建筑結(jié)構(gòu)可靠度分析方法比較

文/馮惠苗 北京中外建建筑設計有限公司重慶分公司 重慶 400045

呂長浩 廣東省華城建筑設計有限公司重慶分公司 重慶 400045

建筑結(jié)構(gòu)可靠度分析方法比較

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詳細闡述了結(jié)構(gòu)可靠度計算方法，對一次二階矩法中的中心點法、HL法、JC法、幾何法，二次二階矩法，響應面法，蒙特卡羅法，基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計算方法進行了分析；同時對四種常用的方法JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法，根據(jù)影響其結(jié)果精度的因素，以直接的蒙特卡羅法的結(jié)果為標準解，對其結(jié)果進行了對比分析。

結(jié)構(gòu)可靠度；JC法；幾何法；二次二階矩法；基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法；功能函數(shù)

1 結(jié)構(gòu)可靠度的計算方法

1.1 一次二階矩法

一次二階矩法計算簡便，其要點是非正態(tài)隨機變量的正態(tài)變換及非線性功能函數(shù)的線性化。

1.1.1 中心點法

設結(jié)構(gòu)構(gòu)件功能函數(shù)為）

式中 Xi（ i = 1 ，2 ，… ，n ） 為統(tǒng)計獨立正態(tài)隨機變量。

將功能函數(shù)在 X i （i = 1 ，2 ，… ，n ） 的均值點 μXi（ i = 1 ，… ，n ） 展 T a y l o r 級數(shù)，僅保留線性項。有

Z的均值和方差

結(jié)構(gòu)可靠指標

該方法對于非線性功能函數(shù)，因略去二階及更高階項，誤差將隨著線性化點到失效邊界距離的增大而增大，而均值法中所選用的線性化點（均值點）一般在可靠區(qū)而不在失效邊界上，誤差較大[2］。

1.1.2 改進一次二階矩法（HL法）

針對均值一次二階矩法的上述問題，人們把線性化點選在失效邊界上，且選在與結(jié)構(gòu)最大可能失效概率對應的設計驗算點上，以克服均值一次二階矩法存在的問題，提出了改進的一次二階矩法。該方法無疑優(yōu)于均值一次二階矩法，為工程實際可靠度計算中求解 β 的基礎。

Z的均值和方差

結(jié)構(gòu)構(gòu)件可靠指標可表示為

設計驗算點坐標

考慮到設計驗算點 p*應位于極限狀態(tài)曲面上，故，因此式（11）可寫為

由于p*未知，不能直接利用上式求β。故β的求取只能采用迭代法。

但該方法只是在隨機變量統(tǒng)計獨立、正態(tài)分布和線性極限狀態(tài)方程才是精確的，否則只能得到近似的結(jié)果[1］。

1.1.3 JC法

針對工程結(jié)構(gòu)各隨機變量的非正態(tài)性，拉克維茨提出了JC法。其基本原理是將非正態(tài)的變量當量正態(tài)化，替代的正態(tài)分布函數(shù)要求在設計驗算點處的累積概率分布函數(shù)（CDF）和概率密度函數(shù)（PDF）值分別和原變量的CDF值、PDF值相等。當量正態(tài)化后，采用改進一次二階矩法的計算原理求解結(jié)構(gòu)可靠度指標。

（1）在驗算點處，當量前后分布函數(shù)值相等；

（2）當量前后概率密度函數(shù)值相等。所以有：

1.1.4 幾何法

用以上方法計算時，迭代次數(shù)多，而且極限狀態(tài)方程為高次非線性時誤差較大，為此專家們提出幾何法即是優(yōu)化算法。根據(jù)可靠指標的幾何意義，可靠指標的獲得也就是在功能函數(shù)面上尋找一點y*，使該點與均值點的距離最短，從而使問題成為一個優(yōu)化問題，即：目標函數(shù)：β = min （y*T · y*）1/2；約束條件：g（y*） = 0。用幾何法求解可靠指標β的思路：先假設驗算點x*，將驗算點值代入極限狀態(tài)方程g（x），若g（x*）≠0，則沿著g（x） = g（x*）所表示的空間曲面x*點處的梯度方向前進（后退），得到新的驗算點x*代入極限狀態(tài)方程，若g （x*） ＞ ε，其中ε為控制精度，繼續(xù)迭代；若g（x*）≤ ε則表示該驗算點已在失效邊界上，迭代停止，即可求出β和x*的值。

