注重數學實質突出內在聯系
——青島版義務教育教科書·數學九年級上冊第二章“解直角三角形”介紹

☉山東省沂南縣教育局　李樹臣

注重數學實質突出內在聯系
——青島版義務教育教科書·數學九年級上冊第二章“解直角三角形”介紹

☉山東省沂南縣教育局李樹臣

解三角形包括解直角三角形和解斜三角形兩類問題.對于解斜三角形，可以通過作斜邊上的高，將其轉化為解直角三角形問題.因此，解直角三角形在解三角形這一內容中占有重要的地位.在生產、生活及相關學科中，我們經常遇到測量和計算距離、高度、角度等實際問題.這些問題都可以歸結為求直角三角形中的邊或角的問題.因此，學習本章有著重要的理論價值和實用價值.

通過本章的學習以及運用相關知識解決一些簡單的實際問題，可使學生進一步體會轉化、數形結合和模型思想，感受數學的價值，開闊視野，發展能力，增強應用意識和創新意識.

一、本章內容概述與教學目標

1.知識結構

如圖1所示.

圖1

2.內容概述

本章是在同學們學習了相似三角形、勾股定理和函數等有關知識的基礎上展開的，主要內容是銳角三角比的概念以及利用銳角三角比解直角三角形.

本章包含五節，第一節主要研究正弦、余弦和正切的概念.教科書開始用“實驗與探究”欄目創設了一個由四個問題構成的問題情境.第一個問題是從學生熟悉的生活情境出發，以“平滑木板”為素材設計的.首先把木板的一端抬起，構造定角A，用表格給出四組數據，然后計算五個比值.其目的是讓學生通過計算發現：當∠A的大小固定后，木板上任意一點距地面的高度與該點到A點的距離的比都等于同一個常數.第二個問題是一般化的問題，我們將問題抽象為在任意銳角A的一邊上任取兩個點，目的是讓學生通過思考猜測到（如圖2），并利用相似三角形的性質加以證明.同時還向學生暗示了：如果放到直角坐標系中來考察的話，這個比便是∠A的終邊上任意一點的縱坐標y與這一點到原點的距離r的比值（如圖3）.這樣的設計對培養學生的合情推理能力是非常必要的.第三個問題起著過渡作用，目的是為引出三角比的概念降低“臺階”.學生不難發現：對確定的銳角A來說，比值k與點B′在AB邊上的位置無關.第四個問題是為了讓學生認識到比值k與∠A的大小是有關的：這個比值隨∠A的確定而確定，與點在∠A的終邊上的位置無關.

圖2

圖3

學生在思考與解答完上面四個問題后，會得到這樣的認知：∠A為Rt△ABC中一個確定的銳角，雖然Rt△ABC的大小可以變化，但它們都是相似的，所以∠A的對邊與斜邊的比值不變，即對于每一個銳角A，都有唯一確定的比值與之對應.這個唯一確定的比值就是一個新的知識，這時給出定義的時機已經成熟，于是教科書中隨之給出∠A的正弦概念.

類似地，給出∠A的余弦和正切的概念，從而給出銳角三角比的概念.

第二節是利用銳角三角比的定義，探究幾個特殊角（30°、45°、60°）的三角比的求法，并運用這些值進行計算.教科書從學生熟悉的三角尺出發，引出求30°、45°、60°的三角比問題.首先用“實驗與探究”設計了三個求這幾個特殊角的三角比的探索活動，在探求到它們的值之后，為便于學生記住這些特殊角的三角比的值，教科書用“觀察與思考”欄目，引導學生通過填表、觀察，找出它們之間的規律.然后通過兩個例題解決了兩方面的問題：一是已知特殊角，求其三角比；二是已知特殊角的三角比，求這個特殊角.最后給出了一個“挑戰自我”的問題，為學生研究銳角三角比提供了廣闊的思維空間，這個問題有利于激發學生自主探索數學問題的熱情.

