī)等）在校園中記錄下必要的數(shù)據(jù)（如建筑的比例等），畫出平面圖、三視圖；

③分工合作，用OpenSCAD或SketchUp做出模型，并用3D打印機(jī)打印出成品。

課程特色

1.數(shù)學(xué)的應(yīng)用性與科技新技術(shù)（3D打印）巧妙結(jié)合

本課程以3D打印為背景，以3D建模為落腳點(diǎn)，用數(shù)學(xué)方法描述物體和它們之間的空間關(guān)系，用數(shù)學(xué)函數(shù)、數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)與計(jì)算機(jī)語言創(chuàng)建三維立體模型。

例如，在第二章“3D數(shù)學(xué)博物館”第一節(jié)“誰讓數(shù)學(xué)‘活了”中，運(yùn)用3D打印技術(shù)將一些有趣的數(shù)學(xué)模型具體化，如分形幾何體（如圖1）、莫比烏斯環(huán)（如圖2），讓學(xué)生了解拓?fù)漕I(lǐng)域，走近數(shù)學(xué)，讓原本枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得生動(dòng)有趣。

2.數(shù)學(xué)建模的初體驗(yàn)

數(shù)學(xué)的重要應(yīng)用便是建模，本課程就是以培養(yǎng)學(xué)生建模能力為目標(biāo)之一的課程。從第二章開始，介紹如何從二維平面建模拓展到三維空間模型的建立，引入空間直角坐標(biāo)系，學(xué)會(huì)運(yùn)用坐標(biāo)系在3D空間中精確度量位置、距離和角度。

第四章從四個(gè)基本幾何模型（球體、長(zhǎng)方體、圓柱體、多面體）的建立開始，掌握決定模型形狀的幾個(gè)參數(shù)。第五章中鏡面對(duì)稱（mirror）語句的運(yùn)用，需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力。

第六章中介紹幾個(gè)集合運(yùn)算（交、并、補(bǔ)），如圖3中兩個(gè)模型的交集便是圖4所示的形狀，這是高中數(shù)學(xué)必修一“集合”一章的最恰到好處的直觀感受和實(shí)際應(yīng)用。

在第六章“常見的數(shù)學(xué)案例”中，鼓勵(lì)學(xué)生將高中階段所學(xué)習(xí)的幾個(gè)常見的函數(shù)用OpenSCAD進(jìn)行描述、建模。

3.探究學(xué)習(xí)與自主學(xué)習(xí)為主體

本課程教學(xué)地點(diǎn)在微機(jī)房，每節(jié)課每位學(xué)生都能自己操作嘗試，以小組為單位，教師以引導(dǎo)、釋疑為主，側(cè)重探究性學(xué)習(xí)和討論學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，創(chuàng)新設(shè)計(jì)。

4.教與學(xué)的開放性與發(fā)展性

每節(jié)課都有一個(gè)開放性的作業(yè)，學(xué)生在上機(jī)操作、小組討論、完成作業(yè)的過程中往往能夠探究出超出本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的知識(shí)，而教師也可以通過課堂上學(xué)生的發(fā)言、檢查學(xué)生作業(yè)的過程發(fā)現(xiàn)問題，并進(jìn)一步完善本課程的教學(xué)。

案例——構(gòu)建一個(gè)亭子

本節(jié)課選擇了一個(gè)切入點(diǎn)——旋轉(zhuǎn)擠壓（rotate_extrude），通過一個(gè)實(shí)例“構(gòu)建一個(gè)亭子”，運(yùn)用問題鏈層層深入，啟發(fā)學(xué)生明確空間體形成的一個(gè)過程規(guī)律。

本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生對(duì)立體幾何體從二維到三維形成過程的理解，提高學(xué)生的空間想象能力，并挖掘?qū)W生的創(chuàng)造力，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)熱情。

在課堂開始，帶領(lǐng)學(xué)生回顧之前所學(xué)的幾類基本語言，包括基本模型（方體、球體、圓錐體、多面體等）、基本動(dòng)作語言（位移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等）以及兩類基本運(yùn)算（求交和求差），在此前的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生能否用已有的知識(shí)建立一個(gè)具體的模型——亭子（如圖7）。

課堂活動(dòng)以小組討論為主，之后小組代表上臺(tái)闡述本小組對(duì)于亭子的建構(gòu)的設(shè)計(jì)方案以及過程中可能會(huì)遇到的一些技術(shù)問題，得到的結(jié)論是：若想使模型建構(gòu)得更加精致，語言更加簡(jiǎn)潔，我們還需要學(xué)習(xí)新的語言，從而引入“旋轉(zhuǎn)擠壓”。

在介紹“旋轉(zhuǎn)擠壓”的語法及原理后，以圓錐體的形成為例，教師現(xiàn)場(chǎng)操作如何把直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐體，讓學(xué)生對(duì)此語言有一個(gè)直觀和清晰的認(rèn)識(shí)。

接下來，給出學(xué)生三個(gè)問題。問題一：如何構(gòu)建一個(gè)圓柱體——引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)多邊形中“點(diǎn)”的設(shè)定是有一定順序的；問題二：如何做一個(gè)內(nèi)空的頂蓋——強(qiáng)調(diào)平面圖形在形成三維圖形中的重要性；問題三：如何做一個(gè)復(fù)雜的多邊形頂蓋——強(qiáng)化學(xué)生訓(xùn)練“旋轉(zhuǎn)擠壓”語言，以便熟練操作。這三個(gè)問題，逐步給出，每一個(gè)問題均由學(xué)生自己探索后上臺(tái)演示。

最后環(huán)節(jié)，讓學(xué)生以小組為單位，建立一個(gè)亭子的模型，并給予展示。

整節(jié)課用幾何體的變換，從點(diǎn)到線，進(jìn)而到面的變形，讓學(xué)生充分發(fā)現(xiàn)空間幾何體內(nèi)在的聯(lián)系，提高學(xué)生的空間變換能力，將3D課程與數(shù)學(xué)學(xué)科特色相結(jié)合，以3D打印為立足點(diǎn)，真正將數(shù)學(xué)“學(xué)”在生活，“用”在生活。