一類極小系統的動力性狀

顏棋，尹建東

（南昌大學 理學院，江西 南昌330031）

（X，f）為一個緊致系統，X為緊致度量空間，f為X上的連續自映射.要研究（X，f）的動力性狀，一種常見的用法是研究該系統的全部子系統，即系統的全部不變子集，并弄清楚各子系統的性質及原系統之間的關系.從而那些不可再分解的更小的系統成為研究的主要對象.拓撲動力系統的核心問題是研究點的軌道漸近性或拓撲結構.為了能夠更深刻地刻畫拓撲動力系統中點的軌道結構與遍歷內涵，相繼引進了弱幾乎周期點和擬弱幾乎周期點這兩個概念［1－2］，并指出存在真的弱幾乎周期點.1993年，Coven等［3］定義了熵極小系統概念，如果有非空不變閉子集Y?X，使得ent（f|Y）＝ent（f），則Y＝X，即熵極小系統沒有真子系統和原系統的熵一致，熵極小系統是拓撲傳遞的，以及線段上拓撲傳遞分段單調的連續映射是熵極小的.王肖義等［4］定義了混沌極小系統概念，如果它本身在Li－Yorke意義下是混沌的，并且所有真子系統都不是Li－Yorke混沌的，討論其部分動力性狀.本文給出了真弱幾乎周期點極小系統這一新概念，即f是有真的弱幾乎周期點，若Y是X的關于f不變的非空閉子集，且f|Y具有真的弱幾乎周期點，則Y＝X.

1 基本概念和記號

設（X，f）是一個緊致系統，Z＋為正整數集.假設U，V?X是兩個非空開集，x∈X.記N（U，V）＝｛n∈Z＋|U∩f－n（V）≠?｝和N（x，U）＝｛n∈Z＋|fn（x）∈U｝.

設S?Z＋，令η（S）＝，這里＃（·）表示集合的基數.若η（S）＞0，則稱S有正上密度（PUD）.

設x∈X，x在f的作用下生成的軌道｛x，f（x），f2（x），…，fn（x），…｝記作orb（x），易見是對f不變的閉子集.

A?Z＋稱為相對稠密的，若存在N∈Z＋使得對于任意n∈Z＋，［n，n＋N］∩A≠?.

如果對任意的兩個非空開集U，V，有N（U，V）≠?，則稱f是拓撲傳遞的；如果對任意的兩個非空開集U，V，N（U，V）具有正上密度，則稱f是拓撲遍歷的；如果對任意的兩個非空開集U，V，N（U，V）是相對稠密的，則稱f是拓撲強遍歷的.

M稱為極小的，如果M是X的非空不變閉子集，且不存在M的真子集滿足上述性質.假如M?X是極小的，x∈M，則稱x是f的一個極小點，f所有的極小點的集合記為A（f）.

點x∈X稱為f的一個弱幾乎周期點，對任意的ε＞0，存在整數Nε＞0，使得基數

上式中：V（x，ε）＝｛y∈X|d（x，y）＜ε｝是x的半徑為ε的球形鄰域；f的所有弱幾乎周期點的集合記為W（f）.

給定一個緊致系統（X，f），如果W（f）－A（f）≠?，則稱該系統含有真的弱幾乎周期點［1］.

用M（X）表示可測空間（X，β（X））上的全體概率測度的集合，這里β（X）表示由X上的開集所生成的Borel－σ代數，它是一個可度量緊致有仿射結構的凸空間，其上拓撲稱為ω＊拓撲.m∈M（X）稱作f的不變測度，如果m（f－1（A））＝m（A）對于任意的A∈β（X）成立.f的全體不變測度的集合記為M（X，f）.設m∈M（X，f），用supp（m）表示m的全體支撐點的集合，即

（X，f）稱為E－系統，若f是拓撲傳遞的，且存在m∈M（X，f），使得supp（m）＝X.如果存在X中的非空不變閉子集E，使得m（E）＝1對于任意的m∈M（X）成立，且E無真子集滿足上述條件，則稱E是f相對X的測度中心，將f的測度中心記為M（f）［5－6］.