第三節介紹了用計算器求銳角三角比的方法.

第四節主要研究了直角三角形中的邊角關系和解直角三角形的知識.教科書首先系統總結了直角三角形中五個元素（除直角外）之間的關系，然后提出了解直角三角形的概念，在此基礎上，以勾股定理和銳角三角比為工具，通過三個例題研究了三角形的解法.其中例1和例2研究的是直角三角形的問題，例3是一個解斜三角形的問題，通過添加輔助線，把圖形分割為直角三角形，從而利用解直角三角形的知識完成解答.這樣安排一方面彰顯了解直角三角形的地位，同時又一次體現出轉化思想的重要性.

第五節用五個具體例子說明了解直角三角形的應用，并總結出用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程（如圖4）.

圖4

這個過程強調了數學建模的構建過程，凸顯了數學建模的思想，強化了數形結合的思想.

可以說第一節是后面四節內容的基礎，通過后面四節的學習，又鞏固和提高了對第一節所安排的基礎知識的學習，同時也使同學們對函數的概念及其本質有了更深層次的認識.

3.教學目標

（1）利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角比（sinA、cosA、tanA），知道30°、45°、60°角的三角比.

（2）會使用計算器由已知銳角求它的三角比；由已知的三角比求它對應的銳角.

（3）能用銳角三角比解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題.

（4）培養學生運用數學知識分析和解決實際問題的能力，增強學生的應用意識.

（5）感受直角三角形的邊與角、數與形之間的聯系，體驗轉化、數形結合等數學思想在解決數學問題中的作用.

二、編寫時重點考慮的幾個問題

本章作為九年級上冊的第二章，從時間和初中階段的數學課程內容來說，都已經超過三分之二.之前，學生已經學習了平面圖形的有關知識、數的開方、勾股定理、相似三角形及二次根式等知識，這些就是學習本章知識的基礎.而且經過兩年多的初中數學學習，學生自主探究、觀察思考、合作交流的學習習慣也已初步形成.因此，根據《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標2011年版”）在“課程基本理念”中提出的“課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索”要求，以及“課標2011年版”對教科書編寫提出的“科學性、整體性、過程性、現實性、彈性和可讀性”的具體建議，我們確定了本章的編寫意圖.

（1）突出課程內容的數學實質.無論素材的選擇還是情境的創設等，都要與數學內容有實質性的聯系.

（2）強調“問題意識”.精心設計“觀察與思考”“實驗與探究”“交流與發現”三個板塊下的數學活動，提出反映數學本質的、有助于活動開展的、適合學生思考與探索的問題，以此引導學生進行有效的學習.

（3）遵循青少年心理和生理的發展規律.

（4）遵循從特殊到一般、從具體到抽象的研究方法.這是進行數學研究活動、發現數學規律的基本方法.

（5）課程內容的組織重視過程，努力處理好過程與結果的關系，使學生經歷完整的概念形成過程.

（6）注重模型思想、應用意識的培養.

基于以上意圖，在具體編寫時，我們主要考慮了以下五個問題.

1.三角比名稱的確定問題

“課標2011年版”對銳角三角函數概念的教學要求是“利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數（sinA、cosA、tanA）.”我們經過反復研究這一要求，結合它們的定義過程，認為：對于這些概念，主要是通過“相似三角形的對應邊成比例”去研究的，而不是從變量和函數的角度去研究的.在定義過程中“比”是核心知識，所以我們把銳角A的正弦、余弦、正切定義為銳角A的三角比，而不是銳角三角函數（這一點與有些版本的教科書的提法不一樣），我們認為叫銳角三角比更能反映它們的實質，也能很好地體現“課標2011年版”的上述要求.

2.把握概念的內涵與外延

對概念的深化認識必須從概念的內涵與外延上作深入的剖析，剖析概念的內涵就是抓住概念的本質特征.對于銳角三角比，我們抓住正弦進行剖析，正弦在本質上是一個“比”.為了突出這個比值，結合上面的圖2，說明如下.

