失效相關系統的失效概率模型與壽命概率分布特征研究

王正，王增全，謝里陽

（1.中國北方發動機研究所柴油機增壓技術重點實驗室，天津300400；2.東北大學現代設計與分析研究所，遼寧沈陽110819；3.東北大學航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室，遼寧沈陽110819）

失效相關系統的失效概率模型與壽命概率分布特征研究

王正1，王增全1，謝里陽2，3

（1.中國北方發動機研究所柴油機增壓技術重點實驗室，天津300400；2.東北大學現代設計與分析研究所，遼寧沈陽110819；3.東北大學航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室，遼寧沈陽110819）

考慮失效相關性對系統失效概率特征的影響，從系統層面出發，建立串聯系統和并聯系統的強度概率分布模型。在此基礎上，分別以連續型變量和離散型變量作為壽命度量指標，推導能夠科學體現“系統組成結構、載荷、強度”等參數影響的串聯系統和并聯系統失效概率模型，研究串聯系統和并聯系統的壽命概率分布特征。研究表明：并聯系統的平均首次故障時間大于串聯系統的平均首次故障時間，且大于系統組成零部件的平均首次故障時間；而串聯系統的平均首次故障時間則小于系統組成零部件的平均首次故障時間。

概率論；系統；失效相關；失效概率；壽命分布；平均首次故障時間

0 引言

失效相關，與“失效獨立”相對應，是機械系統可靠性分析與壽命評價過程中需要妥善處理的重要問題之一［1］。失效相關系統是指系統中各組成零部件或單元之間的失效不相互獨立的系統。失效相關性的存在不僅會嚴重影響并聯系統等冗余系統安全作用的有效發揮，而且會使系統的可靠性分析與建模變得更加復雜。對于機械系統，由于受載荷環境隨機性與材料性能分散性的影響，系統中零部件之間的失效均存在不同程度的相關性。因此，在對機械系統進行可靠性分析與壽命評價時，需要充分考慮失效相關性的影響。

壽命能夠直觀地反映機械產品的可靠性或耐久性水平，是機械產品的重要技術指標之一。受材料性能分散性、制造過程波動性、任務剖面隨機性等不確定性因素的影響，機械產品的壽命在實際使用過程中表現出不同程度的不確定性，具有一定的概率分布特征。正因如此，對于發動機、汽車等機械系統，常采用能夠體現壽命不確定性特征的“可靠壽命”指標來表征其可靠性或耐久性［2-3］。

多年來，國內外學者從不同角度對系統的可靠性評價與壽命預測問題開展了研究［4-12］。唐家銀等基于產品的性能退化數據，根據退化量間的正相關結構，建立了多故障模式相關性失效的Copula綜合可靠性模型，并拓展至退化量-隨機失效閾值相關性干涉的普適性模型［4］。Seo等提出了一種冗余系統的壽命分布估計方法，該方法在對冗余系統進行壽命分析時無需針對每一次維修作“修舊如新”的假設［6］。周金宇等基于更新過程理論，通過引入廣義發生函數提出一種針對元件及系統有限時間區間的剩余壽命概率分析方法［7］。Giorgio等研究了基于年度可靠性指標、年度風險以及年度壽命分布的結構系統全壽命周期維修概率方法，給出了考慮單元抗力全部恢復情況下串聯、并聯以及串并聯系統的維修計劃［8］。Kim等研究了航天器電力系統的性能退化與失效行為，給出了航天器電力系統的可靠性評價與多狀態失效分析結果［9］。現有方法與模型大多在零部件可靠性或壽命分布特征已知的前提下或是利用失效數據進行系統的可靠性分析與壽命評價。

本文將針對失效相關系統，考慮系統失效相關性對失效概率特征的影響，建立能夠體現“系統組成結構、載荷、強度”等參數影響的串聯系統和并聯系統失效累積概率分布函數與概率密度函數，研究系統的壽命概率分布特征。

1 失效相關系統的強度及其概率分布

強度是零部件或系統在抵抗外載荷時所體現出的一種能力。對于系統而言，由于系統由若干零部件按照一定的功能或結構關系組成，系統的強度不僅與各組成零部件的強度有關，而且同系統與零部件之間的失效邏輯關系密切相關。此外，受材料性能分散性、工藝過程波動性等不確定性因素的影響，系統的強度也具有一定的不確定性特征。在這里，以由n個相同零部件組成的系統為例，從系統層面出發，分別給出串聯系統和并聯系統的強度概率密度函數與累積分布函數。

