基于解析法的HSK主軸-刀柄結合部參數辨識

陳建，田良，商宏謨，鄭登升，王貴成，3

（1.江蘇大學機械工程學院，江蘇鎮江212013；2.成都工具研究所有限公司，四川成都610051；3.南通理工學院，江蘇南通226002）

基于解析法的HSK主軸-刀柄結合部參數辨識

陳建1，田良2，商宏謨2，鄭登升1，王貴成1，3

（1.江蘇大學機械工程學院，江蘇鎮江212013；2.成都工具研究所有限公司，四川成都610051；3.南通理工學院，江蘇南通226002）

辨識HSK主軸-刀柄結合部參數，是準確預測主軸系統動態特性及保證切削穩定性的基礎條件。將HSK主軸-刀柄結合部簡化為彈簧-阻尼模型。再根據HSK主軸-熱裝刀柄系統的頻率響應矩陣，推導出HSK主軸-刀柄結合部的剛度矩陣。并基于耦合響應法計算熱裝刀柄兩端的頻響矩陣，利用有限差分法與實驗測量相結合的方式，分別獲得HSK主軸端點和HSK主軸-熱裝刀柄系統端點的頻響矩陣。基于推導出的結合部剛度矩陣，分別辨識出HSK主軸-刀柄結合部的4個剛度參數kyf、kθf、kym和kθm，以及4個阻尼參數cyf、cθf、cym和cθm.使用耦合響應法計算出HSK主軸-熱裝刀柄端點的頻響函數，并與實驗測量的各階頻率相比較，理論頻率與實驗結果最大差值為7.9%，進而驗證辨識參數的準確性和辨識方法的合理性。

機械制造工藝與設備；HSK主軸-刀柄結合部；頻響矩陣；參數辨識

0 引言

HSK主軸-刀柄-刀具系統被廣泛應用于高速和高精密加工，系統顫振嚴重影響加工質量和加工效率。準確的穩定性葉瓣圖（切削速度-切削厚度關系圖）是避免顫振和保證切削穩定性的必要條件。但無論采用何種方法獲得葉瓣圖，都需要先得到機床主軸系統刀尖點的頻率響應函數［1］。其中，準確的結合部參數又是精確預測主軸系統刀尖頻率響應函數的前提和保證。本文以HSK主軸-刀柄系統為研究對象，并采用解析法對HSK主軸-刀柄結合部進行參數辨識。

結合部一般都簡化為彈簧-阻尼模型。Schmitz等［2］使用有限元法對熱裝刀柄-刀具結合部進行參數辨識，并獲得了結合部內各位置的剛度和阻尼參數，但只獲得兩個阻尼參數，而且為阻尼與頻率的乘積cω.Namazi等［3］采用有限元與實驗相結合的方法來辨識結合部參數，此方法只獲得了結合部內各位置的平動剛度和轉動剛度，但其計算量很大，也沒有考慮結合部的阻尼參數。程強等［4］基于子結構耦合法和最小二乘法對BT40主軸-刀柄結合部進行了參數辨識，此方法只獲得了結合部內部各個位置的平動剛度，沒有辨識結合部的轉動剛度和阻尼參數。基于以上方法的優缺點，提出采用有限差分法與實驗相結合的方式來辨識HSK主軸-刀柄錐面結合部的剛度和阻尼參數。

1 HSK主軸-刀柄結合部的研究思路及理論基礎

1.1 HSK主軸-刀柄結合部的研究思路

HSK主軸-刀柄系統可簡化為主軸和刀柄通過彈性耦合而成的系統，如圖1所示。HSK主軸和刀柄都簡化為多段Timoshenko梁，并通過剛度矩陣KSH將二者進行彈性耦合，可得HSK主軸-刀柄系統端點的頻響函數矩陣［5-6］:

式中:下標1為單段熱裝刀柄的右端點，2為單段熱裝刀柄的左端點，如圖1所示。對（1）式進行變化，由此可得到HSK主軸-刀柄結合部剛度矩陣為

式中:kyf和kθf分別為受力載荷下的平動剛度和轉動剛度；kym和kθm分別為受力矩載荷作用下的平動剛度和轉動剛度；cyf和cθf分別為受力矩載荷下的平動和轉動阻尼；cym和cθm分別為受力矩載荷下的平動和轉動阻尼。

