一種新的最優空基反彈道導彈中制導方法研究

劉浩敏

(中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471009)

0 引 言

現代戰爭中，戰術彈道導彈(TBM)以其速度快、突防能力強、破壞能力大等特點成為重要的威懾力量和縱深打擊力量，因此，如何有效攔截彈道導彈已成為各軍事大國關注的焦點。空基反導因具有部署靈活、響應速度快、攔截空域廣等優點而倍受關注，如美國正在開展其空基反導作戰平臺—網絡機載防御單元(NCADE)的研究，目前已取得了階段性成果。此外，我國和俄羅斯也正在積極開展相關研究工作［1－5］。

彈道導彈從發射到命中目標整個過程一般可分為三個階段，即上升段、中段和再入段。處于中段的彈道導彈位于大氣層外，一般無機動能力，對此階段的彈道導彈進行攔截具有得天獨厚的優勢，因此，為攔截器設計一種精確的中制導律至關重要。

目前，國內外許多學者在攔截制導律的研究方面作了大量研究。Ryoo 等人針對攔截動力學這一特殊仿射系統，設計了一種特殊控制李亞譜諾夫函數(CLF)，運用Sontag 控制理論給出了一種最優攔截制導律［6］，通過進一步研究該制導律的求解過程可以發現，要想實現目標攔截，即當相對距離r →0 時，攔截器需要極大的能量，這在攔截末端一般很難實現。Massoumnia 在文獻［7］中提出了一種基于固定推進時間的最優中制導律，在動力學推導過程中，作者通過忽略攔截器和目標之間的重力差得到了一種簡化的解析相對動力學模型，進而運用最優性原理解決了最優中段攔截問題。Newman 基于零控脫靶量(ZEM)的相關理論，根據不同的相對運動學模型給出了多種中制導律［8］，其中多數以非解析的形式給出，從而對彈載計算機的計算速度提出了較高要求。

本文在前人研究成果的基礎之上，首先采用忽略攔截器和目標之間重力差多項式的近似處理方法，給出一種簡化的彈－目相對運動學模型;其次，基于簡化的彈－目相對運動學模型，運用LQR理論設計一種解析、閉環的燃耗最優中制導律，并根據給定的初始條件對所設計制導律進行數學仿真驗證。

1 相對運動學模型

首先給出地心慣性坐標系的定義:坐標系原點取為地球中心，Ze軸沿地球自轉軸，Xe軸和Ye軸位于地球赤道平面內，與Ze軸組成右手坐標系，其中，Xe軸指向春分點［9］。在該坐標系下，導彈和目標之間的相對幾何關系如圖1 所示。

圖1 導彈目標相對幾何關系

圖中，RM和RT分別為攔截導彈和目標在地心慣性系下的位置矢量;VM和VT分別為導彈和目標在慣性系下的速度矢量;R 和V 分別為目標相對攔截導彈的位置矢量和速度矢量。根據空間兩質點之間的運動關系，在地心慣性坐標系下有如下兩式成立:

其中，μ 為地球引力常數，其值為3.986 × 105km3/s2;rM和rT分別為RM和RT的大小;aC為作用于導彈上的控制加速度矢量。

根據式(1)～(2)，可以很容易給出大氣層外導彈和目標之間的相對運動學方程為

其中，R = RT－RM。

研究式(3)發現，右端第二項RM的系數為導彈和目標之間的重力差，在實際攔截過程中，隨著導彈和目標的逐漸接近，該重力差項的值越來越小，其對制導控制過程的影響越來越小。針對此重力差多項式，Newman 在文獻［8］中給出了線性化、常數化等四種近似處理方案，考慮到中制導精度要求相對末制導低，本文采用了將重力差項常數化為0 的方案。

由此，可得到近似簡化的彈－目相對運動學方程為

2 基于LQR 的最優制導律設計

根據目前較常見的反導方案，一般采用多級助推火箭，分初始制導段、中制導段和末制導段三個階段以實現對大氣層外的來襲彈道導彈進行有效攔截。初始制導段，根據GPS 提供的目標信息，第一級助推火箭將攔截器送到預定軌道高度，并使導彈具備一定的軌道速度;中制導段，第二級助推火箭將攔截器送到距離目標約10 km 遠的位置，此時，攔截器探測裝置開始工作并截獲目標，動能攔截器彈離彈體。最后，動能攔截器通過自主探測裝置實時獲得目標，并通過飛控單元實時解算出制導指令，直至殺傷來襲目標。

根據攔截飛行方案，中制導律應實現末段攔截的初始制導環境，即使攔截導彈在中制導末段具有一定距離(Rf)和一定的相對速度(Vf)，從而確保攔截導彈具有足夠的能量撞毀目標，最終實現動能攔截的目的。此外，考慮到攔截導彈攜帶燃料的有限性，制導律的設計應考慮燃耗最優。本節將在前面給出的簡化彈－目運動學的基礎上，運用LQR 最優理論對滿足上述中制導要求的中制導律進行設計。