（1）正弦是一個比；

（2）這個比是∠A的終邊上任意一點的縱坐標y與這一點到原點的距離r的比值；

（3）這個比值隨∠A的確定而確定，與點在∠A的終邊上的位置無關（這一點可用相似三角形的原理來說明）；

（4）由于|y|≤r，所以這個比值不會超過1.

事實上，對于∠A的每一個確定的值，都有一個確定的比值與之相對應（這一點體現了函數概念的本質，所以有的版本的教科書一直沿襲傳統教科書的提法，叫銳角三角函數）.學生認識到這一點，他們對正弦的理解就比較深刻了.

以上就是正弦概念的本質屬性.教科書的編寫過程就充分體現了這個本質.

另外，∠A的終邊上的一點P（x，y）一旦確定，就涉及x、y、r這三個量（見圖3），任取其中兩個就可以確定一個比值，這樣的比值有且只有六個.因此，基本銳角三角比有且只有六個，這便是銳角三角比的外延，在初中我們僅學習其中的三個.

3.突出建模思想、培養應用意識始終貫穿全章

“課標2011年版”提出了“十大”核心概念，本章至少涉及“符號意識”“推理能力”“模型思想”“應用意識”四個.在本章教科書的編寫過程中，我們努力把引導學生學會建立數學模型、解決實際問題放在首位，以實現“課標2011年版”提出的“在整個數學教育的過程中，都應該培養學生的應用意識”的目標.本章安排了一些有代表性的實際問題作為知識產生、發展的背景材料，用實際問題貫穿全章，對銳角三角比概念的建立及其應用都是在建立和運用銳角三角比模型的過程中進行的.

為了引入銳角三角比概念，教科書一開始選用了平滑木板問題，將其一端抬高，便構造出直角三角形.為了讓學生充分體驗、經歷銳角三角比概念的形成過程，教科書用“實驗與探究”欄目提出了四個問題，以∠A的正弦為例，用問題引導學生進行了詳盡的探究.

在探究30°、45°、60°的三角比的過程中，是用同學們十分熟悉的三角尺作為模型展開的.如在求sin30°、cos30°、tan30°的值時，是通過拼接兩個含30°角的大小相等的三角尺作為學習“模型”進行的，如圖5所示.

圖5

在解直角三角形的應用中，教科書以測量上海市東方明珠的高度為引例，用“小資料”欄目介紹了測量學中的仰角、俯角等概念.然后選取五個例題（飛機飛行中的仰角問題、武漢長江大橋中鋼索長問題、住宅樓采光問題、攔水壩的斜坡問題、鐵塔高度問題），說明了解直角三角形在生產、生活中具有廣泛的應用.選擇這些鮮活素材的目的是讓學生在解答它們時，能結合具體的題目，養成良好的審題習慣：一邊讀題，一邊畫圖，或在給定的圖形中準確找到對應的信息.特別強調解題的思路是構造直角三角形.通過適當的訓練，總結出建立直角三角形模型解決實際問題的一般過程.他們在利用解直角三角形的知識解答上述問題的過程中，形成并發展了自己的數學能力，養成了用數學的眼光看待問題的習慣，促進了數學素質的提高.

此外，在練習和習題中，教科書還從不同的角度選配了20余道通過建立直角三角形模型解決的實際問題.總之，實際問題既是構成本章教科書的主線、素材，又是檢驗學生學習效果的客觀尺度.

4.注重概念的形成過程

“課標2011年版”十分強調“過程性”，我們對數學概念、性質、定理、法則、公式等知識的處理，盡量避免“剪頭、去尾、燒中段”的現象，力求突出其產生和應用過程，將知識的發生、發展過程返璞歸真，使學生感悟數學知識的抽象、概括、歸納和演繹過程，體會數學的本質，形成良好的數學思維習慣.本章中最典型的就是銳角三角比的概念的引進過程.根據前面對銳角三角比的內涵與外延的分析，教科書主要是從“幾何的角度”展開銳角三角比概念的概括過程的.