圖1 HSK主軸-刀柄彈性耦合Fig.1 Flexible coupling of HSK spindle-toolholder

為獲得HSK主軸-刀柄結合部參數，需要獲得刀柄兩端的響應矩陣H11、H12、H21和H22，以及HSK主軸端點的響應矩陣S11和HSK主軸-刀柄系統端點的SH11.由于HSK主軸-刀柄結合部剛度和阻尼滿足Betti-Maxwell的彈性互易定理［7］，因而可假定kym=kθf和cym=cθf，故HSK主軸-刀柄結合部的剛度矩陣KSH為對稱矩陣。

1.2 基于耦合響應法的頻響矩陣

刀柄的響應矩陣可采用耦合響應法來計算，并將刀柄簡化為多段的Timoshenko梁，刀柄兩端的頻響矩陣為

以上各個元素可以表示為

式中:y為平動位移；θ為轉角；f為作用力；M為力矩；下標為刀具的作用點。矩陣Hjk各元素［8］為

計算頻響函數時，將HSK主軸和熱裝刀柄都簡化為多段Timoshenko梁。j為單段熱裝刀柄或HSK主軸的端點編號，k為力或力矩作用在單段熱裝刀柄或HSK主軸的端點編號，其中:j=1，2；k=1，2. 1為單段梁的右端點，2為單段梁的左端點，如圖1所示。

1.3 基于有限差分法的測量頻響矩陣

HSK主軸端點頻響矩陣S11和HSK主軸-刀柄系統端點的頻響矩陣SH11為

響應矩陣不僅包括受力作用下的位移和轉角頻響函數，還包括受力矩作用下的位移和轉角頻響函數。如果只采用實驗方法獲得相應的頻響函數，需先在HSK主軸和HSK主軸-熱裝刀柄系統端點處分別安裝位移傳感器和角度傳感器，并在對應位置上加載力和力矩，便可直接測量獲得受力和力矩作用下的位移頻響函數和轉角頻響函數。但實驗測量所需傳感器多，增加了實驗成本；而且，實驗測量數據多，測量效率低。為簡化實驗步驟和減少測量儀器，提出采用有限差分法與實驗測量相結合的方式來獲得測量響應矩陣，只需位移傳感器，并按照有限差分原理將傳感器直線布置在被測件上，如圖2所示。測量響應矩陣可通過1階有限差分或2階有限差分獲得。1階有限差分所需測量值最少，只需測量圖2中的兩個點B和C，2階有限差分需要測量3個點A、B和C.Duarate等［9］指出使用有限差分法獲得的測量響應矩陣精度，嚴重依賴于測量點的階數和間隔距離。圖2傳感器的位置為并聯諧振，頻率隨著間隔距離的增加或者減少都會發生偏移。綜合考慮，本文選用2階有限差分法來測量HSK主軸和HSK主軸-刀柄系統的響應矩陣。

圖2 有限差分法示意圖Fig.2 Finite difference method

使用2階有限差分法獲得的測量頻響矩陣為

式中:HAA、HAB等為各個點受力作用下的位移頻響函數，都是通過上述實驗方法測量得到；T2i為2階差分轉化矩陣。當力錘作用點P=A或者P=C時，2階差分的前插、中插和后插轉化矩陣為

式中:s為傳感器間隔距離。前插和后插轉化矩陣只是最后一排符號不一致，這些矩陣具有相同的精度。將（8）式代入到（7）式中，由此可得測量頻響矩陣為

本文以后插轉化矩陣計算得到的測量頻響矩陣作為HSK主軸端點和HSK主軸-熱裝刀柄系統端點的頻響矩陣，只需將測量的受力作用下的位移頻響函數代入到（9）式中，便可獲得HSK主軸端點和HSK主軸-刀柄系統端點的頻響函數。

