漸開線齒輪齒廓偏差測量中的采樣分析

李興旺，黃富貴，王宇，馬冬冬

（華僑大學(xué) 機(jī)電及自動化學(xué)院，福建 廈門361021）

齒輪傳動是在機(jī)械設(shè)備中應(yīng)用最廣泛的傳動類型，它通過輪齒齒面直接接觸來傳遞運(yùn)動和載荷.漸開線齒廓偏差作為評定齒輪傳動精度的重要參數(shù)，直接影響齒輪傳動的平穩(wěn)性以及接觸狀態(tài)，進(jìn)而決定著設(shè)備的傳動性能和使用壽命［1］.作為齒輪精度指標(biāo)測試中必檢項目之一，漸開線齒廓檢驗一直是討論和研究的重點(diǎn)及難點(diǎn).根據(jù)GB／T 10095－2008《圓柱齒輪 精度》規(guī)定，齒廓偏差是實(shí)際齒廓偏離設(shè)計齒廓的量，該量在端平面內(nèi)且垂直于漸開線齒廓的方向計值［2］.目前，漸開線齒廓偏差測量的方法主要包括標(biāo)準(zhǔn)曲線法、標(biāo)準(zhǔn)軌跡法（展成法）和坐標(biāo)法等［3］.GB／T 13924－2008《漸開線圓柱齒輪精度檢驗細(xì)則》規(guī)定了齒廓偏差的檢驗方法：將被測齒廓上點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)與理論坐標(biāo)或者實(shí)際漸開線與理論漸開線進(jìn)行比較得出齒廓偏差，而對于齒廓采樣方法并無明確規(guī)定［4］.在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中，對齒廓偏差的采樣研究也不多.對于齒廓偏差計算，喻彩麗等［5］利用漸開線法線法得出齒廓偏差；史恩秀等［6］提出漸開線展角法；楊全超等［7］采用直接擬合漸開線的方法，但對其采樣方法均未進(jìn)行詳細(xì)說明［8］.在齒輪實(shí)際加工生產(chǎn)中，生產(chǎn)廠家和客戶分別對相同的產(chǎn)品進(jìn)行驗收，在對齒廓偏差測量時采用不同的采樣方法，得出的結(jié)果可能截然不同，導(dǎo)致對產(chǎn)品的合格性產(chǎn)生誤判.因此，采樣點(diǎn)的選取將會對齒廓偏差的評定產(chǎn)生至關(guān)重要的影響，在測量過程中必須要對采樣方法進(jìn)行選擇.本文主要研究采樣過程中不同的采樣方式對齒廓偏差影響，并且提出合適的采樣方法.

1 漸開線齒廓偏差測量原理

漸開線齒廓偏差主要是利用展成法測量，其原理是以被測齒輪的回轉(zhuǎn)軸為基準(zhǔn)，測量探頭在齒輪基圓切線方向上接觸齒廓.當(dāng)回轉(zhuǎn)軸以一定角速度旋轉(zhuǎn)時，齒廓偏差的測量運(yùn)動是由測量探頭沿齒輪基圓切線方向（即齒廓展開長度方向）的直線運(yùn)動和齒輪繞其回轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動組成［9］.

測量齒廓偏差的示意圖，如圖1所示.由圖1可知：當(dāng)被測齒輪旋轉(zhuǎn)一定角度Δθ時，測量探頭沿基圓切線L軸方向位移為ΔL.若探頭相對于齒輪的運(yùn)動軌跡是一理論漸開線，則在L軸方向上的直線運(yùn)動位移與主軸O旋轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)系應(yīng)滿足

式（1）中：rb為基圓半徑.

而在實(shí)際生產(chǎn)中，齒輪必然存在齒廓偏差，則同一齒廓上各測量點(diǎn)的齒廓偏差為

則該齒廓總偏差為

圖1 齒廓偏差測量原理Fig.1 Principle of gear profile deviation measurement

2 采樣點(diǎn)數(shù)對齒廓偏差的影響

采樣是將時域或頻域上的連續(xù)量轉(zhuǎn)化成離散量的過程.被測齒廓曲線是連續(xù)信號，則齒廓偏差也應(yīng)是連續(xù)量［10］.齒廓偏差測量的局部示意圖，如圖2（a）所示.在齒廓上選取一系列點(diǎn)作為采樣點(diǎn)，提取齒廓的實(shí)際要素.若采樣點(diǎn)過少，齒廓的實(shí)際偏差不能被全部的反映出來；而采樣點(diǎn)過多，不僅耗時，而且會引入新的誤差.

