理想軸棱錐與圓頂軸棱錐對無衍射光束的聚焦特性

陳姿言，何艷林，陳婧，吳逢鐵

（華僑大學 信息科學與工程學院，福建 廈門361021）

由于無衍射光的特殊性質，使它得到廣泛的研究和應用，國內外已用多種光學元件實現(xiàn)了近似無衍射貝塞爾光束.軸棱錐是目前用于產生無衍射光束最常用的光學元件之一，它是1954年由Mcleod提出來的非球面線聚焦透鏡［1－2］，利用軸棱錐產生無衍射光束具有轉換效率高、光損傷閾值大，可直接成腔等優(yōu)點.無衍射Bessel光束經(jīng)軸棱錐聚焦后可直接產生局域空心光束（Bottle beam），這是一種在傳播方向上中心光強為零，在此區(qū)域外三維空間都圍繞著高強度的光.理想軸棱錐是常用的產生Bessel光束的軸棱錐，它聚焦無衍射Bessel光束能夠產生周期性的Bottle beam，但其中心光斑最弱的地方光強并不為零，散射作用較強，對要囚禁的粒子有一定的損傷，且其光強梯度不大.由于理想軸棱錐對尖頂?shù)募庸ひ缶确浅８?，稍有誤差可能就會變成圓頂軸棱錐［3］，它的圓頂部分平凸透鏡的聚焦將光場能量集中在焦點附近與錐面波干涉后，產生多個具有高強梯度的Bottle beam［4］.目前，國內外已將軸棱錐對無衍射光的聚焦特性這個理論應用在各個領域.何西等［5－6］提出的新型LED 透鏡產生光學Bottle beam 以及非相干LED 光源產生高階Bessel光束；Craig Snoeyink等［7］提出的貝塞爾光束顯微鏡（BBM），都為此項研究開辟了新的方向.本文是通過對理想軸棱錐與圓頂軸棱錐對無衍射光的聚焦特性進行比較，分析各自產生周期性Bottle beam 的優(yōu)缺點.

1 理論分析與數(shù)值模擬

1.1 理想軸棱錐對無衍射光束的聚焦特性

光束入射到理想軸棱錐上的無衍射光束的光場分布［8］為

式（1）中：A0＝1是復振幅常數(shù)；kr＝是徑向波矢分量，γ為軸棱錐底角；r1是徑向坐標.

軸棱錐的透過率函數(shù)為t（r）＝exp［－ik（n－1）γr］，用理想軸棱錐對無衍射Bessel光束進行聚焦，可以得到軸棱錐后的光場分布為

光強分布為

式（3）中：波數(shù)k＝2π／λ；n為軸棱錐的折射率；b為無衍射光束入射到軸棱錐的光束半徑.根據(jù)式（3）取參量：波長λ＝632.8nm；軸棱錐底角γ＝1°；軸棱錐折射率n＝1.458；波數(shù)k＝2π／λ；b＝z0（n－1）β；r＝0.4mm.兩軸棱錐之間的距離f＝300mm 進行模擬仿真，得到不同截面光強分布圖和徑向光強分布圖，如圖1所示.

圖1 理想軸棱錐模擬所得不同距離的截面光強和徑向光強分布圖Fig.1 Intensity distribution of cross section at different propagation distance and intensity distribution of radial in simulation of ideal axicon

由圖1可以看出：光斑經(jīng)歷了從軸上中心光強最強（圖1（a））到中心光強最弱（圖1（c））再到光斑中心光強最強的過程，而圖1（e）中光斑又恢復到初始狀態(tài)（圖1（a））的光斑，其周期約為10mm.

1.2 圓頂軸棱錐的聚焦特性

圓頂軸棱錐如圖2（a）所示，其聚焦的基本原理是利用圓頂部分平凸透鏡的聚焦將光場能量集中在焦點附近與錐面波干涉，產生多個具有高強梯度的局域空心光束［9］.