設隨機變量 X=（x1，x2，…，xn）T為相互獨立的正態(tài)變量，通過變換得到一組相互獨立的標準正態(tài)變量Y=（y1，y2，…，yn）T。

式中[T］，｛B｝分別為

于是得到如下所示的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)

式中mxi為隨機變量xi的均值，σxi為隨機變量xi的標準差。

可用下面的迭代公式求得結(jié)構(gòu)的可靠度指標β

式中｛a｝和a分別為迭代點的移動方向及步長，即

幾何法與一般的一次二階矩法相比，具有迭代次數(shù)少、收斂快、精度高的優(yōu)點，但其結(jié)果亦為近似解。

1.2 二次二階矩法

假設功能函數(shù)Z（X）= g（X）對于相關隨機變量 X = （X1，X2，...，Xn）T的相關系數(shù)為 ρXi，Xj（i≠j），根據(jù)邊際概率分布函數(shù)相等的原則，可以將其轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)隨機變量 Y= （Y1，Y2，...，Yn）T，假設其相關系數(shù)矩陣為（25），顯然，當X為正態(tài)隨機變量時，ρYi，Yj= ρXi，Xj（i≠j），當X為非正態(tài)隨機變量時，ρYi，Yj≈ ρXi，Xj（i≠j）。

從而結(jié)構(gòu)失效概率表達式為：

最終可以近似為：

其中：

β為一階矩可靠指標；y*為驗算點；I 為單位矩陣；H′為正交變換矩陣，用于對隨機變量Y′（=AY） 做正交變換：Y′=H′U；A 為相關系數(shù)矩陣ρY分解得到的下三角矩陣，即有ρY=AAT。

利用曲率κ （即 （H′TQ′H′）n-1的特征值矩陣），式（27）可以改寫為：

從公式的表達上可以看出，二次二階矩法的結(jié)果是在一次二階矩法結(jié)果的基礎上乘一個考慮功能函數(shù)二次非線性影響的系數(shù)，所以可以看作是對一次二階矩法結(jié)果的修正。需要強調(diào)的是，在廣義隨機空間中，對于隨機變量變換前后相關系數(shù)的取值依據(jù)的是變換前后的相關系數(shù)近似相等，這相當于一次二階矩法隨機變量間的一次變換，對于二次二階矩法是否考慮隨機變量間的二次變換項，以及二次變換項如何考慮是需要進一步研究的問題。

1.3 響應面法

對于復雜結(jié)構(gòu)而言，常難以寫出功能函數(shù)的顯式，而直接的數(shù)值模擬工作量太大，為此一些學者提出用響應面法確定結(jié)構(gòu)功能函數(shù)。該方法的基本思想是采用有限次的數(shù)值試驗，通過回歸擬合解析表達式來代替真實功能函數(shù)曲面 Z= G（X1，X2，… ，XN），用二次多項式不含交叉項表示響應面函數(shù)的形式為

然后用插值方法來確定表達式中的未知參量，關鍵在于確定響應面函數(shù)的系數(shù)。多項式系數(shù)的確定一般以試驗設計為基礎，應用二水平因子設計或中心復合設計回歸得到特定因子的最小二乘估計。響應面法用二次多項式代替大型復雜結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)，并且通過系數(shù)的迭代調(diào)整，一般都能滿足實際工程精度，具有較高的效率，很有使用價值，是一個很有發(fā)展前景的計算方法。

1.4 蒙特卡羅法

蒙特卡羅法又稱隨機抽樣技巧、概率模擬方法和統(tǒng)計試驗法。其理論基礎是概率論中的大數(shù)定理，因此它的優(yōu)點是其應用范圍幾乎沒有什么限制。對基本變量相互獨立的情況，設基本變量X1，X2，…，Xn的分布函數(shù)分別為Fx1（x1），F(xiàn)x2（x2），…，F(xiàn)xn（xn），令Fxi（xi） = rj，rj是由蒙特卡羅法產(chǎn)生的隨機序列中的一個數(shù)。由此得到xi= F-1

xi（rj），i=1，2，…，n。對于每個 rj值可產(chǎn)生每個基本變量的相互獨立的子樣xi，將這些值帶入失效函數(shù)g（x）得出一個取值。若g（x）≤0，則在計算機程序中記入一次失效函數(shù)的實現(xiàn)；若 g（x）＞0，則不記入，這樣就完成了一次計算，再產(chǎn)生下一隨機數(shù)，重復上面的計算，直至完成預定的試驗次數(shù)為止。