設V?X，δ＞0，記Sf（V，δ）＝｛n∈Z＋|d（fn（x），fn（y））＞δ，x，y∈V｝.f是初值敏感依賴的，如果存在δ＞0，對于X中的任意非空開集V，集合Sf（V，δ）是非空的.此時，δ稱為f或（X，f）的敏感依賴系數.f是遍歷敏感的，如果存在δ＞0，對于X中的任意非空開集V，集合Sf（V，δ）有正上密度.f稱為完全遍歷敏感的，如果對任意的n＞0，fn是遍歷敏感的［7］.

f是Takens－Ruelle混沌的，如果f是拓撲傳遞的和初值敏感的.設（X，f）和（Y，g）都是緊致系統，如果存在同胚映射h∶X→Y使得hf＝gh，則稱f和g拓撲共軛，記作f～g.

定義1（X，f）稱為真弱幾乎周期點極小的，是指f具有真的弱幾乎周期點，如果Y是f的非空不變閉子集，f|Y具有真的弱幾乎周期點，則Y＝X.顯然，每一個真弱幾乎周期點極小系統都不是極小的.

注1熵極小系統和混沌極小系統均可以不是真弱幾乎周期點極小系統.

2 主要結論和證明

引理1設（X，f）是一個緊致系統，X中沒有孤立點，Λ?X是對f不變的閉子集，則有

1）W（f）∩Λ＝W（f|Λ）；

2）A（f）∩Λ＝A（f|Λ）.

證明 對于任意的x∈W（f）∩Λ，由弱幾乎周期點定義知：對任意的ε＞0，存在Nε＞0使得基數

由于x∈Λ，且Λ關于f不變，所以對于任意的n∈Z＋，有fn（x）∈Λ.如果fr（x）∈V（x，ε），顯然有fr（x）∈V（x，ε）∩Λ，從而有

由弱幾乎周期點的定義知：x∈W（f|Λ），故W（f）∩Λ?W（f|Λ）.

對于任意的x∈W（f|Λ），顯然x∈Λ，又由弱幾乎周期點定義知：對任意ε＞0，存在Nε＞0，有

x∈W（f），則x∈W（f）∩Λ，故W（f|Λ）?W（f）∩Λ.綜上可知：W（f）∩Λ＝W（f|Λ）.

對于任意的x∈A（f）∩Λ，由幾乎周期點定義知：對任意ε＞0，存在整數N＞0，對任意整數q＞0，存在整數r，q＜r≤q＋N，有fr（x）∈V（x，ε）.又Λ?X是對f不變的閉子集，且x∈Λ，有fr（x）∈Λ，則fr（x）∈V（x，ε）∩Λ，即（f|Λ）r（x）∈V（x，ε），則x∈A（f|Λ）.

故A（f）∩Λ?A（f|Λ）.

對于任意的x∈A（f|Λ），顯然x∈Λ，且必存在一個非空的不變子集M?Λ，使得f|M對于Λ是極小的，顯然f|M對于X是極小的，并且有x∈A（f），則x∈A（f）∩Λ.故A（f）∩Λ?A（f|Λ）.綜上可知：A（f）∩Λ＝A（f|Λ）.

定理1設（X，f）是一個真弱幾乎周期點極小系統，則f是拓撲傳遞的.

證明 由于f具有真的弱幾乎周期點，則存在x∈X使得x∈W（f）－A（f）.由軌道定義知：是（X，f）的一個子系統，且.由引理1中1）知：由引理1中2）知：從而即x也是子系統的一個真的弱幾乎周期點.

由于（X，f）是真弱幾乎周期點極小系統，根據定義知：orb（x）＝X.由于X中無孤立點，所以f是拓撲傳遞的.

注2若f是拓撲傳遞的，則（X，f）不一定是真弱幾乎周期點極小系統.

定理2設（X，f）是一個真弱幾乎周期點極小系統，則f具有滿測度中心，即M（f）＝X.

證明 由定理條件知：W（f）－A（f）≠?，又（M（f），f|M（f））是（X，f）的一個子系統.設x∈W（f）－A（f），即x∈W（f）但x?A（f）.由于，則x∈M（f）.由引理1中（1）知：x∈W（f|M（f）），又由引理1中（2）知：x?A（f|M（f））.則x∈W（f|M（f））－A（f|M（f）），即x是子系統（M（f），f|M（f））的一個真的弱幾乎周期點.又（X，f）是真弱幾乎周期點極小系統，根據定義知：M（f）＝X.

