中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中六種解題方法淺談

張思琦

（章丘市第五中學(xué)高三第十六班山東章丘250200）

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中六種解題方法淺談

張思琦

（章丘市第五中學(xué)高三第十六班山東章丘250200）

解數(shù)學(xué)題首先要解題方法。方法正確、恰當，則易使問題得到圓滿有效的解決；方法錯誤、失當，將影響解題效果，走彎路，甚至出現(xiàn)嚴重錯誤。下面介紹的解題方法，都是中學(xué)數(shù)學(xué)中最常用的，并且也是中學(xué)教學(xué)大綱要求必須掌握的。

中學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)題方法探討

數(shù)學(xué)的解題方法是隨著對數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的深入而總結(jié)發(fā)展起來的。通過認真鉆研習(xí)題、精通掌握各類題目解題方法，促進學(xué)生進一步熟練地掌握中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識。通過練習(xí)解題的各種基本方法，從而有效提高解題技巧，積累解題經(jīng)驗，進一步提高學(xué)習(xí)水平和解題能力。下面就向大家介紹六種常用的數(shù)學(xué)解題方法，供參考。

1.配方法

配方法是一元二次方程解法中非常重要的一種方法，其實質(zhì)是一種恒等變形，它通過加上并且減去相同的項，把算式的某些項配成完全n次方的形式，通常是指配成完全平方式。配方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，主要有以下幾個方面。用配方法解方程、用配方法分解因式、用配方法求代數(shù)式的值、用配方法求代數(shù)式的最大（小）值、用配方比較兩個代數(shù)式的大小、用配方法證明等式和不等式。配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab；a2+ab+ b2=（a+b）2-ab=（a-b）2+3ab=（a+b2）2+（3 2 b）2；a2+b2+c2+ab+ bc+ca=1 2［（a+b）2+（b+c）2+（c+a）2］a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=（a+b-c）2-2（ab-bc-ca）=？結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：1+sin2α=1+2sinαcosα=（sinα+ cosα）2；x2+12x=（x+1x）2-2=（x-1 x）2+2；等等。

2、構(gòu)造圖形解題法

在解題時由于某種需要，而把題設(shè)條件中元素間的關(guān)系構(gòu)作出來，或者構(gòu)想這種關(guān)系在某個模型上得以實現(xiàn)，或者構(gòu)想出某種關(guān)系或形式能使問題按新的觀點，新的角度去審視，使問題巧妙地獲得解決。這種解題方法，稱之為構(gòu)造法。用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識相互滲透，有利于解決問題。

證明不妨設(shè)A（a，b），B（c，d）

當且僅當O在AB上時，等號成立。

3.因式分解法

因式分解在解題中的應(yīng)用非常廣泛，在方程、函數(shù)、不等式及求值、化簡、證明等方面都有重要作用。因式分解法的特點是有利于降次、消元，有利于把握多項式的特點，將因式分解作為一種解題方法，是因為用它解決某些數(shù)學(xué)問題時，比起解決這一類問題的常規(guī)方法更簡捷、巧妙，從而將問題化繁為簡，化難為易，順暢達到解題目的。因式分解方法有很多，除課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法外，還有可以利用拆添項法、求根分解、換元法、待定系數(shù)法等等。

例如若（z-x）2-4（x -y ）（y-z ）=0，證明：2y=x+z.

證明當x-y≠0時，等式（z -x）2-4（x-y）（y-z）=0

可看作是關(guān)于t的一元二次方程（x-y）t2+（z-x）t +（y-z）=0有等根的條件，在進一步觀察這個方程，它的兩個相等實根是1，根據(jù)韋達定理就有：

若x-y=0，由已知條件易得z-x=0，即z-x=0，顯然也有2y=x +z.

4.判別式法和韋達定理解題法

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈R，a≠0）根的判別式△=b2-4ac，不僅可以判定根的性質(zhì)，而且作為解題方法，在代數(shù)式變形、解方程（組）、解不等式、研究函數(shù)乃至解析幾何、三角函數(shù)運算中有非常廣泛的應(yīng)用。

韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另外一個根；已知兩個數(shù)的和與積，求這兩個數(shù)等簡單應(yīng)用外，還可求根的對稱函數(shù)，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等，有非常廣泛的應(yīng)用。

例實數(shù)m，使方程x2+（m+4i）x+1+2mi=0至少有一個實根。設(shè)a是方程的實數(shù)根，則

由于a、m都是實數(shù)，

解得m=±2.

例如已知函數(shù)，f（x）=2x2+mx+n求 證中至少有一個不小于1.

5.等（面或體）積法

平面（立體）幾何中講的面積（體積）公式以及由面積（體積）公式推出的與面積（體積）計算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅用于計算面積（體積），而且用它證明（計算）幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積（體積）關(guān)系證明或計算幾何題的方法，稱為等（面或體）積法，這是一種常見的幾何方法。

用歸納法、分析法證明幾何題，其困難在于添加輔助線。等（面或體）積法的特點是把已知和未知各量用面積（體積）公式聯(lián)系起來，通過運算實現(xiàn)求證的結(jié)果。所以用等（面或體）積法來解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。

例如，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分別為PC、PB的中點。

（1）求證：PB⊥DM；

（2）求CD與平面ADMN所成的角

解：（I）因為N是PB的中點，PAPB，所以ANPB.

因為AD平面PAB，所以ADPB，從而PB平面ADMN.因為DM平面ADMN，所以PBDM.

（3）取AD的中點G，連結(jié)BG、NG，則//BGCD，

所以BG與平面ADMN所成的角和CD與平面ADMN所成的角相等，因為PB平面ADMN，所以BGN是BG與平面ADMN所成的角。

在RtBGN中，10sin5BNBNGBG.故CD與平面ADMN所成的角是10arcsin5

如圖，等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠A=90，M，N為斜邊BC上兩點且∠MAN=45，求證：BM^2+CN^2=MN^2解：要證BM^2+CN^2=MN^2，容易想到勾股定理.但是BM，CN，MN都不在同一個三角形上，所以，我們就設(shè)法將BM，CN，MN移到同一三角形上。考慮到△ABC是等腰三角形，且是直角三角形，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90.使AB與AC重合.得到△ACD，則△NCD為直角三角形只需證明MN=ND即可因為∠-MAN=45，所以∠BAM+∠NAC=45，即∠NAD=45又因為AM=AD所以△AND≌△AMN所以MN=ND，在直角△NDC中，有ND^2=NC^2+DC^2，所以BM^2+CN^2=MN^2

［1］袁國鋒，中學(xué)數(shù)學(xué)常用解題方法初探《新課程學(xué)習(xí)（上）》2011年04期

［2］孟慧明，巧用因式分解方法解題《數(shù)理化解題研究》（初中版）2010年10期

［3］中考數(shù)學(xué)十大題型經(jīng)典解題方法中國教育在線

［4］新編中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法全書哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社