根據系統與各組成零部件之間的失效邏輯關系，串聯系統的失效概率Fs可以表示為

并聯系統的失效概率Fp可以表示為

式中:Ai表示“零部件正常工作”事件；P（·）為概率度量。

由于失效相關系統中各零部件之間存在不同程度的失效相關性，因此，并不能簡單地在傳統“失效獨立”假設的前提下，對（1）式和（2）式所示的系統失效概率計算模型進行數學簡化。由文獻［13］可知，系統的失效相關性主要由載荷與強度的分散性所決定，載荷的分散性是導致系統發生失效相關的主要原因，而強度的分散性則有助于減弱系統的失效相關性。特殊地，當載荷為確定值時，系統中各零部件的失效完全取決于零部件自身的強度性能，此時系統中各零部件的失效相互獨立。

對于由n個相同零部件組成的系統，零部件的強度δ概率密度函數和累積分布函數分別用fδ（δ）和Fδ（δ）表示，當零部件所承受的載荷s為確定值時，各零部件的失效完全取決于零部件自身的強度性能，此時串聯系統和并聯系統的失效概率可以用應力-強度干涉模型分別表示為

顯然，（3）式和（4）式可以分別視為串聯系統和并聯系統的強度δ小于載荷s的概率。如果將（3）式和（4）式中的s替換為δ，則可以根據概率分布函數的定義，分別給出串聯系統和并聯系統的強度累積分布函數，即

進一步，通過求導運算可以得到串聯系統和并聯系統的強度概率密度函數分別為

以由相同零部件組成的串聯系統和并聯系統為例，零部件強度服從均值為300 MPa、標準差為60 MPa的正態分布，圖1和圖2所示為分別串聯系統與并聯系統的強度概率密度以及累積概率分布隨零部件數量的變化。從圖1、圖2中可以看出，隨著零部件數量的增加，串聯系統強度的均值在逐漸降低，分散性在減小，而并聯系統強度的均值在逐漸增加，分散性也在減小。

圖1 系統強度概率密度隨組成零部件數量的變化Fig.1 Probability density of system strength as a function of different number of components

圖2 系統強度累積概率隨組成零部件數量的變化Fig.2 Cumulative probability distribution of system strength as a function of different number of components

2 以連續型變量為壽命指標的系統失效概率模型

時間是最常用的連續型壽命度量指標之一，下面以時間為例，建立以連續型變量為壽命度量指標的串聯系統和并聯系統失效概率模型。

設系統在t時刻的失效概率為F（t），系統承受的載荷作用次數隨時間的變化服從參數為λ（t）的泊松隨機過程，用事件A表示“系統在t時刻未失效”，事件B表示“載荷在子（子∈［t，t+Δt］）時刻出現”，事件C表示“系統子時刻的強度δ子小于應力s”。顯然，事件A的發生概率可以表示為

事件B發生的概率可以表示為

事件C發生的概率可以表示為

系統在（t，t+Δt）時間段內發生失效的概率可以表示為

令Δt→0，（12）式可以寫成為

解微分方程（13）式，可得

由初始條件F（0）=0，C=0可得，（14）式可以表示為

系統在t時刻的強度δt通常可表示為初始強度δ和時間t的函數，因此，（15）式可以寫成為

當初始強度δ服從概率密度函數為fδ（δ）的隨機變量時，系統的失效累積概率函數可以表示為

將（7）式和（8）式所示的串聯系統與并聯系統強度概率密度函數分別代入（17）式，便可以得到串聯系統和并聯系統的失效累積概率函數，即

進一步，可以得到串聯系統和并聯系統的失效概率密度函數，即

串聯系統和并聯系統的可靠度函數，即

串聯系統和并聯系統的故障率函數，即

串聯系統和并聯系統的平均首次故障時間（MTTFF），即

（18）式～（21）式所示的以連續型變量為壽命度量指標的系統失效概率模型，能夠科學地體現“系統組成結構、強度、載荷”等因素對系統失效概率分布特征的影響。利用“系統組成結構、強度、載荷”等參數，便可以運用（18）式～（27）式分別計算得到以時間為壽命度量指標時串聯系統和并聯系統的壽命概率分布特征、可靠度與故障率變化規律以及平均首次故障時間。當n=1時，運用（18）式～（27）式分別計算得到以時間為壽命度量指標時零部件的壽命累積概率Fc（t）和概率密度fc（t）、可靠度Rc（t）與故障率hc（t）變化規律以及平均首次故障時間。