此時，失效概率為

式中，n是試驗的總次數(shù)，k是試驗中g（x）≤0的次數(shù)，比值k/n是統(tǒng)計變量，對于低的失效概率或n較小時，估算Pf值容易發(fā)生相當大的不定性。但當模擬次數(shù)很大時，直至趨于無窮大時，能夠得出精確的 Pf值；若基本隨機變量相關時，利用條件概率密度，把多維問題化為一維問題來解決。

2 算例及各算法精度比較

2.1 函數(shù)非線性程度的影響

對于式（32）形式的功能函數(shù)，其非線性程度主要取決于系數(shù)k的大小，取k=1，2，3，4，5，6共六種工況進行分析。

假設X1為正態(tài)隨機變量，X1的均值μx1=20，標準差σx1=4，對JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計算結(jié)果進行比較，如下表所示。

表1 HL法與幾何法迭代次數(shù)比較

表2 不同非線性各算法精度比較

由表 1的數(shù)據(jù)可以看出，一次二階矩法中的幾何法在計算結(jié)構(gòu)可靠指標時，其迭代次數(shù)與JC法相當。

由表2的數(shù)據(jù)可以看出，幾何法的計算結(jié)果與JC法的計算結(jié)果相同；k=1時，即功能函數(shù)為線性時，JC法、幾何法、二次二階矩法、優(yōu)化的 MC法的計算結(jié)果相同且都很接近于標準解；當功能函數(shù)為非線性函數(shù)時，二次二階矩法的計算結(jié)果均大于一次二階矩法的計算結(jié)果；當1＜k＜3時，此時功能函數(shù)非線性程度較小，幾何法、JC法、二次二階矩法、優(yōu)化的MC法的計算結(jié)果有較小誤差，仍接近標準解；k≥3時，隨著功能函數(shù)非線性程度的增大，四種方法的計算結(jié)果的誤差有所增大，優(yōu)化的MC法誤差最大；但k=5時，幾何法、JC法、二次二階矩法的結(jié)果接近于標準解。

2.2 函數(shù)變量類型的影響

對式（32）的功能函數(shù)，針對不同的變量類型，X1分別取對數(shù)正態(tài)隨機變量、極值I型隨機變量，取 k=1，X1的均值 μx1=20，標準差σx1=4，分別運用JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法計算結(jié)構(gòu)可靠指標，并與上述正態(tài)隨機變量情況下對比，如下表所示。

表3 不同變量類型各算法精度比較

由表3的數(shù)據(jù)可知，k=1時，此時功能函數(shù)為線性函數(shù)：當X1為正態(tài)隨機變量和對數(shù)正態(tài)隨機變量時，JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計算結(jié)果接近于標準解，但正態(tài)隨機變量的結(jié)果精度要優(yōu)于對數(shù)正態(tài)隨機變量的結(jié)果；當X1為極值I型隨機變量時，JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的結(jié)果誤差較大。

2.3 函數(shù)變量統(tǒng)計參數(shù)的影響

假設X1為正態(tài)隨機變量，X1的均值μx1=20，取 k=1，2，X1標準差 σx1=4，5，6，7，8，9。以六種工況比較JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計算結(jié)果，如下表所示。

表4 變量統(tǒng)計參數(shù)不同各算法精度比較（k=1）

表5 變量統(tǒng)計參數(shù)不同各算法精度比較（k=2）

由表4數(shù)據(jù)可知，k=1，功能函數(shù)為線性函數(shù)時，JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計算結(jié)果相同，都很接近于標準解，且隨著變量X1標準差的增大，精度變化不大。

由表5數(shù)據(jù)可知，k=2，功能函數(shù)為非線性函數(shù)時，JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計算結(jié)果的精度隨著變量X1標準差的增大而降低，且小于對應的表4的數(shù)據(jù)。

3 結(jié)論

通過以上對可靠度理論的常用的四種計算方法的研究，有如下結(jié)論：

（1）當功能函數(shù)為線性函數(shù)或非線性程度較低，變量為正態(tài)隨機變量或?qū)?shù)正態(tài)隨機變量，且變異系數(shù)較小時，JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計算結(jié)果均可滿足工程需要；

（2）當功能函數(shù)非線性程度較高，變量為極值I型隨機變量，且變異系數(shù)較大時，JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計算結(jié)果均有較大誤差。

[1]李典慶，周建方.結(jié)構(gòu)可靠度計算方法述評 [J］.河 海 大 學 常 州 分 校 學報，2000，14（1）：34-42.