圖2 圓頂軸棱錐原理圖Fig.2 Schematic diagram of vaulted axicon

如圖2（b）所示，當平面波入射圓頂軸棱錐時，被分為兩部分：第一部分為0＜R＜R2的區(qū)域，經(jīng)過該區(qū)域的光線被平凸透鏡匯聚于焦點F處；第二部分為R2＜R＜R1的區(qū)域，該區(qū)域的光線經(jīng)過底角為γ的軸棱錐產生錐面波［10］.根據(jù)柯林斯公式可求得兩部分光場經(jīng)圓頂軸棱錐變換后的場強分布［11］分別為

式（4）～（5）中：k＝2π／λ為波矢；r1，r2分別為圓頂軸棱錐入射面和光場接收面的徑向坐標；E0為入射光場；n為軸棱錐的折射率.圓頂軸棱錐后的光場為E1和E2的相干疊加，光強分布為

式（6）中：I為光強；Z為柱坐標系的軸向坐標.取參量λ＝632.8mm，n＝1.458，γ＝1°，R1＝4mm，R2＝1.4mm，f＝300mm，根據(jù)式（4）～（6）進行模擬仿真可得不同距離處的截面光強分布圖和徑向光強分布圖，如圖3所示.

由圖3可知：光斑經(jīng)歷了從軸上中心光強最強（圖3（a））到中心光強最弱（圖3（c））再到光斑中心光強最強的過程［12］，而圖3（e）中光斑又恢復到初始狀態(tài)（圖3（a））的光斑，其周期約為8mm.

圖3 圓頂軸棱錐模擬所得不同距離的截面光強和徑向光強分布圖Fig.3 Intensity distribution of cross section at different propagation distance and intensity distribution of radial in simulation of vaulted axicon

2 比較與分析

理想軸棱錐與圓頂軸棱錐都可以產生Bottle beam［13］，但對比圖1和圖3，圓頂軸棱錐產生的Bottle beam 中心光強相比理想軸棱錐較強，更利于對粒子的囚禁，并且圓頂軸棱錐圓頂部分形成的平凸透鏡的聚焦將光場能量集中在焦點附近與錐面波干涉后，可以產生多個具有高強梯度的局域空心光束［14］.而高強度梯度的局域空心光束可以對處于暗域處的粒子施以大的散射力，將粒子穩(wěn)固地囚禁在暗域處，提高了囚禁粒子的效率.從圖1和圖3中也可看出：理想軸棱錐與圓頂軸棱錐聚焦產生Bottle beam 的周期，為了更好地比較Bottle beam 的周期，將利用公式計算出理論值，從而驗證模擬值的正確性.

由文獻［15］可知：根據(jù)干涉產生局域空心光束的周期公式，則有

式（7）中：kz＝為Bessel光束的軸向波矢分量；k′z為球面波的軸向波矢分量，即

由式（8）可以得出：球面波的軸向波矢分量與徑向距離r有關，而在圓頂軸棱錐中r＝（R1＋R2）／γ.

利用式（7）和式（8）可以計算Bottle beam 的周期，則計算出理想軸棱錐聚焦產生Bottle beam 的周期ZT＝10.56mm，與圖1模擬所得的周期10mm 基本相符.計算出圓頂軸棱錐聚焦產生Bottle beam的周期ZT＝7.67mm，與圖3模擬所得的周期8mm 基本相符.由此可以得出：相比于理想軸棱錐聚焦產生Bottle beam 的周期，圓頂軸棱錐聚焦產生Bottle beam 的周期較短，對控制微粒的準確度更高，更有利于Bottle beam 對粒子的囚禁［16］.

3 結論

基于廣義的惠更斯－菲涅耳衍射積分理論推導出Bessel光經(jīng)過理想軸棱錐和圓頂軸棱錐后的光強表達式，并對理想軸棱錐與圓頂軸棱錐對無衍射光束的聚焦進行了分析.數(shù)值模擬了不同截面的光強分布和徑向光強分布，并計算了理想軸棱錐與圓頂軸棱錐聚焦所產生的局域空心光束的周期.

將兩類軸棱錐對比后得出，理想軸棱錐與圓頂軸棱錐都可以產生周期性的Bottle beam，理想軸棱錐所產生的Bottle beam 質量較好，而圓頂軸棱錐所產生的Bottle beam 周期較短，對控制微粒的準確度更高，并且圓頂軸棱錐圓頂部分形成的平凸透鏡的聚焦將光場能量集中在焦點附近與錐面波干涉后，產生多個具有高強梯度的局域空心光束，更利于對粒子的控制.

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