（1）課題的引入.

從實際需要（一塊長2m的平滑木板，一端放在平地上，一端抬高1m，計算比值）出發，引出課題.

（2）個性考察.

（3）從特殊到一般展開定量概括.

（4）定義及其辨析.

①∠A為Rt△ABC中確定的銳角，Rt△ABC的大小可以變化，但它們都是相似的，所以∠A的對邊與斜邊的比值不變，即對于每一個銳角A，都有唯一確定的比值與之對應，這個比值叫做∠A的正弦，記為sinA，即sinA=（如圖6所示）.

圖6

類似地，給出∠A的余弦和正切，分別是cosA=

②對符號sinA的理解.∠A是一個角，它是一個常量，sinA是一個比值，是一個由∠A唯一確定的數，也是一個常量.

（5）概念的初步應用.

給定直角三角形的邊，求銳角的正弦、余弦、正切的值.目的是讓學生掌握用定義解題的基本過程和書寫格式，鞏固銳角三角比的定義，加深對這一概念的理解，也為下一節學習特殊角的三角比做好準備.

上述設計就引導學生經歷了銳角三角比的形成過程，并能主動地參入到數學概念的構建過程中，使其理解深刻，記憶永久.完整的學習過程應當包含感知和觀察問題情境、抽象和表述數學問題、進行數學推理變換或證明、對結果進行反思修正或推廣應用等，這是一個從具體到抽象再到具體的循環過程.

5.注重知識的前后聯系，體現了教科書的整體性

“課標2011年版”界定的四個部分中的內容并不是截然分開的：就某一部分來說，它內部的有些內容是相互關聯的；不同部分之間的有些知識也存在著實質性的聯系.教科書既把本部分內的有關知識按照邏輯順序及知識之間的聯系進行了合理的整合，又把各部分之間的相關知識進行了有機的融合，體現出數學的整體性.

本章內容統排在全部教科書（共33章）中的第27章，屬于偏后的內容，與前面的許多內容都有聯系.銳角三角比的概念涉及比的定義、角的大小、點的坐標、距離公式、相似三角形、函數概念等知識.在研究直角三角形的解法時，已知直角三角形的兩個元素（至少一個是邊），加之本身還有一個直角的條件，這個直角三角形就惟一確定了下來，這個結論的前提實際上利用了直角三角形全等的有關知識.

因此，本章知識涉及“數與代數”“圖形與幾何”“綜合與實踐”三個部分.

三、教學建議

本章的重點是銳角三角比的概念和直角三角形的解法；學生學習的難點是銳角三角比的概念，因為銳角三角比的概念反映了一個銳角的度數與實數值之間的對應關系，這種角與數之間的對應關系，以及sinA、cosA、tanA等符號表示方法，學生都是第一次接觸，所以同學們理解和認識起來都有一定的難度.學習本章的關鍵是結合圖形，遵循“從特殊到一般，從實踐探索到證明”的方式呈現正弦概念，在學生經歷實驗、觀察、歸納、猜想等求知過程的基礎上，建立起角度與數值之間的對應關系，從而正確掌握銳角三角比的概念，真正理解直角三角形中邊、角之間的關系.

1.注重揭示概念的形成和應用過程

本章主要內容是銳角三角比和解直角三角形，這兩部分是緊密聯系的，銳角三角比是解直角三角形的基礎，解直角三角形也為銳角三角比提供了與實際聯系的沃土.