為進(jìn)一步驗證采樣點(diǎn)數(shù)不同對齒廓偏差的影響，在格里森GMM475型齒輪測量中心上對某設(shè)計要求為8級精度的漸開線圓柱齒輪進(jìn)行齒廓偏差測量，分別采用均勻分布下不同采樣點(diǎn)數(shù)的測量，如圖2（b）所示，測量結(jié)果如表1所示.表1中：Δff，i為齒廓偏差；n為采樣點(diǎn)數(shù).

圖2 齒廓偏差測量示意圖Fig.2 Schematic of tooth profile deviation measurement

表1 不同采樣點(diǎn)數(shù)對應(yīng)的齒廓偏差測量結(jié)果表Tab.1 Tooth profile deviation measurement result corresponding to the different sampling points

從表1分析結(jié)果可以看出：不同的采樣點(diǎn)數(shù)所得到的測量結(jié)果是不相同的.產(chǎn)生這種結(jié)果的主要原因是：在實(shí)際測量中，無法做到在整個齒廓上連續(xù)采樣，故只能采用離散取點(diǎn)，用離散采樣點(diǎn)的信息來代替整個被測齒廓的信息，所以不可避免的會發(fā)生信息缺失現(xiàn)象.通過實(shí)例測量可以看出：當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)較少時，所得到的測量結(jié)果偏小；隨著采樣點(diǎn)逐漸增多時，齒廓偏差也逐漸正大，測量值越來越接近于真實(shí)值，且隨著采樣點(diǎn)數(shù)繼續(xù)增加而逐漸趨于穩(wěn)定.因此，選取合適的采樣點(diǎn)數(shù)是齒廓偏差測量的一個至關(guān)重要的問題.而采樣點(diǎn)數(shù)是依靠采樣間距確定的，所以可以將采樣點(diǎn)數(shù)的多少問題轉(zhuǎn)化為確定采樣間距的問題.

2.1 確定采樣間距

一般來說，在理想情況下，采樣間距越小越能反映出連續(xù)變化量的實(shí)際狀況.在單位長度上，采樣間距越小，采樣點(diǎn)數(shù)會相應(yīng)增多，這樣過多的采樣信息會增加數(shù)據(jù)處理的復(fù)雜程度，造成不必要的設(shè)備浪費(fèi).此外，過多的采樣信息會導(dǎo)致測量誤差，是因為引入了測量儀器不需要的高頻誤差信號.若采樣間距過大，會丟失過多的有用信息，導(dǎo)致不能完全反映被測量齒廓的實(shí)際情況，同樣也造成測量誤差.因此，有必要確定合適的采樣間距.

根據(jù)采樣定理可知：如果一個具有有限頻譜的連續(xù)信號由離散的采樣值所替代，要從離散信號（圖3（a））不失真地還原原有的連續(xù)信號（圖3（b）），則對連續(xù)信號的采樣頻率要至少應(yīng)該大于連續(xù)信號的最高頻率的兩倍，即

式（4）中：f為采樣頻率；fc為連續(xù)信號的最高頻率.

圖3 連續(xù)信號的離散采樣Fig.3 Discrete sampling of continuous signal

對于漸開線齒廓偏差測量，可以使用下述方法確定其采樣頻率（或采樣間距）：在齒廓偏差中所包含頻率最高的信號，即為小周期誤差信號.因此，若要確定齒廓偏差信號的上限頻率F，則只需確定出該小周期誤差信號的頻率值即可.鑒于齒廓偏差屬于形狀誤差范疇，上限頻率F應(yīng)是除了齒面粗糙度信號以外的其他信號（宏觀幾何形狀、波紋度）的頻率最大值.考慮到齒面粗糙度測量也必須遵循粗糙度國家標(biāo)準(zhǔn)，同時齒面粗糙度Ra與齒輪精度等級有一定的關(guān)系（表2），因此，可以以此為依據(jù)確定信號的上限頻率值［11］.