2 HSK主軸-刀柄結合部參數辨識

2.1 基于耦合響應法計算刀柄頻響矩陣

本文選擇的主軸類型為HSKA63，刀柄為熱裝刀柄［10］，彈性模量E=500 MPa，密度ρ=7 850 kg/m3，泊松比μ=0.22，如圖3所示。將熱裝刀柄簡化為多段Timoshenko梁，并采用耦合響應法來計算熱裝刀柄的頻響函數。其中，分段的數量與計算的頻響函數精度密切相關，分段越多、計算精度越高，而計算量會大大增加。因此，綜合考慮計算精度和計算量，本文以HSK熱裝刀柄的關鍵尺寸為依據，并以刀柄柄部左端為起始段，來對HSK熱裝刀柄進行分段處理。圖4為HSK熱裝刀柄分段劃分圖，具體分段尺寸如表1所示。先分別計算每段梁的頻響函數，再對每段梁進行剛性耦合，進而獲得整個部件的頻響函數。單段梁頻響函數G11的計算如圖5所示，梁的兩端點分別表示為1和2.使用質量集中方程可以建立相應的響應方程，并將與線性和轉動位移有關的力和力矩應用到這些點上。

圖3 HSK主軸-刀柄系統Fig.3 HSK spindle-toolholder system

圖4 HSKA63熱裝刀柄分段劃分圖Fig.4 Multi-segments of HSKA63 shrink toolholder

式中:點1的頻率響應函數根據（5）式來計算。圖6（a）所示，兩段Timoshenko自由端梁可以耦合為一段自由端梁。其中，自由端響應矩陣A和B可以表示為

式中:AA1A1可簡單表示為A11.當得到梁A和B的位移-力（力矩）矩陣后，考慮到連接點的兼容性和連續性，可以得到兩段梁的耦合矩陣C為

同理，可采用相同的方法對多段梁進行剛性耦合，如圖6（b）所示。通過這樣的方式，將不同直徑和長度的梁進行剛性耦合，可計算得到HSK熱裝刀柄的頻響函數。由于本文所要辨識的剛度矩陣KSH為對稱矩陣，因而在計算熱裝刀柄端點響應矩陣H11、HSK主軸端點響應矩陣S11和HSK主軸-熱裝刀柄系統端點響應矩陣SH11過程中，都可假定力矩作用下的頻響函數N與力作用下的轉角頻響函數相等L，即N=L.圖7為頻響矩陣H11的4個頻響函數圖。

圖6 多段自由端梁的剛性耦合Fig.6 Rigid coupling of beams

2.2 基于有限差分法的測量頻響矩陣

本文采用2階有限差分與實驗相結合的方式來獲得HSK主軸和HSK主軸-刀柄系統端點的響應矩陣。本文先建立HSK主軸和HSK主軸-熱裝刀柄系統的有限元模型，并進行諧響應分析；然后，選擇不同的間隔距離，并進行實驗測量；再將實驗所得頻響函數與諧響應分析結果相比較，最終確定HSK主軸-熱裝刀柄系統和HSK主軸的最優間隔距離為35 mm和30 mm［9］。先分別將HSK主軸和HSK主軸-刀柄系統置于自由狀態；再根據2階有限差原理將加速度傳感器分別安裝在HSK主軸和HSK主軸-刀柄系統端點上；最后，使用力錘敲擊各傳感器相對應點處，測量信號通過加拿大Cutpro測試系統進行放大、采集和快速傅里葉變換，圖8為頻響函數測量系統圖。

圖7 響應矩陣H11的頻響函數圖Fig.7 FRF of matrix H11

圖8 頻響函數測量系統圖Fig.8 FRF measuring system

2.2.1 HSK主軸端點頻響矩陣

以HSK主軸右端為起點，分別將3個加速度傳感器按照間隔距離為30 mm直線安裝在HSK主軸上，并根據頻響函數測量系統，分別測量各個點y方向上的頻響函數，圖9為端點頻響函數.