3 以離散型變量為壽命指標的系統壽命概率模型

機械系統中存在大量以離散型變量作為壽命度量指標的產品，例如，具有疲勞失效模式的機械產品便以載荷作用次數作為壽命度量指標。下面，以載荷作用次數為例，建立以離散型變量為壽命度量指標的串聯系統和并聯系統失效概率模型。

設系統經歷w次載荷作用時的失效概率為F（w），用事件D表示“系統經歷w-1次載荷作用后未失效”，事件E表示“第w次載荷作用時的強度δw小于應力s”。事件D的發生概率可以表示為

事件E發生的概率可以表示為

系統在經歷w次載荷作用時發生失效的概率可以表示為

進一步，（30）式可以表示為

由F（0）=0可得，（31）式可以表示為

當初始強度δ服從概率密度函數為fδ（δ）的隨機變量時，系統的失效概率函數可以表示為

將（7）式和（8）式所示的串聯系統與并聯強度概率密度函數分別代入（33）式，便可以得到串聯系統和并聯系統的失效累積概率函數，即

進一步，可以得到串聯系統和并聯系統的失效概率密度函數，即

串聯系統和并聯系統的可靠度函數，即

串聯系統和并聯系統的故障率函數，即

串聯系統和并聯系統的平均首次故障載荷作用次數（MNTFF），即

（34）式～（37）式所示的以離散型變量為壽命度量指標的系統失效概率模型，能夠科學地體現“系統組成結構、強度、載荷”等因素對系統失效概率分布特征的影響。利用“系統組成結構、強度、載荷”等參數，便可以運用（34）式～（43）式分別計算得到以載荷作用次數為壽命度量指標時串聯系統和并聯系統的壽命概率分布特征、可靠度與故障率變化規律以及平均首次故障載荷作用次數。當n=1時，運用（34）式～（43）式分別計算得到以載荷作用次數為壽命度量指標時零部件的壽命累積概率Fc（w）和概率密度fc（w）、可靠度Rc（w）與故障率hc（w）變化規律以及平均首次故障載荷作用次數。

4 系統的壽命概率分布特征研究

下面，利用本文建立的系統失效概率模型，分別研究以連續型變量和離散型變量為壽命度量指標時系統的壽命概率分布特征。

4.1 以連續型變量為壽命指標的系統壽命概率分布特征研究

在以時間t為壽命度量指標框架下，以由3個相同零部件組成的系統為例，零部件強度服從均值為600 MPa、標準差為40 MPa的正態分布，強度退化規律為δ（t）=δexp（-0.000 1t），載荷作用過程服從參數為0.5 h-1的泊松隨機過程，應力服從均值為400 MPa、標準差為45 MPa的正態分布。將上述參數分別代入（18）式和（19）式所示的系統失效累積概率函數以及（20）式和（21）式所示的系統失效概率密度函數，可以得到串聯系統與并聯系統的壽命概率分布特征，如圖3、圖4所示；同時，將上述參數分別代入（22）式和（23）式所示的系統可靠度函數以及（24）式和（25）式所示的系統故障率函數，可以得到串聯系統和并聯系統的可靠度與故障率的變化規律，如圖5、圖6所示。

圖3 系統的失效累積概率Fig.3 Cumulative failure probabilities of systems

圖4 系統的失效概率密度Fig.4 Failure probability densities of systems

從圖3、圖4可以看出，隨著時間的增加，系統的失效累積概率在逐漸增加；串聯系統的失效累積概率大于系統組成零部件的失效累積概率，并聯系統的失效累積概率則小于系統組成零部件的失效累積概率。從圖5、圖6可以看出，隨著時間的增加，系統的可靠度在逐漸降低，故障率呈現出“浴盆曲線”的變化特征，串聯系統的可靠度小于系統組成零部件的可靠度，而并聯系統的可靠度大于系統組成零部件的可靠度；串聯系統的故障率大于系統組成零部件的故障率，而并聯系統的故障率小于系統組成零部件的故障率。

此外，運用（26）式、（27）式可以分別計算得到MTTFFs=946 h，MTTFFp=2 026 h.系統組成零部件的平均首次故障時間為1 485 h，顯然，并聯系統的平均首次故障時間大于串聯系統的平均首次故障時間，并且大于系統組成零部件的平均首次故障時間；串聯系統的平均首次故障時間則小于系統組成零部件的平均首次故障時間。