引理2［8］設（X，f）是緊致系統，若f是拓撲傳遞的，且M（f）＝X，則（X，f）是一個E－系統，且f是強遍歷的.

定理3設（X，f）是一個真弱幾乎周期點極小系統，則f是強遍歷的.

證明 由定理1，2知：f是拓撲傳遞的，且M（f）＝X.則由引理2知：f是強遍歷的.

引理3［6］非極小的E－系統是初值敏感的.

引理4設（X，f）是一個真弱幾乎周期點極小系統，則f是初值敏感的.

證明 由定義1知：f不是極小的.定理1，2知：f是拓撲傳遞的，且M（f）＝X，則由引理2知：（X，f）是一個E－系統.由引理3知：f是初值敏感的.

定理4設（X，f）是一個真弱幾乎周期點極小系統，則f是Takens－Ruelle混沌的.

證明 由定理1知：f是拓撲傳遞的，由引理4知：f是初值敏感的.根據Takens－Ruelle混沌的定義可得，f是Takens－Ruelle混沌的.

引理5［7］設（X，f）是一個緊致系統，若f是初值敏感的，且f×f的弱幾乎周期點在X×X中稠密，則對于任意n＞0，fn是遍歷敏感的，即f是完全遍歷敏感的.

引理6設（X，f），（Y，g）是2個緊致系統，則M（f）×M（g）＝M（f×g）.特別地，M（f）×M（f）＝M（f×f）.

證明 設（x，y）∈M（f）×M（g），對于（x，y）任意鄰域U，存在x的一個鄰域U1?X和y的一個鄰域U2?Y，使得U1×U2?U.由于x∈M（f），y∈M（g），則x，y分別是f和g的支撐點，于是存在μ1∈M（X），μ2∈M（Y），使得μ1（U1）＞0，μ2（U2）＞0.

令m（U1×U2）＝μ1（U1）×μ2（U2），則m可以延拓到M（X）上而成為一個不變測度，記延拓后的測度為m，則m∈M（X×Y），且m（U）≥m（U1×U2）＞0，所以（x，y）是f×g的一個支撐點，于是（x，y）∈M（f×g）.

令V1＝V（x，ε1），V2＝V（y，ε2），由于（x，y）∈M（f×g），根據弱幾乎周期點的定義知：存在N＞0，使得對于任意n≥0，

則＃（i|（f）i（x）∈V1，0≤i＜nN）≥n，且＃（i|（g）i（x）∈V2，0≤i＜nN）≥n.

故x∈M（f），y∈W（g）.則證明得W（f×g）?W（f）×W（g）.從而

定理5設（X，f）是一個真弱幾乎周期點極小系統，則f是完全遍歷敏感.

證明 由引理4知：f是初值敏感的.由定理2知：f具有滿測度中心，W（f）＝X.根據引理6知：W（f×f）＝M（f×f），即f×f的弱幾乎周期點在X×X中稠密.由引理5可得：f是完全遍歷敏感的.

引理7［2］假設（X，f），（Y，g）是兩個緊致系統，f～g，且h∶X→Y是從f到g的拓撲共軛，那么h（W（f））＝W（g）.

定理6設f～g，且h∶X→Y是從f到g的拓撲共軛，若（X，f）是真弱幾乎周期點極小系統，則（Y，g）也是真弱幾乎周期點極小系統.

證明 假設（Y，g）不是真弱幾乎周期點極小系統，即存在（Y，g）的真子系統（U，g|U）中含有真弱幾乎周期點，即W（g|U）－A（g|U）≠?，顯然（h－1（U），f|h－1（U））是（X，f）的真子系統，且f|h－1（U）與g|U共軛.由引理7知：hW（f|h－1（U））－hA（f|h－1（U））≠?，則W（f|h－1（U））－A（f|h－1（U））≠?，則（X，f）的真子系統（h－1（U），f|h－1（U））含弱幾乎周期點，與已知矛盾，假設不成立.

故（Y，g）是真弱幾乎周期點極小系統.

注3此定理說明兩個緊致系統拓撲共軛，若其中一個為真弱幾乎周期點極小系統，另一個系統也為真弱幾乎周期點極小系統.若h只是從X到Y的拓撲半共軛，上述結論可能不成立.

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