一個數學概念的教學就是一個完整的教學過程，研究表明這個過程大致可以分為如下四個階段：（1）概括；（2）表述；（3）識別；（4）運用.給數學概念下定義不是概念教學的全部，不能在定義本身下太多的功夫，應注意概念教學的全過程，不可有頭無尾，也不能對四個階段平均用力，應根據具體概念的實際和學生的認知水平，恰當地分配教學時間，以最優的方式完成概念教學.教學中既要把銳角三角比的形成過程揭示出來，也要把利用它解直角三角形，從而解決實際問題的過程展現出來.只有揭示知識的形成過程，才能從源頭上強化知識與智力的內在聯系，引發學生探索發現的意識和創新思想的形成，從而促進學生思維的發展和數學能力的提高.

這樣教學，一方面可以讓學生體會到銳角三角比和解直角三角形的理論來源于實際，是實際的需要；另一方面也讓學生看到它們在解決實際問題中所起的作用.感受由實際問題抽象出數學問題，通過解決數學問題得到答案，再將數學問題的答案回到實際問題的模型思想，有利于幫助學生體會和理解數學與現實世界的密切聯系，體會數學的價值.

2.改進學習方式，促進學生的個性發展

改進學生的數學學習方式是課程改革的重要目標之一，“課標2011年版”指出“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式.學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.”教學中，教師應努力把學習素材用最適合于學生進行觀察、發現、探究、合作與交流的方式展開，以此引導學生主動地參與到數學學習活動中來，從而使學生形成對數學知識的理解和有效的學習策略.

例如，對于正弦及余弦函數值的變化規律的學習，我們可通過設置問題系列，采用“問題情境—自主發現—相互交流—歸納總結”的方式引導學生學習.

首先，讓學生用計算器求下列銳角三角比的值，填寫下表：

其次，讓學生獨立思考下面的問題.

（1）當銳角α逐漸增大時，它的正弦和余弦的值分別發生怎樣的變化？

（2）你能估計出銳角α的正弦值的范圍嗎？銳角α的余弦值的范圍呢？

然后，讓學生在學習小組內發表自己的見解.

最后，通過討論、交流歸納出規律來.

這樣安排符合現代數學教學的要求，尊重了學生的主體地位，促進了其個性的發展，也體現了“課標2011年版”的基本理念.

3.充分利用現代信息技術與課外資源

我們根據三角比的定義，只能求出幾個特殊角的正弦、余弦及正切值，而對于任意一個銳角的三角比，我們可以利用科學計算器去求.另外，如果已知一個銳角的三角比的值，利用計算器還可以求出這個銳角來.

為了培養學生利用解直角三角形的方法解決一些實際問題的能力，我們也可以帶領學生走出教室，去實際測量某一建筑物（例如學校的水塔或教學樓）的高度，這樣安排體現了數學知識的應用價值，還能逐步形成“數學來源于生活，又服務于生活”的意識.

以上是我們對“解直角三角形”一章所作的介紹，不妥之處敬請讀者批評指正.我們的目的就是希望教師在教學中要遵循教科書，但不要迷信教科書，要以它為平臺，深入鉆研教科書，合理地整合教科書的相關內容，做到創造性地使用教科書；同時還要研究學生的學習和認知規律，努力做到使學生的學習潛能得到最大程度的發揮，從而促進他們全面、健康、和諧發展，這理應是我們廣大教師的責任和義務.

1.李樹臣.精心設計問題情境，引導學生自主發展——青島版《義務教育教科書·數學》中問題情境的類型及設計意圖［J］.中學數學教學參考（中），2013（10）.

2.李樹臣.深入研究課程課標2011年版，精心選擇課程內容——青島版《義務教育教科書·數學》中課程內容選取的主要原則［J］.中學數學雜志，2014（2）.

3.李樹臣.科學分析數據，準確推斷結果——青島版義務教育教科書·數學八年級上冊第四章“數據分析”介紹［J］.中學數學（下），2014（7）.

4.李樹臣，等.整體把握函數內容，宏觀設計教學策略——以青島版義務教育教科書·數學對“函數”的設計為例［J］.中學數學（下），2014（8）.

5.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.