圖5 系統可靠度隨時間的變化Fig.5 Change of reliability of systems with time

圖6 系統故障率隨時間的變化Fig.6 Change of failure rate of systems with time

4.2 以離散型變量為壽命指標的系統壽命概率分

布特征研究

在以載荷作用次數w為壽命度量指標框架下，以由3個相同零部件組成的系統為例，零部件強度服從均值為600 MPa、標準差為50 MPa的正態分布，強度退化規律為，應力服從均值為400 MPa、標準差為40 MPa的正態分布。將上述參數分別代入（34）式和（35）式所示的系統失效累積概率函數以及（36）式和（37）式所示的系統失效概率密度函數，便可以得到串聯系統與并聯系統的壽命概率分布特征，如圖7、圖8所示；同時，將上述參數分別代入（38）式和（39）式所示的系統可靠度函數以及（40）式、（41）式所示的系統故障率函數，可以得到串聯系統和并聯系統的可靠度與故障率的變化規律，如圖9、圖10所示。

圖7 系統的失效累積概率Fig.7 Cumulative failure probabilities of systems

圖8 系統的失效概率密度Fig.8 Failure probability densities of systems

圖9 系統的可靠度Fig.9 Reliability of systems

從圖7、圖8可以看出，隨著載荷作用次數的增加，系統的失效累積概率逐漸增加，串聯系統的失效累積概率大于系統組成零部件的失效累積概率，并聯系統的失效累積概率則小于系統組成零部件的失效累積概率。從圖9、圖10可以看出，隨著載荷作用次數的增加，系統的可靠度逐漸降低，故障率呈現出“浴盆曲線”的變化特征；串聯系統的可靠度小于系統組成零部件的可靠度，故障率大于系統組成零部件的故障率；而并聯系統的可靠度大于系統組成零部件的可靠度，故障率小于系統組成零部件的故障率。

圖10 系統的故障率Fig.10 Failure rate of systems

此外，運用（42）式、（43）式可以分別計算得到MNTFFs=2 821，MNTFFp=5 620.系統組成零部件的平均首次故障載荷作用次數為4 330，顯然，并聯系統的平均首次故障載荷作用次數大于串聯系統的平均首次故障載荷作用次數，且大于系統組成零部件的平均首次故障載荷作用次數；串聯系統的平均首次故障載荷作用次數則小于系統組成零部件的平均首次故障載荷作用次數。

5 結論

1）從系統層面出發，考慮失效相關性對系統失效概率特征的影響，建立了體現系統組成結構及其失效邏輯關系的串聯系統和并聯系統強度概率分布模型，給出了串聯系統和并聯系統的強度概率密度函數與累積概率分布函數。

2）分別以連續型變量和離散型變量作為壽命度量指標，建立了能夠科學體現“載荷、強度、系統組成結構”等參數影響的串聯系統與并聯系統失效概率模型，給出了串聯系統和并聯系統的失效累積概率分布函數與失效概率密度函數以及平均首次故障時間的計算模型。

3）研究表明，系統中零部件的組成邏輯關系不同，系統的壽命概率特征也不同，對于由相同零部件組成的系統，并聯系統的平均首次故障時間大于串聯系統，且大于系統組成零部件的平均首次故障時間；串聯系統的平均首次故障時間則小于系統組成零部件的平均首次故障時間。

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Research on the Failure Probability Models and Life Probability Characteristics of Systems with Dependent Failure

WANG Zheng1，WANG Zeng-quan1，XIE Li-yang2，3
（1.National Key Laboratory of Diesel Engine Turbocharging Technology，China North Engine Research Institute，Tianjin 300400，China；2.Institute of Modern Design and Analysis，Northeastern University，Shenyang 110819，Liaoning，China；3.Key Laboratory of Aero Power Equipment Vibration and Control of Ministry of Education，Northeastern University，Shenyang 110819，Liaoning，China）

The effect of failure dependence on the failure probability characteristics of systems is taken into account，and the system strength probability distribution models of series system and parallel system are derived from the system level，respectively.The failure probability models of series and parallel systems，which can embody the effects of parameters，such as system composing structure，load，strength，and so on，are developed by taking continuous variable and discrete variable as the life parameters，respectively.The life probability characteristics of series and parallel systems are studied.The results show that the mean time to first failure（MTTFF）of parallel system is not only more than that of series system but also more than those of the components that compose the system，and the MTTFF of series system is less than those of the components.

probability theory；system；failure dependence；failure probability；life distribution；mean time to first failure

TB114.3；TH122

A

1000-1093（2015）07-1326-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.07.023

2014-12-25

國家自然科學基金項目（51375465）

王正（1981—），男，研究員。E-mail:wzneu@126.com