由圖9所示，測量數據存在很多噪聲，這會嚴重影響辨識參數的準確性。因此，本文采用Savitzky-Golay理論對實驗數據進行過濾［11］，再用Matlab軟件對測量數據重新處理，并將測量的頻響函數代入（9）式后插方程中，進而計算得到HSK主軸端點的響應矩陣S11，如圖10所示。

圖9 HSK主軸端點的頻響函數Fig.9 FRF ? of HSK spindle end

2.2.2 HSK主軸-刀柄系統端點頻響矩陣

以HSK主軸-刀柄系統右端為起點，分別將3個加速度傳感器按照間隔距離為35 mm直線安裝在HSK主軸-刀柄系統上，并根據頻響函數測量系統，分別測量各個點y方向上的頻響函數，并采用相同的方法計算HSK主軸-刀柄系統端點的頻響矩陣SH11，如圖11所示。

圖10 HSK主軸端點的響應矩陣S11Fig.10 FRF matrix S11of HSK spindle end

圖11 HSK主軸-刀柄系統端點的響應矩陣SH11Fig.11 FRF matrix SH11of HSK spindle-toolholder system end

將所獲得的刀柄頻響矩陣、HSK主軸端點頻響矩陣和HSK主軸-刀柄系統端點頻響矩陣代入到（2）式中，便可求得不隨頻率變化而變化的HSK主軸-刀柄結合部參數，如表2所示。

3 HSK主軸-刀柄結合部參數的驗證

本文采用考慮結合部的響應耦合法來計算HSK主軸-熱裝刀柄的響應矩陣，如（1）式所示。（1）式中，熱裝刀柄兩端頻響矩陣和結合部剛度矩陣已經獲得，只需將HSK主軸分為多段Timoshenko梁，并根據（10）式～（13）式來計算HSK主軸端點的理論響應矩陣，HSK主軸分段如表3所示。在表1和表3中，刀柄的1～10段和HSK主軸的43～34段形成錐面結合部。由此可得，圖12為HSK主軸-刀柄系統端點理論頻響函數和實驗頻響函數

本文使用實驗和理論計算的各階模態相對誤差來判定辨識參數和構建模型的準確性［1，12］。因而，將基于耦合響應法計算得到的HSK主軸-熱裝刀柄系統各階頻率與實驗結果相比較，二者最大差值為7.9%，此誤差在合理的范圍之內，可證明本文所辨識出的HSK主軸-刀柄結合部參數具有一定準確性。并且，采用有限差分法與實驗測量相結合的方式，對結合部參數的辨識是可行的。

表2 HSK主軸-刀柄結合部參數Tab.2 Joint part parameters of HSK spindle-toolholder

圖12 HSK主軸-刀柄系統端點頻響函數HSH11Fig.12 FRF HSH11of HSK spindle-toolholder system end

4 結論

1）根據HSK主軸-刀柄系統的響應矩陣公式，推導出HSK主軸-刀柄結合部的剛度矩陣公式。利用耦合響應法計算了熱裝刀柄的響應矩陣，再采用有限差分與實驗測量相結合的方式，分別得到HSK主軸端點和HSK主軸-熱裝刀柄端點的頻響矩陣，并根據剛度矩陣公式，辨識出HSK主軸-刀柄結合部的剛度和阻尼參數。

2）分別使用耦合響應法計算和實驗測量，獲得HSK主軸-熱裝系統端點的頻響函數，并比較二者的各階頻率，最大差值7.9%，可證明所辨識參數的準確性和辨識方法的可行性。

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［1］ Budak E，Ertürk A，Ozguven H N.Analytical modeling of spindle-tool dynamics on machine tools using Timoshenko beam model and receptance coupling for the prediction of tool point FRF［J］. International Journal of Machine Tools&Manufacture，2006，46（15）: 1901-1912.

［2］ Tony L.Schmitz，Kevin Powell，Dongki Won，et al.Shrink fit tool holder connection stiffness/damping modeling for frequency response prediction in milling［J］.International Journal of Machine Tools&Smanufacture，2007，47（9）:1368-1380.

［3］ Namazi M，Altintas Y，Abe T，et al.Modeling and identification of tool holder-spindle interface dynamics［J］.International Journalof Machine Tools&Manufacture，2007，47（9）:1333-1341.

［4］ 程強，劉新宇，趙永勝.基于頻響函數的主軸-刀柄結合部參數辨識方法［J］.北京工業大學學報，2013，39（8）:1144-1147. CHENG Qiang，LIU Xin-yu，ZHAO Yong-sheng，Identification of dynamical contact parameters for spindle-tool holder interface based on frequency response functions［J］.Journal of Beijing Technology University，2013，39（8）:1144-1147.（in Chinese）

［5］ Budak E，Ertürk A，Ozguven H N.A modeling approach for analysis and improvement of spindle-holder-tool assembly dynamics［J］.CIRP Annals-Manufacturing Technology，2006，55（1）:369-372.