取兩飛行器的相對位置矢量和相對速度矢量為參考狀態，導彈的控制加速度矢量為控制輸入，即X = ［R3×1V3×1］T，u = aC，則相對運動方程(4)可改寫為如下形式:

其中，

現在，最優控制的設計問題就轉化為在［0，∞］上求取反饋控制u*=－KX，使性能指標取極小。

對于式(5)和(6)定義的LQR 問題，根據最優性原理可知，存在使上述系統漸進穩定的狀態反饋控制u*=－R－1BTPX，其中，矩陣P = PT＞0滿足如下Riccati 方程:

求解發現，上述方程存在負值根，考慮到被控對象的實際意義，舍棄負值解，得正值解為

式中，

由此，可以得到最優狀態制導律為

針對上述LQR 最優制導律，結合攔截實際過程，現做如下兩點說明:

(1)對于攔截問題，攔截過程不可能持續無限長時間，否則視為攔截失敗。式(6)中對積分時間取了無窮大，在工程上實際為一個動態過程的結束，且系統穩定要求末端狀態趨近于零［10］。

(2)LQR 狀態反饋控制u*=－KX 使系統漸進穩定，且使系統最終穩定在Xf= 0 點。顯然，狀態Xf= 0 不滿足動能攔截條件。為了實現“定點、定速”這個攔截條件，可將期望的末段狀態事先考慮到初始狀態中，這樣得出的控制指令u*實際上跟蹤的軌跡就是期望軌跡，從而可實現“定點、定速”攔截制導要求。

3 仿真算例

為了對本文給出的制導律進行驗證，以Matlab/Simulink 為仿真平臺，參考文獻［8］中給出的一組彈－目初始條件，如表1 所示，建立空基反導數字仿真模型對本文提出的中制導律進行數學仿真驗證，如圖2 所示。為了實現“定點、定速”攔截目標，假設攔截末端導彈和目標的期望相對速度和相對距離分別為1 km/s 和10 km(此數據可以根據實際要求設定)，根據上一節說明(2)，在進行具體數字仿真時，目標的初始速度和初始距離應考慮上述中制導期望末端條件。仿真結果如圖3 ～5 所示。

表1 中制導攔截初始條件(地心慣性系)

圖2 空基反導數字仿真模型

圖3 彈－目運動軌跡仿真曲線

圖4 彈－目相對位置和相對速度仿真曲線

從仿真結果可以看出，對于給定的攔截導彈和目標初始條件，本文提出的制導律可以在較短時間內實現定點定速的中制導攔截要求，進一步證明了本文第2 節對彈－目相對運動學近似處理的合理性。

此外，根據圖5 所示攔截加速度仿真結果，由于處于中段的彈道導彈速度較高，要想對其進行有效攔截需要較高的攔截條件，即較大的動力系統支撐和較高的攔截初始速度及可靠的飛控系統保障。

圖5 攔截導彈三個方向加速度曲線

4 結 論

本文基于簡化的彈－目相對運動學模型，運用LQR 理論設計了一種新的能量最優、解析、閉環的攔截中制導律。為了驗證所設計制導律的有效性，根據給定的彈－目初始條件，通過數字仿真對其有效性進行了驗證。仿真結果表明，本文所設計的制導律既能滿足空基反彈道導彈“定點、定速”的精度要求，也能滿足能耗最優的要求，具有一定的理論研究和實際參考價值。

［1］謝鑫，李為民，黃仁金，等. 美軍空基反導系統發展概述［J］. 飛航導彈，2011(10):48－52.

［2］肖曾博，雷虎民，張蓬蓬，等. 空基動能攔截彈制導控制系統建模與仿真［J］. 航空兵器，2012(2):9－15.

［3］單曉林，雷虎民，尚增博，等. 空基動能攔截彈尋的制導系統性能分析［J］. 航空兵器，2014(8):12－17.

［4］黃志理，崔顥，李萍. 美軍機載導彈防御武器發展現狀研究及啟示［J］. 航天電子對抗，2012(28):1－3.

［5］周義. 俄羅斯反彈道導彈預警系統［J］. 現代軍事，2012(2):27－28.

［6］Ryoo C K，Kin Y H，Tahk M J，et al. A Missile Guidance Law Based on Sontag’s Formula to Intercept Maneuvering Targets［J］. International Journal of Control Automation and System，2007，5(4):397－409.

［7］Massoumnia M A. Optimal Midcourse Guidance Law for Fixed-Interval Propulsive Maneuvers［J］.Journal of Guidance Control and Dynamics，1995，18(3):465－470.

［8］Newman B. Spaccraft Intercept Guidance Using Zero Effort Miss Steering［C］∥AIAA Guidance，Navigation and Control Conference，Monterey，CA，1993.

［9］錢杏芳，林瑞雄，趙亞男，等. 導彈飛行力學［M］. 北京:北京理工大學出版社，2000.

［10］刑繼祥，張春蕊，徐洪澤. 最優控制應用基礎［M］.北京:科學出版社，2003:133－136.