表2 齒輪精度等級與粗糙度之間關(guān)系Tab.2 Relationship between the level of gear accuracy and roughness

粗糙度測量國家標(biāo)準(zhǔn)中，已經(jīng)明確了取樣長度lr的取值［12］，如表3所示，節(jié)距大于取樣長度lr的信號被認(rèn)為是幾何形狀誤差的信號.因此，可認(rèn)為lr是作為幾何形狀誤差的最小節(jié)距［11］，即上限頻率F的周期為ΔS≤lr／2.

表3 粗糙度與取樣長度的對應(yīng)關(guān)系Tab.3 Correspondence between the roughness and sampling length

在實(shí)際測量中，為避免產(chǎn)生混頻現(xiàn)象，則要求采樣頻率至少取4F［13］，即ΔS≤lr／4.

小道不生蒿草，日本兵來時，讓她躲身到地縫中去嗎？她四面尋找，為了心臟不能平衡，臉面過量的流汗，她終于被日本兵尋到：

2.2 采樣方法的確定

由于齒輪測量中心是應(yīng)用電子展成的原理，所以在展開角度或展開長度上等間距采樣比較容易實(shí)現(xiàn).設(shè)以等間距ΔL在齒輪展開長度上采樣，如圖4所示.由圖4可知：在齒廓上的采樣間距是漸變的.在靠近齒根處的區(qū)域采樣間距比較小，逐漸接近齒頂處時，采樣間距也相應(yīng)增大，直至齒頂處達(dá)到最大.

由ΔL＝rb×Δθ，可得Δθ＝ΔL／rb.在實(shí)際的齒輪生產(chǎn)測量中，齒廓的測量區(qū)域是在展開長度上設(shè)定的起測點(diǎn)到終測點(diǎn)之間的部分.

齒廓偏差的測量部分，如圖5所示，從a點(diǎn)到b點(diǎn)的漸開線展開長度Sx［14］為

根據(jù)以上分析，測量時若要使齒面上的采樣間距遵循采樣定理，則只須在測量范圍的最后1個采樣間距ΔSn≤lr／4即可，即

圖4 展開長度等間距采樣Fig.4 Equally spaced sampling of unfolded length

圖5 漸開線齒廓測量部分Fig.5 Measurement section of involute tooth profile

則相應(yīng)展開角度或展開長度上的采樣間距滿足

式（5）～（7）中：θa為起測點(diǎn)展角；θb為終測點(diǎn)展角；Lb為終測點(diǎn)展開長度.

3 實(shí)例驗證

對某齒輪廠的圖紙設(shè)計要求為8級精度的變速器齒輪在格里森GMM475型齒輪測量中心進(jìn)行齒廓偏差測量，并分析驗證.

2）齒面粗糙度Ra＝1.6μm；根據(jù)表2得取樣長度lr＝0.8mm；起測點(diǎn)展開長度La＝8.218mm；終測點(diǎn)展開長度Lb＝20.18mm.

將齒輪安裝在齒輪測量中心上，在展開長度L上分別按照系統(tǒng)默認(rèn)的采樣間距ΔL′及理論的采樣間距ΔL進(jìn)行齒廓偏差測量.實(shí)驗分別選擇齒輪的序號為1，9，17的齒進(jìn)行測量，結(jié)果如表4所示.表4中：N為測量點(diǎn)數(shù)；Δff，i為齒廓偏差.通過對比發(fā)現(xiàn)2次測量后所得的齒廓偏差結(jié)果相近，而通過文中方法所確定的測量點(diǎn)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)默認(rèn)的采樣設(shè)置，并且測量時間大大減少.

表4 測量結(jié)果對比Tab.4 Comparison of measurement results

4 結(jié)束語

利用齒輪測量中心檢測漸開線齒輪齒廓偏差，采用在展開長度等間距采樣的方法，根據(jù)采樣定理以及齒面粗糙度和齒輪精度等級的關(guān)系，首先確定出展開長度上采樣間距ΔL，然后通過設(shè)置在展開長度上的采樣間距并進(jìn)行實(shí)驗.結(jié)果表明：得出的測量結(jié)果和實(shí)際測量中系統(tǒng)默認(rèn)采樣間距得出的結(jié)果相近，證明方法可行.因此，文中提出的方法可以為實(shí)際生產(chǎn)中齒輪齒廓偏差測量提供參考，以期提高測量效率.

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