［6］ Budak E，Ertürk A，Ozguven H N，Effect analysis of bearing and interface dynamics on tool point FRF for chatter stability in machine tools by using a new analytical model for spindle-tool assemblies［J］.International Journal of Machine Tools&Smanufacture，2007，47（1）:23-32.

［7］ ?zsahin O，Erturk A，?zguven H N，et al.A closed-form approach for identification of dynamical contact parameters in spindle-holder-tool assemblies.［J］.International Journal of Machine Tools&Smanufacture，2009，49（1）:25-35.

［8］ Schmitz T L，Duncan G S.Receptance coupling for dynamics prediction of assemblies with coincident neutral axes［J］.Journal of Sound&Vibration，2006，289（4/5）:1045-1065.

［9］ Duarte M L M，Ewins D J.Rotational degrees of freedom for structural coupling analysis via finite-difference technique with residual compensation［J］.Mechanical Systems&Signal Processing，2000，14（2）:205-227.

［10］ 王貴成，王樹林，董廣強.高速加工工具系統［M］.北京:國防工業出版社，2005. WANG Gui-cheng，WANG Shu-lin，DONG Guang-qiang.Tooling system for high speed machining［M］.Beijing:National Defense Industry Press，2005.（in Chinese）

［11］ Savitzky A，Golay M J E，Chem A.Smoothing and differentiation of data by simplified least squares procedures［J］.Analytical Chemistry，1964，36（8）:1627-1639.

［12］ 汪博，孫偉，聞邦椿，考慮主軸-刀柄-刀具結合面的高速主軸系統動力學特性有限元建模［J］.機械工程學報，2012，48（15）:83-89. WANG Bo，SUN Wei，WEN Bang-chun.The finite element modeling of high-speed spindle system dynamics with spindleholder-tool Joints［J］.Journal of Mechanical Engineering，2012，48（15）:83-89.（in Chinese）

Identification of Joint Part Parameters of HSK Spindle-toolholder Based on Closed-form Approach

CHEN Jian1，TIAN Liang2，SHANG Hong-mo2，ZHENG Deng-sheng1，WANG Gui-cheng1，3
（1.School of Mechanical Engineering，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，Jiangsu，China；2.Chengdu tool research institute Co.，LTD，Chengdu 610051，Sichuan，China；3.Nantong Polytechnic College，Nantong 226002，Jiangsu，China）

The basic condition for predicting the dynamic performance of spindle system and keeping the cutting stability is to identify the parameters of HSK spindle-toolholder joint part.HSK spindle-toolholder joint part is simplified as spring-damp model.According to the frequency response function（FRF）matrix of HSK spindle-shrink toolholder system，the stiffness matrix of HSK spindle-toolholder is derived.the FRF matrix of shrink toolholder is obtained based on coupling response method.The FRF matrixes of the tip points of HSK spindle and HSK spindle-shrink toolholder system are got by using finite difference method and experiment.Four stiffness parameters（kyf，kθf，kymand kθm）and four damp parameters（cyf，cθf，cymand cθm）are identified with the stiffness matrix.FRF of tip point of HSK spindle-toolholder sys-tem is achieved by using the coupling response method.The calculated frequency of HSK spindle-toolholder system is compared with the experimental frequency.The maximal difference between theoretical and experimental results is 7.9%.

manufaturing technology and equipment；HSK spindle-toolholder joint part；FRF matrix；parameter identification

TG504

A

1000-1093（2015）07-1309-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.07.021

2014-09-19

國家自然科學基金項目（51075192、51275217）；國家重大科技專項（2013ZX04009031）；南通市重點實驗室資助項目（CP12014002）；江蘇省博士創新基金項目（CXZZ13_0656）

陳建（1987—），男，博士研究生。E-mail:jiangsuxuezi@163.com；王貴成（1955—），男，教授，博士生導師。E-mail:wgch@ujs.edu.cn